第5讲 复数学生

第5讲 复数

[玩前必备]

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．

(2)分类：

(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．

2．复数的几何意义

复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →

＝

(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，

Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

[玩转典例]

题型一 复数的概念及分类

例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3

＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

例2 (1)若5－12i ＝x i ＋y (x ，y ∈R)，则x ＝________，y ＝________.

(2)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，i 为虚数单位．求实数x ，y 的值．

[题型练透]

1.当m 为何值时，复数z ＝m 2(1＋i)－m (3＋i)－6i ，m ∈R ，是实数？是虚数？是纯虚数？

2.4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( )

A ．1

B ．1或－4

C ．－4

D ．0或－4

题型二 复数的几何意义

例3 (1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA 对应的复数是( )

A ．－5＋5i

B ．5－5i

C ．5＋5i

D ．－5－5i (2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.

①求向量AB ，AC ，BC 对应的复数；

②判定△ABC 的形状．

例4 (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( )

A ．1＋2i

B ．－1－2i

C ．±1±2i

D ．1＋2i 或－1－2i

(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B ．(－1,1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0，＋∞)

[题型练透]

1．(全国甲卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－3,1)

B ．(－1,3)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－3) 2．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |＜2，那么实数a 的取值范围是( )

A ．(－22，22)

B ．(－2,2)

C ．(－1,1)

D ．(－3，3)

3．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．

题型三 复数代数形式的四则运算

例5 已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.

例6 (1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部；

(2)已知z 是纯虚数，z －21＋i

是实数，求z .

[题型练透]

1.已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.

2.若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( )

A ．3＋5i

B ．3－5i

C ．－3＋5i

D ．－3－5i

3.设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i

为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2

B ．－2

C ．－12

D.12

题型四 复数运算的综合应用

例7 已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1

是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；

(2)若ω＝1－z 11＋z 1

，求证：ω为纯虚数．

[题型练透]

1. 设z 是虚数，ω＝z ＋1z

是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．

[玩转练习]

1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i

＝( ) A ．2＋i

B ．2－i

C ．－2＋i

D ．－2－i 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2