2019-2020高考数学(理)复习试题汇编 第八章 立体几何 含解析

r 3 ，所以

1 2

2

2R

3a 3 ， V 4 （

.

第八章 立体几何

第一节 空间几何体及其表面积和体积

题型 85 空间几何体的表面积与体积

1.（2017 江苏 6）如图所示，在圆柱 O O 内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下面及母线均

1 2

相切．记圆柱 O 1O 2 的体积为V 1 ，球 O 的体积为V 2 ，则

O 2

O

O 1

V

V

1 的值是 ．

2

1.解析 设球 O 的半径为 r ，由题意V

1

r 2 2r ，V

2

4 3

V V

2

3 3

．故填 ．

2．2017 天津理 10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18 ，

则这个球的体积为

.

2.解析 设正方体的边长为 a ，则 6a 2

18 a 2

3 .外接球直径为正方体的体对角线，所以

4 27 9

πR 3

π π 3

3 8 2

3.（2107 全国 1 卷理科 16）如图所示，圆形纸片的圆心为 O ，半径为5 cm ，该纸片上的等

边三角形 ABC 的中心为 O .D ， E ， F 为圆 O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别

是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕

折起 △DBC ， △ECA ， △FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥.当 △ABC 的边长

变化时，所得三棱锥体积（单位： c m 3）的最大值为_______.

E

A

F

O

B

C

1

h = DG - OG = 25 - 10x + x - x = 25 - 10x ， △S ABC = 2 3x ⋅ 3x ⋅ 1

2

⋅ h = 3x 2 25 - 10x = 3 25x 4 - 10x 5 .令 f (x ) = 25x 4 - 10 x 5 ， x ∈ 0, ⎪ ， 1 ⎛ 5 ⎫ f (x ) 在 (0,2 )上单调递增，在 2, ⎪ 上单调递减.故 f (x )≤ f (2) = 80 ，则

A ． π

B ． 3π r = 12 - ⎪ =

3.解析 由题意，联结 OD ，交 BC 于点 G ，如图所示，则 O D ⊥ BC ， OG =

3 BC ，

6

即 OG 的长度与 BC 的长度成正比.设 OG = x ，则 BC = 2 3x ， DG = 5 - x ，三棱锥的高

2 2 2 2 =

3 3x 2 ，

则 V =

3 △S ABC ⎝ 2 ⎭

f ' (x ) = 100 x 3

- 50 x 4

，令 f ' (x ) > 0 ，即 x 4

- 2x 3

< 0 ， x < 2 ，当 f ' (x ) < 0 ，得 2 < x < 5

2

，

所以

⎛ 5 ⎫

⎝ 2 ⎭

V ≤ 3 ⨯ 80 = 4 15 ，

所以体积的最大值为 4 15 cm 3.

题型 86 旋转体的表面积、体积及球面距离

4.（2107 全国 3 卷理科 8）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球

的球面上，则该圆柱的体积为（

）.

4

C ． π 2

D ．

π

4

4．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径

⎛ 1 ⎫2

⎝ 2 ⎭

3 2 ，则圆柱体的体积V = πr 2h = 3π

4 .故选B.

题型87 几何体的外接球与内切球

S=⨯(π⨯12)⨯3=

232

S= 2⨯1⨯⎪⨯3=1，所以几何体体积

，三棱锥体积为

2

2

第二节空间几何体的直观图与三视图

题型88斜二测画法与直观图——暂无

题型89空间几何体的三视图

5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）. A.

π

2

π3π3π

+1 B.+3 C.+1 D.

222

+3

5.解析由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为

1

11π1⎛1⎫

3⎝2⎭

S=S+S=π+1．故选A．

12

6.（2017全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）.

A.10

B.12

C.14

D.16

= V = V - V = π ⋅ 32 ⋅10 - ⋅ π ⋅ 32 ⋅ 6 = 63π .故选 B.

2 上 2

6. 解析 由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面，

S = (2 + 4)⨯ 2 ÷ 2 = 6 ， S 梯

全梯 6 ⨯ 2 = 12 .故选 B.

7.（2107 全国 2 卷理科 4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几

何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）.

A ． 90π

B ． 63π

C ． 42π

D ． 36π

7．解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，如图所示．

1 1

总

6

4

6

8.（2017 北京理 7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（

）.

A. 3 2

B. 2 3

C. 2 2

D.2