数理统计
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计
数理统计数理统计(Mathematics Statistics)什么是数理统计数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象数量变化基本规律的一种方法。
其主要内容有参数估计、假设检验、相关分析、试验设计、非参数统计、过程统计等。
数理统计的特点它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性.例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性.数理统计的起源与发展数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作.在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.数理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段.古典时期(19世纪以前).这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期.在这一时期里，瑞土数学家贝努里(1654-1795年)较早地系统论证了大数定律.1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后被发展为一种统计推断方法――贝叶斯方法，开创了数理统计的先河.法国数学家棣莫佛(1667-1754)于1733年首次发现了正态分布的密度函数.并计算出该曲线在各种不同区间内的概率，为整个大样本理论奠定了基础.1809年，德国数学家高斯(1777-1855)和法国数学家勒让德(1752-1833)各自独立地发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析.在数理统计的理论与应用方面都作出了重要贡献，他不仅将数理统计应用到生物学，而且还应用到教育学和心理学的研究.并且详细地论证了数理统计应用的广泛性，他曾预言："统计方法，可应用于各种学科的各个部门."近代时期(19世纪末至1845年)数理统计的主要分支建立，是数理统计的形成时期.上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展.1889年，英国数学家皮尔逊(1857-1936)提出了矩估计法，次年又提出了频率曲线的理论.并于1900年在德国数学家赫尔梅特在发现 c 2分布的基础上提出了c 2 检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布.1908年，英国的统计学家戈塞特(1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法)，这为数理统计的另一分支――多元分析奠定理论基础.1912年，英国统计学家费歇(1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计和方差分析等数理统计新分支.这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了其决定其面貌的内容和理论.数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科.现代时期(1945年以后)美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德(1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果.他发展了决策理论，提出了一般的判别问题.创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法.瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》，被认为是数理发展史上的经典之作.由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等.当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具.。
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
数理统计学(基础性学科理论)
与社会经济学关系
相同点
历史
不同点
历史
社会经济统计学在原始社会末期，奴隶社会早期就已经开始萌芽，主要是对人口数量与土地的丈量进行统计， 伴随着社会和经济的发展，社会经济统计学在封建社会就已经初具规模，在资本主义时期，其发展更是到了上升 时期。社会经济统计学的发展离不开人类的实践活动，在实践中逐渐成熟。直到在统计学中引入了概率论以后， 才使统计学诞生出新的学科，即数理统计学。
从数学上对生物统计进行研究的第一人是英国统计学家皮尔逊，他曾在伦敦大学学院学习，然后去德国学物 理，1881年在剑桥大学获得学士学位，1882年任伦敦大学应用数学力学教授。
具体地说与人们生活有关的如某种食品营养价值高低的调查；通过用户对家用电器性能指标及使用情况的调 查，得到全国某种家用电器的上榜品牌排名情况；一种药品对某种疾病的治疗效果的观察评价等都是利用数理统 计方法来实现的。
相同点
社会经济统计学和数理统计学都是对事物的统计规律进行研究，并且在研究方法论方面具有共通性，两者都 是利用归纳推理的研究方法而不是演绎推理的研究方法。在许多教材中，在对数理统计学的学科性质进行阐述时 都明确表示数理统计学是对随机现象的数据进行统计，并对其规律性进行研究与揭示。而关于社会经济统计学的 研究对象，在统计学术界还存在一些争议，一部分学者认为，社会经济统计学属于独立的社会科学类，主要是对 具体时间、具体地点条件下的社会经济现象中的数量表现进行研究和统计，并揭示其数量规律，认为其数量表现 和规律就是社会经济统计学需要研究的对象。还有一部分学者则认为社会经济统计学属于统计方法论科学类，重 在对社会经济现象下的数据进行收集、整理、统计与分析，认为其统计方法论就是需要研究的对象。而经过长期 的实践来看，社会经济统计学和数理统计学两者在研究对象上其实具有同一性，这两门学科都是在对事物的统计 规律进行研究和揭示。
