人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结

2 G 圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线在高考中的地位：

圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥

曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式

新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；

②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；

若不能，请说明理由.

（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，

112

y

△2

）两个不同点，且OPQ的面积

△S

OPQ

=，其中O为坐标原点．

（1）证明：

+ 和 + 均为定值；

（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；

（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,

E,

G ，使得 △S OD E

= △S OD G

= S △OEG

= ？

若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．

(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a

⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.

（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1

1

一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.

1

1 1

一.圆锥曲线的定义：

椭圆：平面内与两个定点

的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点

数学语言：

叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。

常数 2a=

常数 2a<

，轨迹是线段

，轨迹不存在；

；

双曲线：平面内与两个F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F 1F 2）的点的轨迹叫做

双曲线。这两个定点

叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。

数学语言： MF - MF = 2a

1 2

常数 2a=

，轨迹是两条射线；

常数 2a>

，轨迹不存在；

（

2a < F F 1 2 ）

常数 2a=0,轨迹是 F F 的中垂线。

1 2

抛物线

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛

物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）

当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。

定义中要重视“括号”内的限制条件

(1)定点F(-3,0),F(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是(

12

)

A．PF+PF

12=4B．PF+PF

12

=6

C．PF+PF=10D．PF 1212+PF

2

2=12

（2）方程(x-6)2+y2-(x+6)2+y2=8表示的曲线是____

二、圆锥曲线的标准方程

椭圆：焦点在x轴上时：x2y2y2x2

a2+b2=

1焦点在y轴上时：

a2

+

b2

=1

注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

双曲线：焦点在x轴上时：x2y2y2x2 -=1焦点在y轴上时：-

a2b2a2b2=1

注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。

抛物线的标准方程：

图形标准方程焦点坐标准线方程（1）

已知

方程

x2y2

+=1

3+k2-k

表示

椭圆，

则k

的取

值范

围为

____

（2）已知方程

x2y2

-=1

m+2m+1

表示双曲线，求

m取值范围。

x2y2

（3）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()

m-12-m

（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．

三、椭圆与双曲线的性质分析