辽宁省沈阳市高三一模理科数学答案

2019年沈阳市高三第二次模拟考试数学（理科）

参考答案与评分标准

一、选择题DAABC BDADB DC 二、填空题13. 8 14.32 15. 1213 16.25344

n n - 三、解答题

17.解：

6

sinC

3=

所以sin 1C =，2C π∠=，……3分 所以

2BC ==

，所以1S 22

=⨯⨯=6分

（Ⅱ）设DC x =，则2BD x =

，所以

(

)

2

2

2

2

2

226x x +

-+-=

解得：3

x =所以3BC DC ==12分

18. 解：（I ）估计第一车间生产时间小于75min 的工人人数为

6

2006020

⨯

=（人）…………………………………………………2分 估计第二车间生产时间小于75min 的工人人数为

400(0.0250.05)10300⨯+⨯=（人）………………………………4分 （II ）第一车间生产时间平均值约为

6027048010904

7820

x ⨯+⨯+⨯+⨯=

=第一车间（min ）……………………5分

第二车间生产时间平均值约为

600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）………6分

∵x x >第一车间第二车间，∴第二车间工人生产效率更高………………………8分

（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min 的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布， X 可取值为0，1，2，

03243

641

(0)205

C C P X C ====，………………………………………………9分 12243

6123

(1)205

C C P X C ====，……………………………………………10分 21243

641

(2)205

C C P X C ====………………………………………………11分

X

数

131

()0121555

E X =⨯+⨯+⨯=………………………………12分

19. （I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，

,AB CE AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE ，

∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，

3

C ADE π

∠=∠=

，

23DAB ABC π∠=∠=

∴在等腰ADB ∆中，6

ADB ABD π

∠=∠=

∴2362

DBC πππ

∠=-=即BD BC ⊥，

∴BD AE ⊥，……………………………2分

翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP POB ⊂平面，OB POB ⊂平面，OP OB O =，AE POB ∴⊥平面， PB POB ⊂平面，AE PB ∴⊥；……………4分 （II ）解：在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ，

AE POB ⊥平面，AE PQ ∴⊥，OB ⊂平面ABCE ,AE ⊂平面

ABCE

AE OB O =

PQ ABCE ∴

⊥平面，

∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4

PBQ π

∠=，

又OP OB =

，OP OB ∴⊥，

∴O 、Q 两点重合，即OP ABCE ⊥

平面，……………6分

以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为

z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为

P ，1(,0,0)2E ，C ， ∴1(,0,2PE =

，1

(2EC =，

设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，

则110

PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1

022

102

x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设x =1y =-，1z =，

O

E

D

C

B

A

P

O

E C

B A

Q P

O

E

C

B

A

∴1(3,1,1)n =-，…………………………………………………………8分 由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =，………………………9分 设二面角A-EP-C 为α

，1212cos ||||1n

n n n α⋅=

=⨯11分 易知二面角A-EP-C 为钝角，所以cos 5

α=12分 20．解：（I ）法一：设(,)N x y ，000(,)(0)M x y x ≠，11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，

∴直线1NB ：0

033

x y x y +=-

+①………………………………1分 直线2NB ：0

033

x y x y -=-

-②………………………………2分 ⨯①②得

22

2

2099x y x y -=-，又

2200

1189

x y +=， 20

2222

018(1)9929y y x x y -∴-==--，

整理得点N 的轨迹方程为：

22

199

2

y x +=（0x ≠）……………………6分 法二：设11(,)N x y ，000(,)(0)M x y x ≠，

11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，

∴直线1NB ：0

033

x y x y +=-

+……① 直线2NB ：0

033

x y x y -=-

-……② 由①，②解得：2

01

01

09y x x y y

⎧-=⎪⎨

⎪=-⎩，又22001189x y +=， 0

12

x x ∴=-

，……………………………………………………………4分