数理统计基本知识
2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.
( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2
i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y
2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X
U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
数理统计的基本概念
证明:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
5.1.4 统计量及抽样分布
2. F分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
列出其频数频率分布表。
组序 分组区间 组中值 1 (147，157] 152 2 (157，167] 162 3 (167，177] 172 4 (177，187] 182 5 (187，197] 192 合计
频数 4 8 5 2 1 20
频率 累计频率(%) 0.20 20 0.40 60 0.25 85 0.10 95 0.05 100 1
1、设X 1 , X 2 ,
, X n (n 2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本， (n 1) X 12
2 X i i 2 n
X 为样本均值，S 2为样本方差，则统计量
服
从 __________ 分布。 (05—06二）
2、设 X 1 , X 2 , X 3是来自正态分布 N (0, 2 )总 体的简单随机样本，则 统计量 2 服从 ________ 分布。（05—06三） X1 X X
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
数理统计学
数理统计学数量统计学是根据从总体中随机抽出的样本里所获得的信息来推断关于总体性质的一门学科.或者说是为了得到科学的和实用的结论,而系统整理并利用统计数据的数学方法.它的任务就是研究怎样获得数据和如何分析带有随机性数据,在此基础上对各知识领域中的问题进行推断、预测、直至确定应采取的行动和决策方案.“统计学”（statistics）一词是德国学者阿享瓦尔针对17世纪在德国兴起的“政治学”（德文,staatenkunde）而使用的术语.这门学问最初是用统计方法描述一些先进国家的经济和税收状况.而作为以概率论为基础的数理统计学的产生却是相对比较晚近的事.几百年来,数理统计学已经发展成为一门既有坚实的理论基础,又有广泛实用价值的数学学科.数理统计学的发展史大致可以分为三个时期.数理统计学的萌芽时期历史上最早出现的统计推断可以看作是英国统计学家格兰特在1662年组织调查伦敦市死亡人数,从数量上去掌握集团的统计推断,并发表专著《从自然和政治方面观察死亡统计表》.因此,数理统计学可以认为是格兰特于17世纪60年代开创的.格兰特对生命统计、保险统计及经济统计,进行数学的研究.这一学问曾被称为“政治算术”.他由统计的结果发现人口出生率与死亡率相对稳定,于是提出“大数恒静定律”,成为统计学的基本原理.英国学者佩蒂沿袭了格兰特的方法,统计不同职业人口及伦敦等地的居民数目,著有《政治算术》一书.由于需要对各地人口、农业生产品及国际贸易数量的估计,亟待若干形式的测定数作为处理问题的根据,并需要科学的方法,对测定数进行分析,于是统计学的数学性质逐渐加深,奠定了现代数理统计学的基础.另一方面,概率论的发展不可避免地要影响到数理统计学的发展.现在人们所理解的统计推断程序,最早的就是贝叶斯方法.贝叶斯长期担任英国一个地方教堂的牧师.他自学数学成才,对概率论作出了重要贡献.在他的论文《机会学说问题试解》中建立了条件概率的贝叶斯定理或贝叶斯公式,以后成为统计推断的基础.用概率模型作为手段的数据分析始于19世纪初.被某些人称为近代统计分析中的“汽车”1的最小二乘法原理是由两位著名数学家高斯和勒让德发展起来的2,首先用于分析天文观测中的误差.高斯把钟形曲线作为观测误差的分布曲线.20世纪以来,最小乘二法原理经过俄国数学家马尔可夫和其他学者的工作发展成为数理统计学中的一个重要方法.高斯的工作揭示了正态分布的重要性,因此,人们通常称正态分布为高斯分布.曾经有一段时间,学者们普遍认为在实际问题中遇到的几乎所有连续随机变量,都可以用正态分布来刻划.到19世纪后期,一些学者（特别是皮尔逊）开始认识到这种看法的局限性.19世纪中叶,许多数理统计学理论的新发展,几乎直接或间接地由两个人1指最小二乘法在近代统计中的作用,有如汽车在现代社会中的作用.2高斯和勒让德到底是谁先发明最小二乘法,是统计学史上最著名的有关优先权的争论.勒让德一直声称他是最早的发明者,他在1805年发表了有关结果.所推动.一个是比利时统计学家凯特勒,一个是英国生物学家高尔顿凯特勒的主要功绩在于使统计方法获得普遍应用.凯特勒对各种学科均有研究,如天文学、数学、物理学、生物学、社会统计学及气象学等.他将统计方法应用到上述研究范围上去,并强调了正态分布的用途,主张这一分布状态可以适用于许多学科范畴.凯特勒曾致力于比利时国势调查以及组织国际统计活动.他引进所谓“平均人”（averageman）的概念,起了总体概念的先驱作用.高尔顿是生物学家达尔文的表弟,他对遗传定律颇感兴趣,并最早把统计方法用于生物学.高尔顿曾到非洲考察和探险,搜集了大量资料,并投入很大精力钻研资料中所隐藏的模型与关系.在1889年出版了《自然的遗传》一书,引进了回归直线、相关系数的概念,创立了回归分析.这在遗传的研究中,是以弄清儿辈特征值与父辈特征值的相关关系为目的的.但在那个时代,样本特征值与总体特征值的区别还是很不清楚的.此外,高尔顿还提出了中位数、四分位数、百分位数及四分位偏差等概念.爱尔兰经济学家兼统计学家埃奇沃思关于方差和或然误差的一系列文章也是这一时期的工作.日渐成熟的数理统计学从19世纪末到第二次世界大战结束,可认为是数理统计学发展的第二个时期.这个时期,数理统计学蓬勃发展,名家辈出,提出了一些带根本性的重要概念和方法,完成了许多重要的工作,形成了一系列的基本分支,为数理统计成为一门数学学科打下了坚实的基础.这一时期开始于英国数学家皮尔逊的工作.