1有限元法简介

1有限元法簡介

1.1有限單法的形成

在工程技術領域內，經常會遇到兩類典型的問題。其中的第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續梁、建築結構框架和桁架結構。我們把這類問題，稱為離散系統。如圖1-1所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“杆單元”組成。儘管離散系統是可解的，但是求解圖1-2所示這類複雜的離散系統，要依靠電腦技術。

圖1-1 平面桁架系統

圖1-2 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優化設計（曾攀教授）

第二類問題，通常可以建立它們應遵循的基本方程，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由於建立基本方程所研究的物件通常是無限小的單元，這類問題稱為連續系統。

圖1-3 V6引擎的局部

下面是熱傳導問題的控制方程與換熱邊界條件：

t

T

c

Q

z

T

z

y

T

y

x

T

x∂

∂

=

+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

ρ

λ

λ

λ（1- 1）初始溫度場也可以是不均勻的，但各點溫度值是已知的：

()

x,y,z

T

T

t

=

=

（1- 2）通常的熱邊界有三種，第三類邊界條件如下形式：

()

f

T-T

h

n

T

λ=

∂

∂

-（1- 3）

儘管我們已經建立了連續系統的基本方程，由於邊界條件的限制，通常只能得到少數簡單問題的精確解答。對於許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如，圖1-3所示V6引擎在工作中的溫度分佈。這為解決這個困難，工程師們和數學家們提出了許多近似方法。

在尋找連續系統求解方法的過程中，工程師和數學家從兩個不同的路線得到了相同的結果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源於固體力學中矩陣結構法的發展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結構等標準離散系統與人為地分割成有限個分區後的連續系統在結構上存在相似性。

1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數，求得單元節點力與節點位移關係的單元剛度矩陣。

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜誌上發表了一組能量原理和結構分析論文。

1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術語。

數學家們則發展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權餘量法。

在1963年前後，經過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發現只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權餘量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。

我國的力學工作者為有限元方法的初期發展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。

1.2 有限元法的基本思路

有限元法的基本思路可以歸結為：將連續系統分割成有限個分區或單元，對每個單元提出一個近似解，再將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統近似的系統。

下面用在自重作用下的等截面直杆來說明有限元法的思路。

等截面直杆在自重作用下的材料力學解答

圖1-4 受自重作用的等截面直杆

圖1-5 離散後的直杆

受自重作用的等截面直杆如圖所示，杆的長度為L ，截面積為A ，彈性模量為E ，單位長度的重量為q ，杆的內力為N 。試求：杆的位移分佈，杆的應變和應力。

)()(x L q x N -=

EA

dx

x L q EA dx x N x dL )()()(-=

=

⎰-==x x Lx EA q EA dx x N x u 0

2

)2()()(

（1- 4）

)(x L EA

q dx du x -==

ε )(x L A

q

E x x -==εσ

等截面直杆在自重作用下的有限元法解答

1）離散化

如圖1-5所示，將直杆劃分成n 個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結點，稱每個有限段為單元。

第i 個單元的長度為L i ，包含第i ，i+1個結點。

2）用單元節點位移表示單元內部位移

第i 個單元中的位移用所包含的結點位移來表示，

)()(1i i

i

i i x x L u u u x u --+

=+ （1- 5）