11.4第一类曲面积分

2 2
1 z z
2 x 2 y
a
2
．
h
Dxy x
y
2
dxdy a 0 d 0
2
a2 h2
rdr a2 r2
a 2 h2
O
y
1 2a ln( a 2 r 2 ) 2 0
a 2 a ln ． h
例3 计算 ( x 2 y 2 )dS 其中是锥面 z
D
2 ( x 2 y 2 )dxdy
2 2 d r rdr 2 0 0
2
D 2
1
1
o
x
y
例3 计算
2 2 2 2 ( x y ) dS 其中 是锥面 z x y
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面。 解 将 分成两部分 1 : z x2 y2 0 z 1
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法 四、小结
一、对面积的曲面积分的概念和性质
前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲 n 线积分 L ( x , y )ds lim ( i ,i )si 0
i 1
其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 n 式 lim ( i ,i , i )Si

2 : z 1 x2 y2 1
2 1
2
(x
2
2
y )dS
2 2
( x y )dS d r rdr
2
2

2
D
0
0
(x
2
y )dS
1
1 2 ( x y )dS 2 2
2 2
例4 计算 xyzdS , 其中是由平面x 0, y 0, z 0
2 2
1 0 ( 1) dxdy 2dxdy,
2Leabharlann Baidu
故

( x y z )ds 2 ( x y 5 y )dxdy

D xy
2 (5 x )dxdy
Dxy
2 d (5 r cos )rdr 125 2. 0 0
2
5
而F ( x, y, z) z f ( x, y)， n f , f ,1 x y
cos 1 1 f f
2 x 2 y
,
dA 1 f f d
2 x 2 y
f ( x, y, z ) dS f [ x, y, z ( x, y)]d，
三代： f ( x, y, z ) f ( x, y, z ( x, y ));
: z z( x, y)
2. 若曲面 ： y y( x, z) 则


f ( x , y , z )dS
Dxz

2 2 f [ x , y( x , z ), z ] 1 y y x z dxdz;
2 2 将ds 1 z z x y dxdy与z z ( x, y )代入

f ( x, y, z)ds

Dxy
中,得到二重积分
1 z x z dxdy
2 2 y
f [ x, y, z( x, y)]
按照曲面的不同情况分别化为二重积分的计算公式
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
( x , y , z ) , 求它的质量.
分割 把 分成 n 小块 S i （ S i 也
表示第 i 小块曲面的面积）.
取近似 求和 取极限
( i ,i , i ) S i
M (i ,i , i ) Si .
M i ( i , i , i ) S i
Dxy


f ( x , y , z ) dS

f [ x , y , z ( x , y )] 1 zx 2 zy 2 dxdy;
一投： 将曲面 向 xoy 面投影，得 Dxy . 二换： dS
2 2 1 zx ( x, y) z y ( x, y) dxdy;
0
i 1
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
1、概念的引入
实例 若曲面 是光滑的 , 它的面密度为连续函数
( x , y , z ), 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲面上 各点处都有切平面,且当点在 曲面上连续移动时,切平面也 连续转动.
1、概念的引入
实例 若曲面 是光滑的 , 它的面密度为连续函数
则


f ( x , y , z )dS
D yz

2 f [ x( y , z ), y , z ] 1 xy 2 x z dydz.
一投：
将曲面 向 yoz 面投影，得 Dyz .
二换： dS 1 x 2 ( y, z ) x 2 ( y, z ) dydz; y z 三代： f ( x , y , z )

x2 y2
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面. 解 将 分成两部分 2 2 2 2 : z 1 x y 1 1 : z x y 0 z 1 2 2 2 故 ( x y )dS z 1 2 : z 1 2 2 2 2 ( x y ) 1 z x z y dxdy



f ( x, y, z ) dS g ( x, y, z ) dS ;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则

f ( x, y, z) dS f ( x, y, z) dS g ( x, y, z) dS.
1 2
(4)若f ( x, y, z)连续, 则 f ( x, y, z)dS存在.
Dx y
dx d y
例1 计算 ( x y z )ds , 其中 为平面 y z 5 被柱面
x 2 y 2 25 所截得的部分. 解 积分曲面 ： z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x , y ) | x 2 y 2 25}

dS 1 zx zy dxdy
: x x( y, z )
f ( x( y , z ), y , z );
简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数； 换：换面积元 dS ; 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域。
注：
（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加； （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式； （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把 被积函数化为二元函数； （4）切记任何时候都要换面积元。
从而
xyzdS xyzdS