皮尔逊1884年任伦敦大学学院应用数学和力学教授,担任过格雷沙姆几何学教授、应用数学系主任和高尔顿优生学教授.1899年,他和剑桥大学的动物学家讨论达尔文的自然选择理论.他将数理统计应用于生物遗传和进化诸问题,得到生物统计学和社会统计学的一些基本法则.进一步发展了回归和相关的理论.术语“总体”、“众数”、“标准差”,“变差系数”都是他引进的.皮尔逊认为,统计的基本问题在于“由过去的数据来推断未来会发生什么事”.做到这一点的途径是“把观测数据转化为一个可供预测用的模型”.他对统计的理解已经接近现代的理解.他为此发展了一系列方法──皮尔逊分布族、矩法、拟合优度2 检验等.为了描述自然现象的非对称分布特性,皮尔逊研究出所谓反频率曲线.他和高尔顿等人主持创办了著名的《生物计量》杂志,皮尔逊于1901—1936年担任主编.这一杂志,至今在国际上仍享有盛名;他还担任过《优生学纪事》的编辑.他的著作有:《对进化论的数学贡献》、《统计学家和生物统计学家用表》、《死的可能性和进行论的其它研究》等.19世纪末年,由于概率论的发展,使数理统计学进一步与应用相结合.于是,统计理论与方法开始演进到现代的形态.1908年对现代数理统计学来说,是极重要的一年.英国学者戈塞特以“学生”,为笔名在《生物计量》上发表一篇划时代的文章,得到了t-统计量的精确分布的形式.它不仅成为数理统计学常用的工具,而且也是统计量精确分布理论中一系列重要结果的开端;特别在多元正态总体抽样分布方面有重要意义.因此,可以说戈塞特的工作为样本资料的统计分析与解释开辟了一个新纪元.戈塞特自1899年到他逝世的1937年,都在世界上最大酿酒商之一吉尼斯的啤酒厂担任统计工作.他常与农业实验接触.为了使实验尽可能少消耗原料,他注意到应用小样本及从小样本得到可靠知识的重要性,从而创立了t-分布方法.但当时,他所推导的t-分布方法是不完整的.对现代数理统计学的发展作出决定性贡献的:是英国学者费希尔.他早年在剑桥大学攻读数学和理论物理,后来致力于生物统计学的研究.费希尔利用n维几何方法（多重积分法）给出了t-分布方法的完整证明.他引进了解消假设和显著性检验的概念,成为假设检验理论的先驱,并列举了一致性、有效性和充分性,作为参数的估计量应具备的性质.他还对估计的精度与样本所具有的信息之间的关系进行了考虑,得到了信息量的概念.极大似然法是由费希尔提出的.试验设计法也是由费希尔开创和发展的统计方法之一.他凭借随机化的手段,成功地把概率模型带进了实验领域,并作为分析这种模型的一个方法,建立了方差分析法,他强调了统计方法在试验设计中的重要性.1925年他发表《研究人员用统计方法》一书,50余年内已再版多次.1956年总结其数理统计学研究,著《统计方法及科学推理》一书.除了费希尔以外,这一时期数理统计学发展的重大事件要推内曼和皮乐逊之子皮尔逊在1928—1938年期间建立了假设检验理论和内曼在1934年建立了置信区间理论.内曼生于俄国,后移居美国,在伯克利的加里福尼亚大学任教.他在该校建立了一个研究机构,后来发展成为世界著名的数理统计中心.内曼在假设检验理论中,引进检验功效函数概念,以此作为判断检验方面,取得了许多成果.中国著名数理统计学家许宝騄,在20世纪数理统计史上享有盛名.早年留学英国,就读于费希尔门下,当时英国统计学派的研究在数学论证方面有不少欠缺,许宝騄以其扎实的数学基本功夫,给出许多统计规律的极其漂亮和严密的证明.他在多元分析、统计推断和线性模型方面做出国际水平的工作,尤其在多元分析方面的贡献,起了奠基性的作用.1979年,美国《数理统计年鉴》曾邀请一些著名学者撰文介绍他的生平和工作,高度评价他的贡献.二次大战前数理统计学的另一项重要进展是时间序列分析.1925—1930年间,英国数学家尤尔研究了振荡的时间序列,引进了自回归过程和序列相关等重要概念,奠定了这个统计分支现代发展的基础.1946年,瑞典统计学家克拉默尔发表了《统计学的数学方法》一书,总结了二次大战前数理统计学发展的大部分工作.某些专家认为,这部著作标志着现代数理统计作为一门数学分支的确立.数理统计学的深入发展二次大战以后是数理统计学发展的第三个时期.其特点一方面是使用的数学工具愈广愈深,除了数学分析、测度论、矩阵代数以外,往往还需要泛函分析、拓扑学、近世代数等现代数学工具;另一方面是数理统计学的应用愈加广泛.战后,由于工业和军事技术的飞速发展,使数理统计方法的应用达到前所未有的规模.如在工业上广泛应用统计质量管理,并由此产生了抽样检验、管理图等方法.其它如试验设计、多元分析、时间序列分析等也找到了不少新的应用领域.由于电子计算机的发展,使得在战前发展起来的一些统计方法发挥了更大作用.这一时期数理统计学的发展,主要有以下几个方面.1 统计判决函数理论犹太血统的美国学者瓦尔德创立了统计判决函数理论,它是统计学的统一数学理论.一般把瓦尔德的专著《统计决策函数》的发表作为这一理论诞生的年代.在这个理论中,把推断程序的全体命名为判决函数空间,第一次明确地定义它为一个集合.这样一来,检验和估计等数理统计问题可用统一方法处理.瓦尔德理论的出现,开拓了统计学一些新的研究领域,特别是参数估计这个分支在这个理论的影响下,面貌有了很大变化.瓦尔德定义了统计推断程序的风险函数,用来作为推断程序好坏的准则.他还使统计理论与对策论结合起来,并在统计学中引进了极小极大原理.2 发展大样本理论大样本理论的深入发展,遍及数理统计学各主要分支.例如,非参数统计,在战前还谈不上系统化,在战后发展很快.由于这个分支的特点决定,只有发展大样本理论,它才得以发展.目前构成这个分支主要内容的U-统计量理论、线性置换统计量理论及秩统计量的大样本理论都是战后发展起来的.再如,在参数估计中,象极大似然估计、稳健估计、自适应估计的大样本理论在战后也得到很大发展.3 贝叶斯统计学派的影响增长贝叶斯统计学派影响的增长是战后数理统计学发展的另一特征.因为贝叶斯方法是在作统计推断前考虑和运用了事前经验（先验知识）,并提供了一种易于实用者掌握的解决问题的方法,在应用上取得相当的地位.在一些数理统计学的专著中,贝叶斯方法仍占很大篇幅.并且以贝叶斯方法为工具研究的统计问题也日渐增多.然而贝叶斯方法的缺点在于未能提供直接由样本观察值来确定参数分布的方法.因此,贝叶斯统计始终是统计界争论的问题.除了以上几个方面以外,还有序贯分析、多元分析、试验设计、过程统计等方面都有不少进展,出现了一些新的工作,但有些理论尚待建立.至此,数理统计学的理论与应用,获得辉煌进展,而概率论的作用也更加重要,它不但成为数理统计学的理论基础,而且作为统计归纳与统计推理的依据.