一元二次方程的公共根与整数根

方程有整数根的条件：
如果一元二次方程 有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴ 为完全平方数；
⑵ 或 ，其中 为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中 、 、 均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．
一、一元二次方程的公共根
【例1】求 的值，使得一元二次方程 ， 有相同的根，并求两个方程的根．
【巩固】三个二次方程 ， ， 有公共根．
⑴求证： ；
⑵求 的值．
【例2】试求满足方程 与 有公共根的所有的 值及所有公共根和所有相异根．
【巩固】二次项系数不相等的两个二次方程 和
(其中 ， 为正整数)有一个公共根，求 的值．
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程 的实根情况，可以用判别式 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
二、一元二次方程的整数根
【例3】已知关于 的方程 的两根都是整数，求 的值．
【巩固】当 为何整数时，方程 有整数解．
【例4】求所有正实数 ，使得方程 仅有整数根．
【巩固】方程 有两个整数根，求a的值．
【巩固】已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数 有___________个．
【例5】设方程 有整数解，试确定整数 的值，并求出这时方程所有的整数解．
【巩固】试证不论 是什么整数，方程 没有整数解，方程中的 是任何正的奇数．
【巩固】若一直角三角形两直角边的长， 、 均为整数，且满足 ．试求这个直角三角形的三边长．
【例10】已知 是正整数，如果关于 的方程 的根都是整数，求 的值及方程的整数根．
【巩固】求方程 的所有整数解．
【巩固】已知 为整数，关于 的方程组 的所有解均为整数解，求 的值．
【巩固】已知方程 有两个不等的负整数根，则整数 的值是__________．
【巩固】若 为正整数，且关于 的方程 有两个相异正整数根，求 的值．
【例8】关于 的方程 至少有一个整数解，且 是整数，求 的值．
【巩固】已知方程 ( 是非负整数)至少有一个整数根，那么 ．
【巩固】已知关于 的方程 (其中 是非负整数)至少有一个整数根，求 的值．
【巩固】设 为质数， 为正整数，且满足
求 的值．
【巩固】已知方程 及 分别各有两个整数根 及 ，且 ， ．
⑴求证： ， ， ， ；
⑵求证： ；
⑶求 所有可能的值．
【例6】已知 为常数，关于 的一元二次方程 的解都是整数，求 的值．
【巩固】设关于 的二次方程 பைடு நூலகம்两根都是整数，求满足条件的所有实数 的值．
【巩固】 为什么实数时，关于 的方程 的解都是整数？
【巩固】若关于 的方程 的解都是整数，则符合条件的整数 的值有_______个．
【例7】若 为正整数，且关于 的方程 有两个相异正整数根，求 的值．
【例9】设 为整数，且 ，方程 有两个整数根，求 的值及方程的根．
【巩固】已知 ，且关于 的二次方程 有两个整数根，求整数 ．
【巩固】已知 为质数，使二次方程 的两根都是整数，求出所有可能的 的值．
【巩固】已知方程 有两个质数根，则常数 ________．
【巩固】设 是两个奇整数，试证方程 不可能有有理根．