人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结

2 G 圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线在高考中的地位：
圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以圆锥
曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式
新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；
②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；
若不能，请说明理由.
（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，
112
y
△2
）两个不同点，且OPQ的面积
△S
OPQ
=，其中O为坐标原点．
（1）证明：
+ 和 + 均为定值；
（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；
（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,
E,
G ，使得 △S OD E
= △S OD G
= S △OEG
= ？
若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a
⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.
（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有
1
一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.
1
1 1
一.圆锥曲线的定义：
椭圆：平面内与两个定点
的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点
数学语言：
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。

常数 2a=
常数 2a<
，轨迹是线段
，轨迹不存在；
；
双曲线：平面内与两个F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F 1F 2）的点的轨迹叫做
双曲线。

这两个定点
叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。

数学语言： MF - MF = 2a
1 2
常数 2a=
，轨迹是两条射线；
常数 2a>
，轨迹不存在；
（
2a < F F 1 2 ）
常数 2a=0,轨迹是 F F 的中垂线。

1 2
抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛
物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）
当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。

定义中要重视“括号”内的限制条件
(1)定点F(-3,0),F(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是(
12
)
A．PF+PF
12=4B．PF+PF
12
=6
C．PF+PF=10D．PF 1212+PF
2
2=12
（2）方程(x-6)2+y2-(x+6)2+y2=8表示的曲线是____
二、圆锥曲线的标准方程
椭圆：焦点在x轴上时：x2y2y2x2
a2+b2=
1焦点在y轴上时：
a2
+
b2
=1
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

双曲线：焦点在x轴上时：x2y2y2x2 -=1焦点在y轴上时：-
a2b2a2b2=1
注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。

抛物线的标准方程：
图形标准方程焦点坐标准线方程（1）
已知
方程
x2y2
+=1
3+k2-k
表示
椭圆，
则k
的取
值范
围为
____
（2）已知方程
x2y2
-=1
m+2m+1
表示双曲线，求
m取值范围。

x2y2
（3）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()
m-12-m
（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．
三、椭圆与双曲线的性质分析
+
y2
离心率e=e=c
分类椭圆双曲线
定义
图形平面内与两个F
1
，F
2
的距离之和等
于常数（大于||F
1
F
2
）的点的轨迹
y
x
平面内与两个F
1
，F
2
的距离之差的绝对值
等于常数（小于||F
1
F
2
）的点的轨迹
标准方程x2
=1(a>b>0)
a2b2
x2y2
-=1(a>0，b>0)
a2b2
a、b、c关系c
2=a2-b2
c2=a2+b2
a、b、c的意义a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距
范围-a≤x≤a，-b≤y≤b x≤-a，x≥a y∈R 分类椭圆
对称性关于x轴和y轴对称，
也关于原点对称
双曲线
关于x轴和y轴对称，
也关于原点对称
顶点A
1
(-a,0)
B(0,-b)
1
A(a,0)
2
B(0,b)
2
A(-a,0)，A(a,0)
12
c
a a
焦点坐标F(-c,0)，F(c,0)F(-c,0)，F(c,0) 1212
渐近线无y=±b a x
抛物线几何性质：
标准方程
y y y
y
F
图象O F x F O x
O
O x x
F
焦
坐
顶
坐
准
方
p
何
+ = 1 的离心率 e = 2 （6）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则该双曲线的方程_____
2 2
（1）椭圆若椭圆 x 2 y 2 10
5 m 5
，则 m 的值是__
（2）双曲线的渐近线方程是3x ± 2y = 0，则该双曲线的离心率等于______
（3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为__
（4）设双曲线 x 2 y 2 -
a b 2
= 1 （a>0,b>0）中，离心率 e ∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ的
取值范围是________
(5)设 a ≠ 0, a ∈ R ，则抛物线 y = 4ax 2 的焦点坐标为________
5
x 2 y 2 2 9 4
（7）设中心在坐标原点 O ，焦点 F 、 F 在坐标轴上，离心率 e =
2 的双曲线 C 过点
1
2
P (4,- 10) ，则 C 的方程为_______
（8）已知抛物线方程为 y 2 = 8x ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线
的焦点的距离等于____；
（9）抛物线 y 2 = 2x 上的两点 A 、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的
距离为______
四、点 P ( x , y ) 和椭圆 0 0 x 2 y 2 +
a b 2
= 1（ a > b > 0 ）的关系：
x 2 0 + a 2 y 2
0 = 1 ⇒ p 点在椭圆上。