这些研究成果,导致今日更进步更复杂的数理统计学的产生,并使之迅速地应用于极广泛的领域.然而,科学的进展是无止境的,现代数理统计学,仍有许多问题,尚须有更佳的处理,有待学者们不断地探求.统计量样本的已知函数,其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来,是数理统计学中一个重要的基本概念.常用统计量有样本矩、次序统计量、U-统计量和秩统计量等.其中U-统计量是霍夫丁于1948年引进的.统计量的充分性和完全性是两个重要概念.充分性是费希尔在1925年引进的,内曼和哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法,叫做因子分解定理.统计量的分布叫做抽样分布,它的研究是数理统计中的重要课题.对一维正态总体,有三个重要的抽样分布,即2χ分布、t-分布和F-分布.其中2χ分布是赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的;t-分布是英国统计学家戈塞特（笔名“学生”）于1908年提出的;F-分布是费希尔在20世纪20年代提出的.实验设计法又称之为试验设计法.数理统计学的一个分支,研究如何制定实验方案,以提高实验效率,缩小随机误差的影响,并使实验结果能有效地进行统计分析的理论与方法.英国统计学家费希尔于1923年与梅克齐合作发表了第一个实验设计的实例,1926年提出了实验设计的基本思想.1935年费希尔出版了他的名著《实验设计法》,其中提出了实验设计应遵循的三个原则:随机化、局部控制和重复.费希尔最早提出的设计是随机区组和拉丁方方法,两者都体现了上述原则.1946年,英国统计学家芬尼在保证能估计全部主效应和少数一部分低阶交互作用的前提下,提出了部分实验法.正交表是进行部分实验法最方便的一种工具,日本统计学家田口玄一为正交表的形式和广泛应用做出了在国际上很有影响的工作.点估计总体未知参数估计的一种形式.目的是依据样本估计总体分布所含未知参数或未知参数的函数.构造点估计的方法常用的有矩估计法、最大似然估计法、最小二乘法和贝叶斯估计法.1894年英国统计学家皮尔逊提出的矩估计法,要旨是用样本矩的函数估计总体矩的同一函数.最大似然估计法是一种重要而普遍的点估计法,由英国统计学家费希尔在1912年提出,后来在他的1921年和1925年的工作中又加以发展.最小二乘估计法是由德国数学家高斯在1799—1809年和法国数学家勒让德在1806年提出的,并由俄国数学家马尔可夫在1900年加以发展.它主要用于线性统计模型中的参数估计问题.贝叶斯估计法是基于“贝叶斯学派”的观点而提出的估计法.英国学者贝叶斯1763年在《机会学说问题试解》中,提出了一种归纳推理的理论,以后被一些统计学者发展成为一种系统的统计推断方法,被称为贝叶斯方法.认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者组成“贝叶斯学派”,它形成于20世纪30年代,到50—60年代已发展成为一个很有影响的学派.区间估计总体参数估计的一种形式.通过从总体中抽取的样本,根据一定的正确度与精确度的要求,构造出适当的区间,以作为总体的分布参数（或参数的函数）的真值所在范围的估计.1934年,由美国统计学家内曼创立了一种严格的区间估计理论,给出了置信系数和置信区间的概念.20世纪30年代初期英国统计学家费希尔提出了一种构造区间估计的方法,称之为信任推断法.另外,贝叶斯方法也是一种构造区间估计的方法.假设检验又被称为统计假设检验,是一种基本的统计推断形式,也是数理统计学的一个重要分支.在假设检验中,有一种检验方法被称为显著性检验.它是依据实际数据与理论假设H0之间的偏离程度来推断是否拒绝H0的检验方法.拟合优度检验是一类重要的显著性检验.英国统计学家皮尔逊在1900年提出的2 检验是一个拟合优度检验.原苏联数学家柯尔莫哥洛夫和斯米尔诺夫在20世纪30年代的工作开辟了非参数假设检验的方向,分别得到柯尔莫哥洛夫检验和斯米尔诺夫检验,它们都是重要的拟合优度检验方法.美国学者内曼和皮尔逊之子皮尔逊在前人工作的基础上,于1928—1938年间对假设检验进行了系统而深入的研究,发表了一系列文章,建立了假设检验的严格数学理论.内曼引进了检验功效函数的概念,以此作为判断检验程序好坏的标准.内曼与皮尔逊在1933年提出了著名的内曼─皮尔逊引理,是对简单假设寻求最大功效检验的一个构造性的结果.运用与最大似然估计类似的原理,可得到似然比检验法.在一般情况下,寻求似然比的精确分布并不容易.1938年,美国统计学家威尔克斯建立了有关似然比的一个统计量,并证明了它渐近2χ分布,这就为大样本的似然比检验提供了实行的可能.用似然比法导出的U-检验、t-检验和F-检验,都是假设检验中的重要检验法.统计决策理论一种数理统计学的理论.这种理论把数理统计问题看成是统计学家与大自然之间的博弈,用这种观点把各种各样的统计问题统一起来,以对策论的观点来研究.这一理论的创立是数理统计学上的一次革新,拓广了统计学的内容范围,有较大的实际意义.美国统计学家瓦尔德1939年开始探讨这一理论,提出一般的判决问题,引进了损失函数、风险函数、极小极大原则和最不利先验分布等重要概念.他于1950年出版了专著《统计决策函数》（中译本,上海科技出版社,1960）,系统地总结了他在这一理论研究中的成果,同时也宣布了统计决策理论的正式创立.瓦尔德的理论受到统计学界的重视,成为第二次世界大战后统计学史上一个重大事件.1950年以后的几十年在这方面出现了不少工作,同时,这种理论对数理统计各分支的发展产生了程度不同的影响,特别是参数估计这个分支在其影响下,面貌有了很大变化.序贯分析数理统计学的一个分支.其名称源出于美国统计学家瓦尔德在1947年发表的—本同名著作.它研究的对象是所谓“序贯抽样方案”,及如何用这种抽样方案得到的样本去作统计推断.美国统计学家道奇和罗米格的二次抽样方案是较早的一个序贯抽样方案.1945年,施坦针对方差未知时估计和检验正态分布的均值的问题,也提出了一个二次抽样方案,据此序贯抽样方案既可节省抽样量,又可达到预定的推断可靠程度及精确程度.第二次世界大战时,为军需验收工作的需要,瓦尔德发展了一种一般性的序贯检验方法,叫做序贯概率比检验,此法在他的1947年的著作中有系统的介绍.瓦尔德的这种方法提供了根据各次观测得到的样本值接受原假设H0或接受备择假设H1的临界值的近似公式,也给出了这种检验法的平均抽样次数和功效函数,并在1948年与美国统计学家沃尔福威兹一起,证明了在一切两种错误概率分别不超过α和β的检验类中,上述序贯概率比检验所需平均抽样次数最少.瓦尔德在其著作中也考虑了复合检验的问题,有许多统计学者研究了这种检验,瓦尔德的上述开创性工作引起了许多统计学者对序贯方法的注意,并继续进行工作,从而使序贯分析形成为数理统计学的一个分支.除了检验问题以外,序贯方法在其他方面也有不少应用,如在一般的统计决策、点估计、区间估计等方面都有不少工作.。