其中Dxy 是 4在xOy 面上的投影区域 ,
D
4
3 xy(1 x y )dxdy ,

三、对面积的曲面积分的计算 ---化为二重积分 设曲面的方程为： z f ( x, y) 曲面在 xoy 面上的投影区域为 D, z 在 上任取曲面微元ds, 将其向xoy dA
面投影得投影小区域 为d， 任取一点 ( x, y) d , 对应地在ds
M
ds
o
T

( x, y) y
内有一点M ( x, y, f ( x, y)),
x 设T为 上过 M ( x, y, f ( x, y)) 的切平面,
在切平面 T 截下小片平面 dA，则有ds dA.
d
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小柱面，


dA
d
d 为 dA 在 xoy 面上的投影,
d dA cos ,

f ( x, y, z ) dS f [ x, y, z ( x, y)] 1 f x2 f y2 d
Dxy
Dxy
概括求 f ( x, y, z)ds的步骤：
1).观察积分域方程的形式,转化为z z( x, y)
2).将 : z z( x, y)在xoy上投影得到Dxy ,

n
0 i 1
据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S

3.对面积的曲面积分的性质
(1)
kf ( x, y, z) dS k f ( x, y, z) dS ;

(2)
[ f ( x, y, z) g ( x, y, z)] dS
n i 1
M lim (i ,i , i ) Si .
0
i 1
n
2.对面积的曲面积分的定义
设曲面 是光滑的, 函数 f ( x , y , z ) 在 上有界.把 分成 n 小块 S（ ,设点 ( i , i , i ) 为 S i 上 i S i 同时也表示第 i 小块曲面的面积） 任 意 取 定 的 点 , 作 乘 积 f ( i , i , i ) S i , 并 作 和
f ( i , i , i ) S i ,
i 1
n
当各小块曲面直径的最大值 0 时, 和式的极限存在, 则称
此极限为函数 f ( x, y, z ) 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲 面积分. 记为
f ( x, y, z)dS

被积函数
积分曲面
即
f ( x , y , z )dS lim f ( i ,i , i )Si
3 4
1 y
由于在1 , 2 , 3上, 被积函数f ( x, y, z ) xyz均为零,
所以
xyzdS xyzdS xyzdS 0,
1 2 3
在4上, z 1 x y,
2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 3, 1 zx z2 y
2.若光滑曲面方程为 y y ( z, x) , ( z, x) Dz x ,则有
A 1 yz yx d z d x
2 2 Dxz
3.若光滑曲面方程为隐式 Fy Fx z z , , x Fz y Fz
且
则
( x, y ) D x y
A
Fx 2 Fy 2 Fz 2 Fz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
2 二换： dS 1 yx ( x, z) yz2 ( x, z ) dxdz;
三代： f ( x , y , z )
: y y( x , z )
f ( x , y( x , z ), z );
3. 若曲面 ： x x( y, z )

及x y z 1所围成的四面体的整个边界曲面.
解 如图 整个边界曲面在平面x 0, y 0, z 0
x y z 1上的部分依次记为1 , 2 , 3及 4 , 于是
xyzdS xyzdS xyzdS

z
1
1
2
o
1 x
xyzdS xyzdS .
1 2 2 2 2 x y z a dS 计算曲面积分 ，其中 是球面 被平面 例2 z zh(0<h<a)截出的顶部．
2 2 2 解 的方程为 z a x y ．在 xOy 面上的投影区域 z Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2． 又
a x y 1 a dxdy 于是 dS 2 2 2 z Dxy a x y
特别，
当 f ( x, y, z) 1 时， dS 的面积.

即 A
ds
Dxy
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) dxdy
2 2
同理，曲面投影到其它坐标平面也有如下类似的结论。 1.若光滑曲面方程为 x x( y, z ) , ( y, z ) Dy z , 则有