指数函数及其性质(一)

0
x
(0.9)3.1 <(0.9)0 =1 ∴(1.7)0.3 >1>(0.9)3.1
比较两个幂的形式的数大小的 (1) 底数方相法同: 指数不同的两个幂的大 小比较,可以利用指数函数的单调性 来(2)判底断数.不同指数相同的两个幂的大 小比较,可以利用作商法来判断. (3) 底数不同指数不同的两个幂的大 小比较,则应通过中间值来判断. 常用
y 23x
y 3x
y 4x2
y 3x1
y (4)x
y x
y x3
y33x1
y(a1)x
例:用描点法作出下列两组函数的 图象，然后写出其一些性质：
(1)y=2x 与 y=3x ; (a>1)
(2) y
(
1 2
)
x
与
y
(
1 3
)
x
.
(0<a<1)
画 y=2x 与 y=(1/2)x的图象:
x
指数函数及其 性质
学习目标:
1、了解指数函数模型的实际背景，认识 数学与现实生活及其他学科的联系； 2、理解指数函数的概念和意义; 3、能画出具体指数函数的图象，掌握指 数函数的性质(单调性、特殊点)。
某个细胞分裂的过程如下:当分裂第x次时,细胞
的个数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy,问y与x的关系式是:
分裂次数 第1次 第2次 第3次
∵0<0.8<1
0
x
∴指数函数在R上为减函数
∴ -0.1>-0.2
∴( 0.8）-0.1 < （0.8)-0.2
例 2： 比 较 下 列 各 题 中 两 个 值 的 大 小 ：
(3)1.70.3,0.93.1
解:(3)根据指数函数
0<a<1 y
(a>1)
的性质得：
∵(1.7)0.3 >(1.7)0 =1
y y=(1/3)x
y=3x
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
观(1察)当图底象数，a>谈1时谈，图图象象的上升性，质且：底数越大时，
图象向上越靠近于y轴。
(2)当底数0<a<1时，图y象下降，底数越小时， 图象向右越靠近于x轴8 。
y (1)x 3
7 6
y (1)x
5 4
2
3
(1) a>1 时?
1
f 1 3 3 ,
f 3 1 1
待定系数法、函数与方程的思想
(1)函数 yax14
恒过定点( A(1，5)
A
)
B(1，4)
C(0，4)
D(4，0)
一、运用指数函数单调性比较大小：
例2：比较下列各题中两个值的大小：
（1） 1.72.5,1.73(2)0.80.1,0.80.2
(3)1.70.3,0.93.1
1和0.
练习：
构造函数
1、用“＞”或“＜”填空：
1 4
3
5
＜
1 4
0
y
(1 4
)x
4 3
5
＞6 4 0
3
y (4)x 3
7
5 .06 4
＜
5.060
2
0 .19 3
＞
0.190
y 5.06x y 0.19x
【★成竹在胸】
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
y
y＝ax y＝ax
y
0<a<1 y
(a>1)
解 ： (1 )对 于 指 数 函 数 y(1 .7)x 0 x
Q1.71 函 数 在 R 上 为 增 函 数
又Q2.53(1.7)2.5(1.7)3
例 2： 比 较 下 列 各 题 中 两 个 值 的 大 小 ：
(2)0.80.1,0.80.2
0<a<1 y
(a>1)
解:(2)对于指数函数y=(0.8)x
第4次
第x次
一
个
细
表达式
胞
y 2x
…...
细胞总数y 21
22
23
2 4 …...
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年 剩留这种物质为原来的84%, 经过x年后剩余量为y
经第
第
第
经过
过一
二
三
年
年表达式年
x年
y 0.84x
剩余量y 184% 184%2 184%3 …...
在 y2x,y0.84x中指数x是自变量，
… -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 …
y=2x … 0.25 0.35 0.5 1 2 2.83 4 …
y=(1/2)x … 4 2.83 2 1 0.5 0.35 0.25 …
y (1)x
y
2
y 2x
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
画 y=3x 与 y=(1/3)x的图象:
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=3x … 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 … y=(1/3)x … 5.20 3 1.73 1 0.58 0.33 0.19 …
2
y 3x
y 2x
(2) 0 <a<1 时?
1
4 3 2 1 o
1
2
x 34
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
y
y＝ax
y＝ax
y
图
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
性
y=ax 与 y=(1/a)x关于y轴对称
图
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
4 3
1
3
10
3 5
B. 3 1 3 4
5 10
3
C. 1 10
3 5
4 3
3
D.
3
4 3
31 5 10
c3 c2
c4
y c1
1
O
x
例 1:已知指数 f(x)函 ax数 (a0且a1)
的图象经 (3,过 ) 点
求f(0),f(1),f(3)的值 .
解：Qf 3 a3
1
x
a 3
f x 3
f 00 1,
(2)若a0 则对于x的某些数值，可能无意义
如
2x，这时对于
x
1, 2
x
14……等等，
在实数范围内函数值不存在
(3)若a 1 则对于任何 xR, ax 1
是一个常量，没有研究的必要性
观察指数函数的特点:
y 1•ax
自变量仅有这 一种形式
系数为1 底数为正数且不为1 练习：判断下列函数是否是指数函数？
质 在R上增函数,非奇非偶 在R上减函数,非奇非偶
x＞0时，ax＞1
x＞0时，0＜ax＜1
x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
练习：图中的曲 数线 函是 y数 指 ax的图,象
已知 a的值取 3, 1,4,3四个,值 则相应的 103 5
曲线 c1,c2,c3,c4的a的值依次 A为
A.
底数是一个大于0且不等于1的常量. 把这种自变量在指数位置上而底数
是一个大于0且不等于1的常量的函数叫 做指数函数.
指数函数的定义：
函数 yax(a0,a1) 定义域是R
叫做指数函数，其中x是自变量
探究：为什么要规定a0,且a1
(1)若 a0 则当x > 0时，ax 0
当x≤0时, a x 无意义