多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

最大值（或最小值）f (x0, y0 )。最大值（或最小
值）统称为函数的极值；使函数取得极值的点
p (x , y ) 000
叫极值点。
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
Cx, y 400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
L L(x, y,) f (x, y) (x, y) ，
偏导数
求条件极值方法：拉格朗日数乘偏导数法

f f
x y
( (
x, x,
y y
) )


x y
( (
x, x,
y) y)

0, 0,

(x, y) 0.
L 或Lyx

有连续二阶偏导
数；且点 p0 (x0, y0 ) 是函数的驻点，
即fx x0, y0 f y (x0, y0 ) 0
A fxx (x0, y0 ) B fxy(x0, y0 )
C f yy (x0, y0 )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
实际出现的函数中，变量的取值要附加一定的限 制条件，这种附有一定约束条件的极值问题，称 条件极值。
求条件极值的方法 ——称为拉格朗日数乘
求函数z f ( x, y)在约束条件 ( x, y) 0限制下 的极值时，以常数 （称为拉格朗日乘数）乘
( x, y) ，并与 f (x, y) 相加，得拉格朗日函数
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
解: （1）偏导方程组的驻点
f x, y 3x2 6x 9 0 x
x,
y


0;
（3）对应每个驻点 ( x0 , y0 ) 判断极值点
求出二阶偏导数的值 A、B、C.列表观察符号
在点1，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (1,0) ，取得最小值点。
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
f x, y 3y2 6y 0 y

x 1
y1

10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x

x
x,
y


6
Baidu Nhomakorabea
x

6;
f

yy
x,
y


6
y

6;
f

xy
x,
y


f

yx
8x 6y 0.01 3x2 xy 3y2 400
Lx x, y 8 0.01 6x y 0

L x, y
y 6 0.01x
6y 0
解得驻点 120,80,
最大利润 而L大(120，80) 320万元.
三、条件极值
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
在 (0,0) 处无极值．
(3)
定理1（极值存的必要条件）
若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，
且函数在该点的一阶偏导数存在，则有
fx x0, y0 f y (x0, y0 ) 0
注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为
f x
fy
x
y
0, 0,

L


( x,
y)

0.
解得可能的极值点x, y和乘数 可以推广多个函数。
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (1,2) ，无极值点。
二、多元函数的最值
多元函数求最值的一般方法：
将闭区间上的连续函数在定义域内的所 有驻点处的函数值及在定义域的边界上的最 大值和最小值相互比较，其中最大者即为最 大值，最小者即为最小值.
例5 某企业生产两种产品 A和B, 其中销售单价分别为
pA 10元和pB 9元, 总成本数以万元为单位
，它是两种产品 x和y单位：千件的函数 有
函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例, 点(0,0)是函数z xy的唯一驻 但不是极值点.
点，
如何判定驻点是否为极值点？
定理2 (极值存在的充分条件)
设点p0(x0, y0 为) 函数 z f ( x, y) 的驻点 ，且在点
p (x , y ) 000
的某个邻域内 z f ( x, y)
观察二元函数
z


xy e x2 y2
的几何图形
一、二元函数极值
定义1：
设函数 z f ( x, y) 在点
p (x , y ) 000
的某个邻域内有定义，若在该邻域内恒有
f x, y f (x , y )[或f x, y f x , y ],
00
00
则称函数 z f ( x, y) 在点 p0(x0, y0 ) 处取得