b 2
x 2 y 2
0 + 0 < 1 ⇒ p 点在椭圆内。

a b 2
x 2 y 2
0 + 0 > 1 ⇒ p 点在椭圆外。

a 2 b 2
对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。

五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实
(2).a.求弦长。

公式：弦长 l = 1 + k 2 x - x = (1+ k 2 ) ⎡(x + x )2 - 4x x ⎤
2 （7）过点(0,2)与双曲线 - = 1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______
（8）过双曲线 x 2 - = 1的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点，若 AB = 4，则满足
根的个数来判断(解析法).
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
1 2 ⎣ 1 2 1 2 ⎦
其中 k 为直线的斜率， ( x , y ),( x , y ) 是两交点坐标．
1
1
2
2
b.求弦所在的直线方程
c.根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点 A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点 P 、Q ，且中点为 A ，求 P 、Q 所在的
直线方程（点差法）
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或
者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2-y 2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是
_______
（2）直线 y―kx―1=0 与椭圆 x 2 y 2
+ = 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是______
5 m
（3）过双曲线
x 2 y 2
- = 1 的右焦点直线交双曲线于 A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这 1 2
样的直线有_____条.
（4）过双曲线 x 2 y 2 - a b 2
＝1 外一点 P ( x , y ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
0 0
下：
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平
行于对称轴的直线。

（6）过点 (2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点，这样的直线有__
x 2 y 2
9 16
y 2
2
条件的直线 l 有__条
（9）对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y
02<4x的点M(x,y)在抛物线的内部，000
若点M(x,y)在抛物线的内部，则直线l：y y=2(x+x)与抛物线C的位置关系是0000
_______
（10）过抛物线y2=4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的
长分别是p、q，则11
+=_______ p q
（11）求椭圆7x2+4y2=28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距离
（12）直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。

①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
1、求弦长问题：：
（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
2、圆锥曲线的中点弦问题：
（1）如果椭圆x2y2
+=1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369
（2）已知直线y=－x+1与椭圆x2y2
+
a2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段
AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
x2y2
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆+=1上有不同的两点关于直线
43
y=4x+m对称
特别提醒：因为∆>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关y
A
弦长、对称问题时，务必别忘了检验∆>0！
3、直线恒过定点问题：O
P
M
B
x
若抛物线的方程为 y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点 F （ ，0）的直线交抛物线与 2；x x ＝
；
(3) ＋ ＝ ；
（1）A 、B 是抛物线 y 2＝2px （p ＞0）上的两点，且 OA ⊥OB （O 为坐标原点） 求证：直线 AB 经过一个定点；
（2）抛物线 y 2＝2px （p ＞0）上有两个动点 A 、B 及一定点 M （p ， 2p ），F 为焦点；若|AF|、 |MF|、|BF|成等差数列，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点。

4、焦点三角形问题：
（1）短轴长为
5 ，离心率 e =
2
3
y B
M
A
O
F x 例 3 图
的椭圆的两焦点为 F 、 F ，过 F 作直线交椭圆
1 2 1
于 A 、B 两点，则 ∆ABF 的周长为________
2
（2）设 P 是等轴双曲线 x 2 - y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点， F 1、F 2 是左右焦点，若
PF 2 ⋅ F 1 F 2 = 0 ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为
（3）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ＝
6
2
，F 1、F 2 是它的左右焦点，若过 F 1 的直
线与双曲线的左支交于 A 、B 两点，且 AB 是 AF 与 BF 等差中项，则 AB ＝_______
2
2
（ 4） 已知双曲线的离心率为
2 ， F 1、 F 2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且
∠F PF = 60 ， S 1 2 ∆PF 1F 2 = 12 3 ．求该双曲线的标准方程。

5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
p
2
A （x 1，y 1）
、B （x 2，y 2）两点，则
(1)
y 1y 2＝－p
p 2 1 2 4
(2)| AB|＝x 1＋x 2＋p ；通径=2P 1 1 2 |AF| |BF| p
(4) 过 A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 A /、B /，F 抛物线的焦点，则∠A /FB /＝900； (5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。

