空间向量知识点归纳(期末复习)

空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u ur r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r。

6. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2a b π<>=r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b ⊥r r 。

（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b r r的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r 。

（4）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r。

②0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r 。

③2||a a a =⋅r r r 。

（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r 。

②a b b a ⋅=⋅r r r r（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r（分配律）。

7.空间向量的坐标运算： (1).向量的直角坐标运算设a r＝123(,,)a a a ，b r ＝123(,,)b b b 则(1) a r ＋b r ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a r －b r＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa r ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a r ·b r＝112233a b a b a b ++；(2).设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---.(3).设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则2||a a a =⋅r r r=212121z y x ++a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r； a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.(4).夹角公式 设a r＝123(,,)a a a ，b r ＝123(,,)b b b ，则112233222222123123cos ,a b a a a b b b <>=++++rr .(5)．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r =121212222222111222||||||a b a b x y z x y z ⋅=⋅++⋅++r rr r .(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e||n||e|.(7). 二面角的求法(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈u u u rAB ，u u u r CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．212121,cos cos n n n n n n =><=θ练习题：1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a ·b ＝2，则x 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1523．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)4．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 5．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．4.258解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)，∴|a －2b |＝82＋(－5)2＋132＝258. 5.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4， 则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0 ＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13， 所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝＝413.6.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设1uuu r AA ＝a ，u u u r AB ＝b ，u u u rAD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)u u u r AP ； (2)1u u u u r A N ； (3)u u u r MP ＋1u u u u r NC .解：(1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴u u u rAP ＝1uuu r AA ＋11u u u u r A D ＋1u u u u r D P ＝a ＋u u u r AD ＋1211u u u uu r D C＝a ＋c ＋12u u ur AB＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴1u u u u r A N ＝1uuu r A A ＋u u u r AB ＋u u u r BN ＝－a ＋b ＋12u u u r BC＝－a ＋b ＋12u u u r AD ＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴u u u r MP ＝u u u r MA ＋u u u r AP ＝121uuu r A A ＋u u u rAP＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又1u u u u r NC ＝u u u r NC ＋1u u u u r CC ＝12u u u rBC ＋1uuu r AA＝12u u ur AD ＋1uuu r AA ＝12c ＋a ， ∴u u u r MP ＋1u u u u r NC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 7.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求证：B 1F ⊥平面AEF .证明：以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)，(1)u u u rDE ＝(－2,4,0)，平面ABC 的法向量为1uuu r AA ＝(0,0,4)，∵u u u r DE ·1uuu rAA ＝0，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC . (2)1u u u u r B F ＝(－2,2，－4)，u u u rEF ＝(2，－2，－2)， 1u u u u r B F ·u u u r EF ＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ∴1u u u u r B F ⊥u u u rEF ，B 1F ⊥EF ， 1u u u u r B F ·u u u r AF ＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ∴1u u u u r B F ⊥u u u r AF ，∴B 1F ⊥AF . ∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .8.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面PAD ； (2)平面PAB ⊥平面 PAD .证明：以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°，∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，32， ∴u u u r DP ＝(0，－1,2)，u u u rDA ＝(23，3,0)， u u u u r CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，由⎩⎨⎧u u u rDP ·n ＝0，u u u rDA ·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0， 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·u u u u r CM ＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥u u u u rCM .又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E(3，2,1)，u u u rBE＝(－3，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵u u u rBE·u u u rDA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴u u u rBE⊥u u u rDA.∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .根据已知得：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)．(1)∵u u u r DA ＝(2,0,0)，1uuu r CB ＝(2,0,2)，∴cos 〈u u u r DA ，1uuu r CB 〉＝u u u r DA ·1uuu rCB |u u u r DA ||1uuu r CB |＝22. ∴直线AD 和直线B 1C 所成角为π4.(2)证明：取B 1D 的中点F ，得F (1,1,1)，连接EF . ∵E 为AB 的中点，∴E (2,1,0)，∴u u u rEF ＝(－1,0,1)，u u u r DC ＝(0,2,0)，∴u u u r EF ·u u u r DC ＝0，u u u r EF ·1uuu rCB ＝0， ∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1.∵DC ∩CB 1＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD .又∵EF ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .10． 如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO . 因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB .因为四边形ABCD为直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.(2)因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以u u u rEC＝(1,1，－1)，平面ABE的一个法向量为u u u rOD＝(0,1,0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sin θ＝|cos〈u u u rEC，u u u rOD〉|＝|u u u rEC·u u u rOD||u u u rEC||u u u rOD|＝33，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为3 3 .11.(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC ＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．21.(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)， C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)． ∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎨⎧－2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →. ∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)解 由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4，0，0)·⎝⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455， ∴点B 到平面PCD 的距离为455.12． 如图所示，在多面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1； (3)在(2)的条件下，求二面角F -CC 1-B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2a ，0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1uuu u r AB ＝(－a ，a ，a )，1u u u u rDD ＝(0,0，a )， ∴|cos 〈1uuu u r AB ，1u u u u r DD 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1uuu u r AB ·1u u u u rDD |1uuu ur AB |·|1u u u u r DD |＝33， ∴异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33.(2)证明：∵1uuu r BB ＝(－a ，－a ，a )，u u u rBC ＝(－2a,0,0)，1uuu r FB ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1uuu r FB ·1uuu rBB ＝0，1uuu r FB ·u u u rBC ＝0， ∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1. (3)由(2)知，1uuu rFB 为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量， ∵1u u u u r CC ＝(0，－a ，a )，u u u rFC ＝(－a,2a,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·1u u u u rCC ＝0，n ·u u u rFC ＝0，得⎩⎨⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2,1,1)， ∴cos 〈1uuu r FB ，n 〉＝1uuu r FB ·n |1uuu r FB |·|n |＝33，∵二面角F -CC 1-B 为锐角， ∴二面角F -CC 1-B 的余弦值为33.13． 如图， 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE;(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值．(3)设点M 在线段C 1E 上， 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明：易得11u u u u r B C ＝(1,0，－1)，u u u rCE ＝(－1,1，－1)，于是11u u u u r B C ·u u u r CE ＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2) 1uuu u rB C ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·11u u u u rB C ＝0，m ·u u u rCE ＝0，即⎩⎨⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11u u u u rB C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11u u u u r B C 〉＝m ·11u u u u r B C |m |·|11u u u u r B C |＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，11u u u u r B C 〉＝217.所以二面角B 1-CE -C 1的正弦值为217.(3)u u u r AE ＝(0,1,0)，1u u u u r EC ＝(1,1,1)．设u u u u r EM ＝λ1u u u u r EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有u u u u r AM ＝u u u rAE ＋u u u u r EM ＝(λ，λ＋1，λ)．可取u u u rAB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈u u u u r AM ，u u u r AB 〉|＝|u u u u r AM ·u u u rAB ||u u u u r AM |·|u u u r AB |＝2λ2×λ2＋(λ＋1)2＋λ2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2. 法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE -C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1-CE -C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ， 整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.。