《数理统计》课件
季节性分析
要点一
总结词
季节性分析是时间序列分析的重要环节，通过季节性分析 可以了解时间序列数据中存在的季节性波动。
要点二
详细描述
季节性分析的方法包括季节性分解、季节性自相关图、季 节性指数等。这些方法可以帮助我们识别时间序列数据中 的季节性模式，并基于这些模式进行预测和建模。
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参数与统计量
参数是描述总体特性的指标， 统计量是描述样本特性的指标 。
概率与随机变量
概率用于描述随机事件发生的 可能性，随机变量是表示随机 现象的变量。
估计与检验
估计是用样本数据推断总体参 数的过程，检验是利用样本数
据对假设进行判断的过程。
CHAPTER 02
描述性统计
数据的收集与整理
数据来源
描述数据的来源，如调查、观察、实 验等。
非线性回归分析
总结词
非线性回归分析是数理统计中用于研究非线 性关系的分析方法。
详细描述
非线性回归分析不依赖于最小二乘法原理， 而是通过其他优化方法来拟合非线性模型。 非线性回归分析适用于因变量和自变量之间 存在非线性关系的情况。常见的非线性回归 模型包括多项式回归、指数回归、对数回归 等。非线性回归分析广泛应用于各个领域，
如正态分布、指数分 布等。
随机事件的概率计算
条件概率
在某个事件发生的条件下，另一个事件发生 的概率。
互斥事件的概率计算
两个互斥事件同时发生的概率等于各自发生 概率的和。
独立事件的概率计算
两个独立事件同时发生的概率等于各自发生 概率的乘积。
全概率公式
一个复杂事件的概率可以分解为若干个互斥 事件的概率之和。
单因素方差分析
数理统计 教学大纲
数理统计教学大纲数理统计教学大纲数理统计是一门应用数学的学科，研究如何收集、整理、分析和解释数据的方法和技巧。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等。
为了使学生能够掌握数理统计的基本概念和方法，制定一份合理的教学大纲至关重要。
本文将探讨数理统计教学大纲的内容和结构。
一、引言在引言部分，应该简要介绍数理统计的背景和意义。
可以指出数理统计在现代社会中的重要性，并举一些实际应用的例子，激发学生的学习兴趣。
二、基本概念在这一部分，应该介绍数理统计的基本概念，包括总体、样本、参数、统计量等。
可以通过具体的例子来解释这些概念，并引导学生理解它们之间的关系。
三、数据的收集和整理数据的收集和整理是数理统计的第一步。
在这一部分，应该介绍数据的来源和收集方法，以及数据的整理和清洗过程。
可以通过实际案例来说明数据收集和整理的重要性，并引导学生掌握相关的技巧和方法。
四、描述统计描述统计是数理统计的核心内容之一，它包括数据的图表展示和统计指标的计算。
在这一部分，应该介绍常用的数据图表，如直方图、散点图等，并解释它们的作用和用途。
同时，还应该介绍常用的统计指标，如均值、中位数、标准差等，并指导学生如何计算和解释这些指标。
五、概率论基础概率论是数理统计的理论基础，它研究随机现象的规律性。
在这一部分，应该介绍概率的基本概念和性质，如样本空间、事件、概率的计算等。
可以通过实际问题来引导学生理解概率的应用，并进行相关的计算和推理。
六、随机变量与概率分布随机变量是数理统计的重要概念，它描述了随机现象的数值特征。
在这一部分，应该介绍离散随机变量和连续随机变量的定义和性质，并介绍常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
可以通过实际案例来说明随机变量和概率分布的应用，并进行相应的计算和推理。
七、参数估计与假设检验参数估计和假设检验是数理统计的重要内容，它们用于从样本数据中推断总体的特征。
在这一部分，应该介绍参数估计的方法和原理，如点估计和区间估计，并引导学生进行相应的计算和解释。
第五章 数理统计的基本概念
线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）E
最小方差线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）对 的一切线性无偏估计量 0，D D 0
定理 (R-C不等式)
设总体X具有分布密度f ( x; )。抽取样本( x1 ,..., xn )， 设g ( )为 的一个可估函数，T T ( x1 ,..., xn )为g ( ) 的一个无偏估计量，且 满足正则条件
• 若12， 22已知
（X Y） ( 1 2 ) U ~ N (0,1)
2 1
n
2 2
m
• 若12， 22未知，但是12= 22
T （X Y） ( 1 2 ) ~ t (m n 2)
12
m
2 2
n
mS12
12
2 nS2 2 2
T
（X Y） (1 2 ) 1 1 2 mS12 nS2 /(m n 2) m n
~ t (m n 2)
推论：设( X 1 ,..., X n )和(Y1 ,..., Ym )分别为来自
2 2 正态总体N ( 1 , 1 )和N ( 2 , 2 )的两个相互
独立的样本，则随机变量
F
2 若 1 2 2
2 2 Sm / 1 2 Sn 2 / 2
~ F (m 1, n 1)
F
2 Sm 2 Sn
~ F (m 1, n 1)
第六章 参数估计
第一节 点估计
• 定义：设为总体分布中的未知参数，从X 中抽取样本 (x1,…,xn) ，构造适当的统计量 (x1,…,xn)， 估计 (以的值作为的近似)， 这种方法称为参数的点估计。 • 统计量称为的点估计量； • 对于一组样本观测值 (x1,…,xn) ，该统计量 相应的值(x1,…,xn)称为的点估计值 • 的点估计量和点估计值简称为的点估计。
数理统计的基本概念
概率论与数理统计的区别： 在概率论中,假设随机变量的分布列或者分布函数已知，然 后描述随机变量的统计规律. 数理统计首先解决,如何知道 随机变量的分布规律,如何知道分布中所含的参数.