(6) 设 A ， B 是抛物线 y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA ⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p ，0)
p p
证明：(1)当直线过焦点且垂直于 x 轴时，A （2 ，p ）、B （2 ，－p ），因此 y 1y 2＝－p 2
y ＝k （x － ）；由此的 x ＝ ＋ ；把 x ＝ ＋ 代入 y 2＝2px 消去 x 得：
(2)过 A 、B 两点作准线 x ＝－ 的垂线，垂足分别为 A /、B /， (3)∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）∴ 1 |AF| |BF| p p
x 1＋x 2＋p x 1＋x 2＋p
＝ 2 p p 2 p p p 2 2 (x 1＋x 2)＋ ＋ ＝ x 1＋x 2＋p p
p
/FB ＋∠A /FA ＝900
A
（5） N 为线段 AB 的中点，过 A 、B 、N 分别作准线的垂线， N O
|AA /|＋|BB /| B
2 2
= λ (λ ≠ 0)
的双曲线方程可设为： -
成立； 当直线过焦点且不与 x 轴垂直时，显然直线的斜率 k ≠0，直线 AB 的方程为：
p y p y p
2 k 2 k 2
ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2
∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点都在抛物线 y 2＝2px （p ＞0）上，
∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2；两式相乘得(y 1y 2)2＝2px 1·2px 2 ∴p 4＝4p 2x 1x 2； p 2
从而 x 1x 2＝
4
p
2
p p
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA /|＋|BB /|＝x 1＋ ＋x 2＋2 ＝x 1＋x 2＋p
1 1 1 ＋ ＝ ＋ x 1＋
2 x 2＋
2
＝
x 1x 2＋2 4 4 2 (x 1＋x 2)＋ 4
A
B
y
O
B
⑥题
A
F x
2 ＝ 2(x 1＋x 2＋p)
(4)过 A 、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为 A /、B /，
由于点 A 、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝ |AA /|，|BF|＝|BB /|
∴∠B /BF ＝1800－2∠B /FB ，∠A /AF ＝1800－2∠A /FA 由∵AA /∥BB / ∴∠B /BF ＋∠A /AF ＝1800
y
即：1800－2∠B /FB ＋1800－2∠A /FA ＝1800
A / ∴∠
B N / 垂足分别为 A /、B /、N /，
F
x
∵N 为线段 AB 的中点，则|NN /|＝
|AF|＋|BF| |AB| ＝
＝
2
B /
⑦题图
∴以 AB 为直径的圆与准线相切。

（6）设 A ， B 是抛物线 y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA ⊥OB 的充要条件是直
线 AB 恒过定点(2p ，0)
六．你了解下列结论吗？
共渐近线的双曲线系：
(1)渐近线方程为：y = ± n x 即 x ± y = 0
m
m n
x 2 y 2
m 2 n 2
λ > 0时表示焦点在x 轴上的双曲线； λ < 0时表示焦点在y 轴上的双曲线；
(2)与双曲线
x 2
-
y 2
a 2
b
2
= 1有相同的渐近线的
(1)
与双曲线
- = 1 有共同的渐近线，且过点 (-3,2 3) 的双曲线方程为_______
x 2
y 2
9 16
(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是
--------
七、圆锥曲线中的最值问题
（1）如图所示，若 A （3，2），F 为抛物线 y 2＝2x 的焦点，求|PF|＋|P A|
的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标。

L y
变式：若 A （3，5）呢？
（2）.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2 = x 上移动，求 AB N N
O
F
P
P A
x
中点 M 到 y 轴距离的最小值，并求此时 AB 中点 M 的坐标。

（3）若 x , y ∈ R ，且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ，则 x + y 的最大值是___， x 2 + y 2
例 8 图
的最小值是
（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的
最小值为__
八．动点轨迹方程问题：
1、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、
整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例 1．点 M 与定点 F (0,2) 的距离和它到定直线 y = 8 的距离的比是 1: 2 ，求点的轨
迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
变式：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程．
2、待定系数法：
已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。

例 2、 已知椭圆的焦点坐标为
和 ，且经过点 ，求椭圆的标
准方程。

变式：抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135 0 的直线，被抛物
线截得的弦长为 8，试求抛物线的方程。

