2019-2020年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.3二项式定理学案理

2019-2020年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布

10.3二项式定理学案理

[知识梳理]

1．二项式定理

2．二项式系数的性质

3．常用结论

(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.

(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.

(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1.

(4)C r m C0n＋C r－1

m C 1

n＋…＋C

m C

r

n＝C

r

m＋n.

(5)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是

第n 项．( )

(3)(a ＋b )n

某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )

(4)若(3x －1)7

＝a 7x 7

＋a 6x 6

＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化

(1)(选修A2－3P 30例1)⎝

⎛

⎭

⎪⎫2x －

1x 6

的展开式的常数项为( )

A ．－192x 2

B ．240x

C ．－160 D.60x

答案 C

解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r (r ＝

1,2，…，6)，所以当r ＝3时为常数项，此时T 4＝－23

×C 3

6＝－160，故选C.

(2)(选修A2－3P 31例2)二项式⎝

⎛

⎭

⎪⎫x －1x 10

的展开式中系数最大的项为( )

A ．第六项

B ．第五项和第六项

C ．第五项和第七项

D ．第六项和第七项 答案 C

解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r

10x

10－r

(－x －12)r ＝(－1)r C r

10·x 10－32

r ，每项系数的

绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C 5

10，但第六项系数为－C 5

10，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C 4

10＝C 6

10，再由二项式系数的增减性规律可知选C.

3．小题热身

(1)(xx·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5

的展开式中x 3y 3

的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C

解析 因为x 3y 3

＝x ·(x 2y 3

)，其系数为－C 3

5·22

＝－40，

x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23

＝80.

所以x 3y 3

的系数为80－40＝40. 故选C.

(2)(xx·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2

项的系数是54，则n ＝________. 答案 4

解析 (1＋3x )n

的展开式的通项为T r ＋1＝C r

n (3x )r

.令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2

.由题意得9C 2

n ＝54，解得n ＝4.

题型1 二项展开式

角度1 求二项展开式中的特定项或系数

典例 (xx·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3

的系数是________．(用数字填写答案)

答案 10 解析 T r ＋1＝C r

5(2x )

5－r

·(x )r

＝2

5－r C r

5

·x 5－r 2，令5－r

2

＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3

，∴

x 3的系数为10.

角度2 已知二项展开式某项的系数求参数

典例 (xx·湖南高考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5

的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )

A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D

解析 ⎝

⎛

⎭⎪⎫x －

a x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝

⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r

5·x 5－2r 2. 依题意，令5－2r ＝3，得r ＝1， ∴(－a )1

·C 1

5＝30，a ＝－6，故选D. 角度3 多项展开式

典例

(xx·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2

的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C

解析 (x 2

＋x ＋y )5

＝[(x 2

＋x )＋y ]5

的展开式中只有C 2

5(x 2

＋x )3y 2

中含x 5y 2

，易知x 5y 2

的系数为C 25C 1

3＝30，故选C.

方法技巧

1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .

(3)代回通项得所求．见角度1典例．

2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法

(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.

(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．