高一数学数据的数字特征
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§4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
问题 1.如何求平均数、中位数、众数、极差、方差? 引航 2.利用它们进行总体估计的优缺点是什么?
1.平均数、中位数、众数、极差
出现次数
大小顺序
中
间
中间两个数
原数据
平均数
1
n (x1 x2 L xn ) 计算公式
最大值 最小值 最大值 最小值
【解析】(1)错误.平均数不可能大于每一个数据. (2)正确.从平均数、众数与中位数的含义知正确. (3)错误.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它受一组数据中 的极端值的影响. 答案:(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次 考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学 生平均分数为________. (2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6, 9.7,则该射手成绩的方差是__________. (3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21, 24,其中中位数为16,则x=__________.
x
2
y2
10
A．2B．2C．5D．5
x
【即时练】 1.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平 均值为1，则样本方差为( )
2A..已65知一个B样. 65本为x,C1.，2y,5，D其．2中x，y是方程组 x y 2，
的解，则这个样本的标准差是( )
【即时练】
1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，
则这组数据的中位数和平均数分别是
()
A．91.5和91.5
B．91.5和92
源自文库
C．91和91.5
D．92和92
2.对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析,各抽4门功课,得到 的观测值如下:
甲 65 82 80 85 乙 75 65 70 90 问:甲、乙谁的平均成绩较好?
(4)平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一 个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小只与这组数 据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与 这组数据的最大值和最小值有关.
【知识拓展】极差、众数、中位数、平均数的作用 (1)极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样 本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中 位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平 均数反映了一组数据的平均水平，易受极端值的影响. (2)实际问题中求得的众数、中位数和平均数应带上单位.
离,一般用s表示.
s=_______________________________.
1［
n
x1 x
2
x2 x
2
xn x
2
］
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.
() (2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集 中趋势. ( ) (3)极差不受极端值的影响. ( )
【微思考】 (1)在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知 数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？ 提示:众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不一 定出现在已知数据中.
(2)在极差、众数、平均数、中位数中哪些反映了该组数据的 集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？ 提示:众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势;极差反 映了数据的分散程度.
2.标准差与方差 (1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差.
sn2是=_样_n1［_本__x容_1 _量_x_,_2 __是_x_2样__本x__2平__均__数__.x_n__x__2_］_,其中,xn是样本数据,
(2)标准差的求x法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距
【解析】1.选A.中位数为 1(91+92)=91.5; 2
平均数为 1(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.
2. x甲＝(615+882+80+85)=78, (754+65+70+90)=75,
x乙＝1 4
知识点2 对方差与标准差的理解 标准差、方差的作用 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小， 标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小， 数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动 幅度和离散性．
【微思考】 (1)在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？ 提示:方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的 程度，所以在实际问题中一般采用标准差.
(2)在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标 准差的值会变化吗？ 提示:不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同 一个常数，所以(xi－ )2的值不变，所以标准差不变.
【解析】(1)平均分数= 40×75+ 6×080=78.
答案:78
100
100
(2) = 1×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5, 所以x s25= ×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2
1 +(9.7-95.5)2]=0.016.
答案:0.016
(3)由题意知 =16,即x=15.
答案:15
x 17 2
【要点探究】 知识点1 对平均数、中位数、众数、极差的理解 极差、众数、中位数、平均数的比较 (1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能 不唯一.
(2)求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇 数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，居 于中间两个数的平均数才是中位数.可见，中位数不一定是这 组数据中的数值. (3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现 的次数.一组数据的众数可以有多个.
4.2 标准差
问题 1.如何求平均数、中位数、众数、极差、方差? 引航 2.利用它们进行总体估计的优缺点是什么?
1.平均数、中位数、众数、极差
出现次数
大小顺序
中
间
中间两个数
原数据
平均数
1
n (x1 x2 L xn ) 计算公式
最大值 最小值 最大值 最小值
【解析】(1)错误.平均数不可能大于每一个数据. (2)正确.从平均数、众数与中位数的含义知正确. (3)错误.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它受一组数据中 的极端值的影响. 答案:(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次 考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学 生平均分数为________. (2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6, 9.7,则该射手成绩的方差是__________. (3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21, 24,其中中位数为16,则x=__________.
x
2
y2
10
A．2B．2C．5D．5
x
【即时练】 1.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平 均值为1，则样本方差为( )
2A..已65知一个B样. 65本为x,C1.，2y,5，D其．2中x，y是方程组 x y 2，
的解，则这个样本的标准差是( )
【即时练】
1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，
则这组数据的中位数和平均数分别是
()
A．91.5和91.5
B．91.5和92
源自文库
C．91和91.5
D．92和92
2.对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析,各抽4门功课,得到 的观测值如下:
甲 65 82 80 85 乙 75 65 70 90 问:甲、乙谁的平均成绩较好?
(4)平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一 个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小只与这组数 据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与 这组数据的最大值和最小值有关.
【知识拓展】极差、众数、中位数、平均数的作用 (1)极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样 本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中 位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平 均数反映了一组数据的平均水平，易受极端值的影响. (2)实际问题中求得的众数、中位数和平均数应带上单位.
离,一般用s表示.
s=_______________________________.
1［
n
x1 x
2
x2 x
2
xn x
2
］
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.
() (2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集 中趋势. ( ) (3)极差不受极端值的影响. ( )
【微思考】 (1)在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知 数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？ 提示:众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不一 定出现在已知数据中.
(2)在极差、众数、平均数、中位数中哪些反映了该组数据的 集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？ 提示:众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势;极差反 映了数据的分散程度.
2.标准差与方差 (1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差.
sn2是=_样_n1［_本__x容_1 _量_x_,_2 __是_x_2样__本x__2平__均__数__.x_n__x__2_］_,其中,xn是样本数据,
(2)标准差的求x法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距
【解析】1.选A.中位数为 1(91+92)=91.5; 2
平均数为 1(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.
2. x甲＝(615+882+80+85)=78, (754+65+70+90)=75,
x乙＝1 4
知识点2 对方差与标准差的理解 标准差、方差的作用 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小， 标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小， 数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动 幅度和离散性．
【微思考】 (1)在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？ 提示:方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的 程度，所以在实际问题中一般采用标准差.
(2)在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标 准差的值会变化吗？ 提示:不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同 一个常数，所以(xi－ )2的值不变，所以标准差不变.
【解析】(1)平均分数= 40×75+ 6×080=78.
答案:78
100
100
(2) = 1×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5, 所以x s25= ×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2
1 +(9.7-95.5)2]=0.016.
答案:0.016
(3)由题意知 =16,即x=15.
答案:15
x 17 2
【要点探究】 知识点1 对平均数、中位数、众数、极差的理解 极差、众数、中位数、平均数的比较 (1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能 不唯一.
(2)求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇 数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，居 于中间两个数的平均数才是中位数.可见，中位数不一定是这 组数据中的数值. (3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现 的次数.一组数据的众数可以有多个.