数理统计研究问题：它研究怎样有效地收集整理和分析带有随 机性的数据,以对所考察的问题作出推断或预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议.
概率统计的基本问题:依据有限个观测或试验如何对整体所作 出推论的问题.这种伴随有一定概率的推断称为统计推断.
母体与子样、经验分布函数
1、母体:把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体； 组成母体的每一个成员称为个体. 注：10、实际应用中总体往往指研究对象的某项数值指标的全体。 20、总体的某个数值指标是一个具有分布函数F(x)随机变量，称 总体为具有分布函数F(x)的总体。 30、也可能是一个随机向量,相应的分布函数就为多元函数.
(i
n! 1)！(n
i)！[F (
y)]i1[1
F(
y )] n1
f
(
y),
0 ,
a yb 其它
证明 第 i个次序统计量(i)落入无穷小区间 [ y , y y)
内这一事件等价于”容量为n的子样1 ,2 , n 中有(i 1)
个分量落入区间[a , y)内,1个分量落入区间[ y , y y)内,
n
F ( x1 ,, xn ) F ( xi ) i 1
例1 设总体 X 服从参数为 ( 0)的指数分布, ( X1, X2 ,, Xn )
是来自总体的样本, 求样本( X1, X2 ,, Xn )的概率密度.
解
总体 X 的概率密度为
ex ,
f (x)
数理统计学讲义
数理统计学讲义数理统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科它在众多领域中都发挥着至关重要的作用从自然科学到社会科学从医学到工程学数理统计学为我们提供了从数据中提取有价值信息的工具和方法数理统计学的基础包括概率论随机变量概率分布期望方差等概念概率论为数理统计提供了理论基础随机变量用于描述随机现象的结果而概率分布则描述了随机变量取不同值的可能性期望和方差则是描述随机变量特征的重要参数数据收集是数理统计学的第一步这需要明确研究问题确定合适的样本选择恰当的数据收集方法数据收集的质量直接影响后续的分析结果样本的代表性和数据的准确性至关重要数据整理包括对收集到的数据进行编码分类排序等操作以便于后续的分析数据分析是数理统计学的核心环节常用的方法包括描述性统计推断统计假设检验回归分析方差分析等描述性统计用于总结和描述数据的特征如均值中位数众数标准差等推断统计则用于根据样本数据对总体进行推断假设检验用于检验关于总体的假设是否成立回归分析用于研究变量之间的关系方差分析用于比较多个总体的均值是否相等在实际应用中数理统计学可以帮助我们评估药物的疗效预测经济趋势分析市场调查数据评估教育政策的效果等例如在医学研究中通过对临床试验数据的统计分析可以确定新药物是否比现有药物更有效在经济学中通过对历史经济数据的分析可以预测未来的经济增长趋势在市场调查中通过对消费者反馈数据的分析可以了解消费者的需求和偏好从而为企业的决策提供依据在教育领域通过对学生考试成绩数据的分析可以评估教学方法的效果为改进教学提供建议然而数理统计学的应用也需要谨慎数据的偏差错误的假设不合理的分析方法等都可能导致错误的结论因此在进行数理统计分析时必须遵循科学的原则和方法严格控制数据质量选择合适的分析方法并对结果进行合理的解释和评估总之数理统计学是一门强大的工具它帮助我们从数据中发现规律做出决策推动科学研究和社会发展但我们必须正确地使用它以充分发挥其优势避免潜在的风险。
概率论与数理统计主要内容
概率论与数理统计主要内容概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们研究的是随机事件和数据的规律性。
概率论研究的是随机事件发生的可能性，数理统计研究的是根据已有数据对总体特征进行推断。
概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到各种概率性事件，比如天气预报、彩票中奖、交通事故发生等。
概率论通过建立数学模型，描述了随机事件发生的规律性。
在概率论中，我们可以通过概率的定义和性质，计算事件发生的可能性。
通过概率的计算，我们可以更好地理解和预测各种概率性事件。
数理统计是研究根据已有数据对总体特征进行推断的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到需要根据样本数据来推断总体特征的问题，比如调查民意、产品质量抽检等。
数理统计通过收集样本数据，利用统计学原理和方法，对总体特征进行推断。
在数理统计中，我们可以通过样本的统计量，比如均值、方差等，推断总体的特征，并给出相应的可信区间和置信水平。
概率论和数理统计是密切相关的，它们共同构成了统计学的理论基础。
概率论提供了数理统计的基本概念和方法，为数理统计的推断和判断提供了数学工具。
数理统计则是概率论在实际问题中的应用，通过利用样本数据进行推断和判断，揭示了总体特征的规律性。
在概率论中，我们研究的是随机事件的概率分布和性质。
概率分布是用来描述随机事件发生可能性的函数，常见的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布等。
概率论中的重要概念包括条件概率、独立性、期望、方差等，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在数理统计中，我们研究的是样本数据的统计特征和总体特征之间的关系。
数理统计的核心问题是参数估计和假设检验。
参数估计是根据样本数据估计总体参数的值，常用的估计方法有最大似然估计、最小二乘估计等。
假设检验是对总体参数的某种假设进行推断和判断，常见的假设检验方法有t检验、F检验等。
概率论与数理统计在各个领域都有着广泛的应用。
