质点系质心运动定律

§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
R 0
R2 y2 d y2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
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三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
mi ri mi
m1r1 m2r2 mnrn m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc
外力之和
Fi fi
内力之和
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二、 质心
Y
质点系的质量
中心，简称质心。
具有长度的量纲，
描述与质点系有
C
关的某一空间点
的位置。
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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对于N个质点组成的质点系：
m1,m2, ,mi ,mN M mi r1, r2, , ri , rN
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3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
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例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
dm dl
xc 0 , yc 2R /
直角坐标系中
y mN
xc mixi / M yc mi yi / M
zc mi zi / M
rc miri / M
m1 rN r1
z
c ri
rc r2
O
mi
m2 x
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对于质量连续分布的物体
r rc
rrdm dm
rrdm m
y
直角坐标系下
c
xc x d m / M yc y d m / M zc z d m / M
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选择进入下一节 §2-0 教学基本要求 §2-1 质点系的内力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 动能 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
线分布 d m dl
rc dm
r
O
x
面分布 d m d S
z
体分布 d m dV
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注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
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yc
ydl
m
0 R sin Rd
m
2 R 2
m
2 R 2 R
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例 确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
y
已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
d m dV R2 y2 d y
dy
Rx O
yc
y d m R y (R2 y2 ) d y m 0 2R3 / 3
dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
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质心的加速度为来自百度文库
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1
m2a2
m1 m2
d v1 d t d v2 dt
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。
设薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
dm 2x dx
三角形质心坐标xc是
y a
xc
xdm
a/
2
2
x2dx
0
2a
m
1 a2
n
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
fnn
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对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,
miai
F
i
ac
miai mi
ac
Fi mi
Fi
M
Fi
Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。