复变函数第5讲

在实变函数中, 负数无对数, 此例说明 在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.
三、 乘幂ab与幂函数 1.定义: 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即 ab=ebLn a
2. 性质
① 当a为正数, b为实数, 则乘幂与高等数学中乘幂一 致. ② 当a C, bC时, 有 ab=ebLna=e b[ln|a|+i(arg a+2k)]
Ln z=ln|z|+iArg z
如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值
函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此
ln z = ln|z|+iarg z
而其余各值可由
Ln z=ln z+2ki (k=1,2,...)
表达.
对于每一个固定的k, Ln z=ln z+2ki为一单值函 数, 称为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变 数对数函数. 3. 对数函数的解析性 讨论主值支ln z = ln|z|+iarg z的连续性
2.对数函数为多值函数 令z=rei, w=u+iv, 则eu+iv=rei, 所以 因此 u=ln r, v= +2k=Argz w=Ln z=ln|z|+iArg z=ln|z|+i(arg z+ 2k)
由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值
函数, 并且每两个值相差2i的整数倍,记作
下沿
结论1： lnz 在除去原点与负实轴外，处处都是连续的。
讨论主值支ln z = ln|z|+iarg z的解析性
z=ew在区域-<arg z< 内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数求导法则可知:
d ln z 1 1 w de dz z dw
又由Ln z=ln z+2ki ，所以各分支在在除去原点与
负实轴外，处处可导，且导数为
d ( Lnz )k d (ln z 2k i )k 1 dz dz z
结论2： Ln z的各分支在除去原点与负实轴的平面内
解析，且
d ( Lnz )k 1 dz z
4. 运算法则
复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 有
Ln( z1 z2 ) Ln z1 Ln z2
这个性质是实变指数函数所没有的。
⑥ lim e z 不存在. z 因为z沿实轴的正负方向趋于时, ez分别趋于+ 和0.
二、对数函数 1.定义: 把指数函数的反函数定义为对数函数, 即 满足
ew=z
(z0)
的函数w=f(z)称为对数函数. 记作: w=Lnz
注意: 当z=0时, w=Lnz无意义.
ab具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值. 除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.
④ 当b=n为整数时, 由于
an=enLna= eLna+Lna+…+Lna =a· a·…·a
所以这时ab具有单一的值.
⑤ 当 b=1/n, n为整数时, 由于
a e
b
1 Lna n
1 n
而2 Ln z只是集合中每一个元素+ Ln z的一个真子集。所以在复数
域中, Ln z22 Ln z .
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2ki, 所以它的主值就是ln2. Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)i(k为整数). 所以它的主值是: ln(-1)=i.
=eb(ln|a|+iarg a)+2kbi=eblna e2kbi
由于Lna 是多值的, 因而ab也是多值的.
③ 当b=p/q (p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
ab e
p Ln a q
e
p [ln|a| i (arg a 2 k )] q
e
p ln a q
e
2 kpi q
e
1 [ln|a| i (arg a 2 k )] n
arg a 2k arg a 2k n | a | cos i sin a n n
一、 指数函数 1.定义: 设z=x+iy, 则称ex(cos y+i sin y)为复数z的 指数函数. 记作: exp z=ex(cos y+isin y) 或ez=ex(cos y+isin y). 显然有 Re(ez)=excos y, Im(ez)=exsin y, |ez|=ex, Arg(exp z)=y+2k
z1 Ln Ln z1 Ln z2 z2
但
Lnz nLn z ,
n
1 Ln z Ln z n
n
不成立
Ln z22Ln z 说明:
记号Ln z表示一个有无穷多个元素的集合，因此
Ln z+ Ln z 2 Ln z ,这里Ln z+ Ln z应该看作是由两个
相同集合Ln z中,各取一个元素相加所得的和的集合.
2.性质: ① ez0, 因为|ez|=ex 0. ② 当z=x (y=0)时, 与通常的实变指数函数ex一致. ③ ez1· ez2 = ez1+z2
④ w=ez 在复平面处处解析, 且 (ez)'= ez.
⑤ w=ez 以2ki为周期: 即
ez+2ki=ez k=0, 1, 2, 3, …
对于主值ln z, 由于 ln|z|=1/2 ln(x2+y2),
故ln|z|除原点外在其它点都是连续的.
讨论arg z的连续性
对于arg z, 设z=x+iy, 则当x<0时, 有
y 0
lim arg z , lim arg z π .
y 0
所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点arg z处处 连续. 上沿
本节主要内容
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂ab与幂函数
四、三角函数 五、复双曲函数 六、反三角函数与反双曲函数
幂函数zn, 指数函数 ez, 三角函数sinz, cosz, … , 双曲函数shz, chz, …, … ,它们都可以看成是 相应实变函数在复数域中的推广。
主要考虑如下几点： · 如何将相应实变函数推广到复数域 · 这些函数的解析性 · 这些函数作为复变函数所特有的新性质.