在自然科学领域，概率论和数理统计被广泛应用于物理、化学、生物等学科中。
概率论和数理统计的关系
概率论和数理统计的关系概率论和数理统计是数学的两个重要分支，它们之间存在密切的关系。
概率论是研究随机事件发生的规律性的数学理论，而数理统计则是通过概率论的方法，对收集到的数据进行分析和推断的工具。
概率论为数理统计提供了基础理论和方法，而数理统计则是概率论在实际问题中的应用。
概率论是数理统计的基础。
概率论研究的是随机事件的发生概率以及事件之间的关系，为数理统计提供了严密的数学基础。
在数理统计中，我们通常需要对一组数据进行分析和推断，而这些数据往往受到各种随机因素的影响，因此需要用概率论的方法来描述和处理。
例如，在研究一种新药物的疗效时，我们需要收集患者的数据并进行统计分析，而这些数据往往受到患者个体差异、药物剂量等随机因素的影响，因此需要运用概率论的知识对数据进行建模和分析。
数理统计是概率论的应用。
概率论研究的是随机事件的规律性，而数理统计则是通过概率论的方法对实际问题进行统计分析和推断。
数理统计可以通过收集一组样本数据来推断总体的特征和规律。
例如，在市场调研中，我们通常只能对一部分人进行调查，通过对这部分人的数据进行分析和推断，从而得出对整个市场的结论。
这种推断是基于概率论的方法，通过对样本数据的统计分析，来推断总体的特征和规律。
概率论和数理统计的关系可以用一个简单的例子来说明。
假设我们有一个罐子，里面装有黑色和白色两种颜色的球，我们想知道黑色球和白色球的比例。
我们可以通过从罐子中随机抽取一些球，然后统计黑色球和白色球的数量，进而推断总体比例。
在这个例子中，概率论研究的是在给定条件下随机事件的发生概率，而数理统计则是通过对样本数据的统计分析，推断总体的特征和规律。
在实际应用中，概率论和数理统计经常是相辅相成的。
概率论提供了概率分布、随机变量、期望和方差等概念和工具，为数理统计的推断和分析提供了理论基础。
而数理统计则通过采样、估计和假设检验等方法，将概率论的理论转化为实际问题的解决方案。
概率论和数理统计的结合使得我们能够从收集到的数据中获取更多的信息，并做出合理的推断和决策。
数理统计公式大全
离散型
如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。
设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{= }的概率为pij,,称
为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）二维随机变量的本质
（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
《数理统计基本概念》课件
不可能事件
概率等于0的事件，表示一定 不会发生。
独立事件
两个事件的发生相互独立，一 个事件的发生不影响另一个事 件的发生。
随机变量及其分布
01
02
03
04
离散型随机变量
随机变量可以取到有限个或可 数无穷个值。
连续型随机变量
随机变量可以取到任何实数值 。
概率分布函数
描述随机变量取值概率的函数 。
概率密度函数
确定因子、提出假设、构造统计量、 进行统计分析、做出推断结论。
方差分析的应用场景
比较不同组数据的均值差异、分析多 因素对结果的影响等。
方差分析的注意事项
满足正态性和方差齐性的假设、注意 组间和组内的比较等。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是数理统计中常用的回归分析方法，用于研究一个因变量与一个自变量之间 的线性关系。
假设检验的类型
单侧检验、双侧检验、独立样本检验、配对 样本检验等。
假设检验的基本步骤
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、 做出推断结论。
假设检验的注意事项
避免两类错误、注意样本量和分布情况等。
方差分析
方差分析的概念
方差分析是用来比较不同组数据的变 异程度和分析变异来源的一种统计方 法。
方差分析的基本步骤
详细描述
一元线性回归分析通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与自变量的预测值 之间的残差平方和最小。它可以帮助我们了解自变量和因变量之间的相关性和预测因变量 的未来值。
公式
(y = ax + b) 其中，(a) 是斜率，(b) 是截距。
多元线性回归
01
总结词
数理统计的定义
数理统计的定义
哎呀呀，啥是数理统计呀？这可真是个让人头疼又好奇的问题！
对我这个小学生来说，一开始听到“数理统计”这四个字，就感觉像是遇到了一个大怪兽，神秘又可怕。
不过呢，后来老师给我们讲了讲，我好像有点明白了。
数理统计就好像是一个超级侦探，能从一堆乱七八糟的数据里面找出有用的线索。
比如说，我们班同学的考试成绩，这一堆数字看起来乱糟糟的，可通过数理统计就能知道大家的平均成绩怎么样，谁进步了，谁退步了。
这难道不神奇吗？
再比如说，我们去超市买糖果，有各种各样的品牌和价格。
要是有人能通过数理统计来分析一下，哪个品牌卖得最好，哪个价格大家最能接受，那超市的老板不就能更好地进货和定价了吗？
就像我们在拼图，数理统计就是帮我们把那些小小的数据碎片拼成一幅完整又有意义的图画。
老师还跟我们说，数理统计在很多很多地方都有用呢！科学家们用它来研究天气变化，医生们用它来分析病人的病情，就连工程师们造大桥、盖高楼也离不开它。
我就想啊，要是没有数理统计，这个世界得多乱套呀！大家都像没头的苍蝇一样，不知道该怎么做决定。
我现在还只是懂了一点点数理统计的皮毛，可我觉得它真的好厉害！我一定要好好学习，以后也能像那些厉害的大人一样，用数理统计解决好多好多问题。
