蝴蝶定理

中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。

到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。

而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。

关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。

其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。

另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

蝴蝶定理的证明
（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单
几何方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于
EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒
得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又
MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，
AUM MVC ∠=∠
则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

[1]
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○
1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即
PC'CQ =。

又
111
CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠（）（）
故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2
由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF
∆图 2
及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有
FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC
1ME DN CF
⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅
得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED
⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()
2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--
化简上式后得ME=MF 。

[2]
2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

证法 4 （Steven 给出）如图5，并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1
MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
化简得 ()()()()222
22
2MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222
222x y a y a x -=-，
从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对
MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有
图 3
图
4
图 5
D
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+
，
上述两式相减，得
()()(11sin sin sin MC MD MB MF ME MC MD
MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪
⋅⋅⎝⎭
设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα
-==︒-=-==︒-=
于是 ()1
1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，
而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的
证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，
由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则
圆的方程可写为
()
2
2
2
x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为
1y k x =,2y k x
=。

又设A B C D 、、、的坐标为
(),,1,2,3,4
i i x y i =，
则14x x 、分别是二次方
程
()
()2
2
22222
212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。

AD 在y 轴上的截距为
()()241111214411111214141k x k x x k k x x y y
y x k x x x x x x x ----⋅=-=---。

同理，BC 在y 轴上的截距为()1223
32
k k x x
x x --。

注意到12x x 、是
方程()22221120k x ax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程
()22
22
2
120
k x
ax a r +-+-=的两根，所以
34
12221234
2x x x x a
x x a r x x ++==-，
从
而
易
得
3412
1234
0x x x x x x x x +=--，
即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。

因C F B 、、三点共
线，令BMx CMx αβ
∠=∠=，，
则
()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫
⎛⎫
-
+-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
即 ()
C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ
-=- ○1
()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○2
图 8
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。

注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

用解析法对蝴蝶定理再推广
定理：已知AB 是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O 为AB 上任意一点,过O 作两弦CD 、EF,连CF 、DE 分别交AB 于点P 、Q,则
1111PO
QO
AO
BO
-=-
证明:仅对椭圆给出证明,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立直角坐标糸,如图1,设椭圆方程为
2
2
2
2
()()1(
x m y n a b a
b
--+
=>直线CD 方程为：y =2y k x =,1,(,),(,)(,00A
B
A x
B x
C x 3344(,),(,)E x y F x y .由1
2
(y k b x =-⎧⎨⎩去得:22222211()2(b a k x b m a k +-+22
112222
12222221222212()
b m a k n b a k b m a n a b
b a k x x x x ++⇒+-+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
2222221222
1212()b m a n a b b m a k n x x x x +-=+⇒+ ① 同理得 222222
22
343422()
b m a n a b
b m a k n x x x x +-=++ ② 设P(p,0),Q(q,0),则由C 、P 、F 三点共线知
1111214424
1124
()x p k x k k x x P x p
k x k x k x --=
⇒=
--,
同理由D 、Q 、E 共线得: 12231223
()k k x x q k x k x -=
-
又
1111p q PO
QO
p
q
pq
+-
=-
-
=-
141213231124121234
()()
()x x k x k x x x k x k x k k x x x x -
-+-=-
由①②得：
2
2
2
2
2112
12
34
34
()()b m a k n b m a k n x x x x x x x x ++=
++
化简整理得：[][]2214121323112423411423()()()()a n x x k x k x x x k x k x b m x x x x x x x x -+-=--- 故
2
3
4
1
1
4
2
3
1
2
1
2
3
4
2
2
()()
11()x x x x x x x x PO
QO
k k x x x x
b m a n =
------⋅ 2
2
3412221234123412121111()()x x x x b m
b m a n k k x x x x a n k k x x x x ++--=⋅+--=⋅---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
12122()
2()a n k k b m
b m a n k k b m a n a b
b m a n a b
⋅
---=
=
-+-+- ③
而
A B x m x m ==+
2
2
2
2
2
2
2
11112A
B
A B A B
x x mb
AO
BO
x
x
x x b m a n a b
+--
=-
-
=-
=
⋅+-∴
④
由③④得：
1111PO
QO
AO
BO
-
=
- 证毕。

在圆、双曲线、抛物线中类似可证。

注：当O 为AB 中点，圆锥曲线为圆时,此性质即为著名的蝴蝶定理。