3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、
.
抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程例3、求与圆(x-3)2+y2=1及(x+3)2+y2=9都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得
MF=3+r,MF=1+r，
12
又因为MF-MF=(3+r)-(1+r)=2，
12
由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支
所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：x2y2
-=1(x≥1) 18
变式：（1）、一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，
求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
（2、已知∆ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使1
sin B-sin C=sin A，求点A的轨迹
2
分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时
1
B(-6,0),C(6,0)，由sin B-sin C=sin A得
2
1
b-c=a=6,即|AC|-|AB|=6所以，点A的轨迹是以B(-6,0),C(6,0)为焦点，2
2a=6的双曲线的左支其方程为：x2y2
-=1(x<-3) 927
（3）．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
解析：由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线．答案：D
4、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入
到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例4：点A位于双曲线x2y2
-
a2b2=1(a>0,b>0)上，F,F是它的两个焦点，求∆AF F
1212
的重心G的轨迹方程
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解注意限制条件
解：设∆AF F的重心G的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(3x,3y)
12
2
-
x-x
x=
2
联解①②得⎪⎨1
⎩
⎧y=kx⎪⎪x=k2
解得⎨
⎩y2=2px2p
⎪⎪x=
因为点A位于双曲线x2y2
a b2=1(a>0,b>0)上，从而有
(3x)2(3y)2
-
a2b2=1(y≠0)，即
x2y2
-=1(y≠0) a b
()2()2
33
所以，∆AF F的重心G的轨迹方程为
12
x2y2
-=1(y≠0) a b
()2()2
33
变式：如图，从双曲线C:x2-y2=1上一点Q引直线y
P
Q N
l:x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
O x
解：设P(x,y)，Q(x,y)，则N(2x-x,2y-y).N在直线l上，
1111
∴2x-x+2y-y=2.①又PN⊥l得y-y
1=1,即x-y+y-x
1111
1
=0.②⎧3x+y-2
⎪y=3y+x-2⎪12.又点Q在双曲线C上，∴(
3x+y-23y+x-2
)2-()2=1，
22
化简整理得：2x2-2y2-2x+2y-1=0，此即动点P的轨迹方程.
5、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O作两条互相垂直的弦O A、OB，求弦AB
的中点M的轨迹方程.
解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k≠0)，则直线OB的斜率为-1
k.直线OA的
方程为y=kx，由⎨
⎧2p
⎪y=
⎪⎩k
，即A(
2p
,
2p
)，同理可得B(2pk2,-2pk).
k2k
⎧
由中点坐标公式，得⎨
⎪y=
⎪⎩
p
+pk2
k2，消去k，得y2=p(x-2p)，此即点M的轨迹方程. p
-pk
k
6、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线
2 直线 A M 的方程为 y = y
x + a x + a
1 a 2
(6)动点 P 是抛物线 y = 2x 2 + 1 上任一点，定点为 A (0,-1) ,点 M 分 −PA →
所成的比为 2， x
的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例 6 如右图，垂直于 x 轴的直线交双曲线 x 2 y 2 -
a b 2
= 1 于 y P
M
M 、 N 两点， A , A 为双曲线的左、右顶点，求直线 A M 与
1
2
1
A 1 O A 2
N
x
A N 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
2
解：设 P ( x , y ) 及 M ( x , y ), N ( x ,- y ) ，又 A (-a ,0), A (a ,0) ，可得
1
1 1 1 1 2
- y
1 ( x + a ) ①；直线 A N 的方程为 y = ( x - a ) ②.
1 2 1
1
①×②得 y 2 = - y 2 1 x 2 - a 2 1
( x 2 - a 2 ) ③. 又 x 2 1 - a 2 y 2 1 b 2 = 1, ∴ - y 2 = (a 2 - x 2 ) ，代入③得
1 1
b 2
y 2 =- b 2
a 2 ( x 2 - a 2 ) ，化简得 x 2 y 2 +
a 2
b 2
= 1，此即点 P 的轨迹方程. 当 a = b 时，点 P 的轨
迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆；当 a ≠ b 时，点 P 的轨迹是椭圆.
练习：
(1)与 y 轴相切且和半圆 x 2 + y 2 = 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程
是
．
(2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M （m ，0）(m > 0) ，端点 A 、B 到 x 轴距离之积为 2m ，
以 x 轴为对称轴，过 A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
(3)由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1作两条切线 PA 、PB ，切点分别为 A 、B ，∠APB=600，则动点
P 的轨迹方程为
（4）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l ： +5=0的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_______
(5) 一动圆与两圆⊙ M ： x 2 + y 2 = 1 和⊙N ： x 2 + y 2 - 8x + 12 = 0 都外切，则动圆圆心
的轨迹为
−
则 M 的轨迹方程为__________
（7）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作 MN ⊥AB ，垂足为 N ，
在 OM 上取点 P ，使 | OP |=| MN | ，求点 P 的轨迹。

2
（8）若点 P (x , y ) 在圆 x 2 + y 2 = 1上运动，则点 Q ( x y , x + y ) 的轨迹方程是____
1 1
1 1
1
1
（9）过抛物线 x 2 = 4y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A 、B 两点，则弦 AB 的中点
M 的轨迹方程是________
（10）已知椭圆 x 2 y 2 + a b 2
= 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），
Q 是椭圆外的动点，满足 | F 1Q |= 2a . 点 P 是线段 F 1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F 2Q
上，并且满足 PT ⋅ T F = 0,| TF |≠ 0.
2 2
（1）设 x 为点 P 的横坐标，证明 | F P |= a + 1
（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；
c a
x ；
（3）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点 M △，使 F 1MF 2 的面积 S= b 2. 若存在，
求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.。