我觉得呀，数理统计就是我们生活中的秘密武器，能帮我们把复杂的事情变得简单清楚，让我们做出更聪明的选择！。
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《数理统计》课程教学大纲
Mathematical Statistics
课程代码：课程性质：专业基础理论课
适用专业：统计开课学期：4
总学时数： 56 总学分数：3.5
编写年月： 2007.5 修订年月：2007.7
执笔：邱红兵
一、课程的性质和目的
本课程以概率论为基础开设本课程的目的在于通过教与学，使学生掌握数理统计的基本思想、基本理论和一般方法，具有一定的解决随机现象的实际问题的能力，并为学习后续课程奠定必要的基础。
是对随机现象统计规律性归纳的研究，主要对随机现象统计资料进行收集、整理和推断分析。
本课程是数学类专业本科生的专业基础课。
本课程以概率论为基础，研究如何用有效的方式收集、整理和分析受到随机性影响的数据，从而为随机现象选择和检验数学模型，并在此基础上对随机现象的性质、特点和统计规律作出推断和预测，进而为决策提供依据和建议。
通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，并能应用其解决一些简单实际问题。
包括如何进行参数估计，如何进行统计假设检验，如何研究变量之间的关系等。
培养学生运用概率统计方法分析问题和解决实际问题的能力，使学生初步建立统计思维方式。
同时为学习有关的后继课程打好必要的基础。
二、课程教学内容及学时分配
统计推断两个基本问题：参数估计，假设检验；简单随机样本的分布；经验分布；样本的原点矩和中心矩，特别是样本均值、样本方差。
第一章抽样分布（12学时）
本章内容：数理统计的基本概念：总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量；顺序统计量；
χ分布，t分布和F分布；多元正态经验分布函数；几个重要分布：Γ分布，2
分布与正态二次型；抽样分布；分位数。
本章要求：
1、理解总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量的概念；
2、理解顺序统计量及经验分布函数的概念；
χ分布，t分布和F分布的定义，以及三种分布的性质；
3、掌握2
4、掌握多元正态分布与正态二次型的定义及其性质；
5、熟练抽样分布定理。
第二章参数估计（20学时）
本章内容：点估计的常用方法：矩法和极大似然法；评价估计量好坏的标准：无偏性，有效性和一致性；区间估计；贝叶斯估计；截止尾寿命试验中指数分布的参数估计。
本章要求：
1、理解并熟练掌握矩估计基本原理、方法；
2、理解并熟练掌握极大似然估计基本原理、方法；
3、掌握估计的无偏性、有效性和一致性；
4、理解区间估计的意义；熟练掌握正态总体均值、方差的区间估计方法。
5、理解贝叶斯估计的原理及方法；
6、理解截尾寿命试验中指数分布的参数估计。
第三章假设检验（16学时）
本章内容：假设检验的原理、方法及基本概念；正态总体下均值和方差的假设检验；似然比检验方法；指数分布中参数的假设检验；一致最优势检验及假设检验在质量控制
中的应用。
本章要求：
1、理解统计检验中显著性假设检验的基本思想、原理；
2、熟练利用正态总体精确抽样分布构造恰当的统计量进行各种假设检验；
3、了解假设检验方法在质量控制中的应用；
4、理解奈曼-皮皮尔逊基本引理；
5、理解似然比检验的基本思想，掌握似然比检验基本方法。
第四章方差分析与正交试验设计（8学时）
本章内容：单因素试验方差分析；多因素试验方差分析；正交试验设计。
本章要求：
1、熟练掌握方差分析的思想，掌握方差分析的一般方法；
2、熟练掌握方差分析表；
3、掌握正交设计基本思想和基本方法。
三、课程教学的基本要求
(一)课堂讲授
本课程属数学基础理论课程，有自己独特的概念和方法，内容丰富，并且是一门应用性很强的学科，对于数学专业的学生教学上该加强理论知识和数学方法的传授，同时注意
引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，使学生掌握处理随机现象统计规律性的数学方法与原理，注意列举统计在各领域成功应用的实例来联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使同学加深对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（二）习题课
习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论,使同学通过做题既加深对课堂讲授的内容的理解，又增强运用理论知识建立数学模型、解决实际问题的能力。
（三）课外作业
课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和巩固，培养综合计算和分析、判断能力以及使用计算工具的能力。
习题以计算性小题为主，平均每学时２～４道题。
（四）考试
考试采用闭卷形式，题型包括基本概念，基本理论的选择题，填空题题型和分析计算题。
总评成绩：课外作业，平时测验，实验占30%；期末闭卷考试占70%。
四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程：数学分析、高等代数、概率论等
后续课程：时间序列、多元统计分析、回归分析、统计预测与决策等
五、建议教材及教学参考书
[1] 孙荣恒，《应用数理统计》（第二版）。
北京：科学出版社，2003
[2] 李贤平，《概率论基础》（第二版）。
北京：高等教学出版社，1997
[3] 茆诗松，王静龙，濮晓龙，《高等数理统计》北京：高等教育出版社，1998
[4] 郑明，陈子毅、江嘉冈，《数理统计讲义》上海：复旦大学出版社，2006。