数形结合的思想方法---应用篇

数形结合得思想方法(1)—-－应用篇

一、知识要点概述

数与形就是数学中两个最古老、最基本得元素,就是数学大厦深处得两块基石,所有得数学问题都就是围绕数与形得提炼、演变、发展而展开得:每一个几何图形中都蕴藏着一定得数量关系,而数量关系又常常可以通过图形得直观性作出形象得描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题得条件与结论之间得内在联系,将数得问题利用形来观察,提示其几何意义;而形得问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系与空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决得方法,简言之,就就是把数学问题中得数量关系与空间形式相结合起来加以考察得处理数学问题得方法,称之为数形结合得思想方法。

数形结合就是一个数学思想方法,包含“以形助数”与“以数辅形"两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者就是借助形得生动与直观性来阐明数之间得联系,即以形作为手段,数为目得,比如应用函数得图像来直观地说明函数得性质;或者就是借助于数得精确性与规范严密性来阐明形得某些属性,即以数作为手段,形作为目得,如应用曲线得方程来精确地阐明曲线得几何性质。

数形结合得思想,其实质就是将抽象得数学语言与直观得图像结合起来,关键就是代数问题与图形之间得相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析与解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念与运算得几何意义以及曲线得代数特征,对数学题目中得条件与结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二就是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三就是正确确定参数得取值范围、

二、解题方法指导

1.转换数与形得三条途径:

①通过坐标系得建立,引入数量化静为动,以动求解。

②转化,通过分析数与式得结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上

两点间得距离等、

③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等、

2、运用数形结合思想解题得三种类型及思维方法:

①“由形化数" :就就是借助所给得图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含得数量关系,反映几何图形内

在得属性。

②“由数化形”:就就是根据题设条件正确绘制相应得图形,使图形能充分反映出它们相应得数量关系,

提示出数与式得本质特征。

③“数形转换”:就就是根据“数”与“形”既对立,又统一得特征,观察图形得形状,分析数与式得结

构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含得数量关系。

三、数形结合得思想方法得应用

(一)解析几何中得数形结合

解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络得交汇处命题,备受出题者得青睐,求解中常常通过数形结合得思想从动态得角度把抽象得数学语言与直观得几何图形结合起来,达到研究、解决问题得目得.

1. 与斜率有关得问题ﻫ【例1】已知:有向线段ＰＱ得起点P与终点Q坐标分别为Ｐ(—1,1),Ｑ(２,2)、

ﻫ解:直线l得方程x＋若直线l∶x＋ｍy+m＝0与有向线段PＱ延长相交,求实数m得取值范围。ﻫ

my+m=０可化为点斜式:y＋1=－(x－0),易知直线l过定点Ｍ(0,－１),且斜率为－。

∵l与PQ得延长线相交,由数形结合可得:当过M且与PQ平行时,直线ｌ得斜率趋近于最小;当过点M、Q时,直线l得斜率趋近于最大。ﻫ

【点评】含有一个变量得直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点得直线系方程、本题就是化为点斜式方程后,可瞧出交点M(0,—１)与斜率—.此类题目一般结合图形可判断出斜率得取值范围。

ﻫ 2. 与距离有关得问题

【例２】求:y＝(coｓθ—cｏｓα+3)2+(sinθ—sｉnα－２)2得最大(小)值、ﻫ【分析】可瞧成求两动点P(ｃｏsθ,sｉnθ)与Q(cｏsα－３,ｓinα+2)之间距离得最值问题、ﻫ解:两动点得轨迹方程为:x2＋ｙ2=1与(x+3)2+(ｙ—2)2=1,转化为求两曲线上两点之间距离得最值问题、如图:

3、与截距有关得问题ﻫ【例３】若直线ｙ＝x+ｋ与曲线x=恰有一个公共点,求ｋ得取值范围。

解:曲线x＝就是单位圆x2+y2=1得右半圆(x≥0),k就是直线y=x＋k在y轴上得截距.

ﻫ由数形结合知:直线与曲线相切时,k＝-,由图形:可得k=－,或-１＜ｋ≤1。ﻫ4。与定义有关得问题

【例4】求抛物线ｙ2=4ｘ上到焦点F得距离与到点A(3,2)得距离之与为最小得点P得坐标,并求这个最小值、

【分析】要求PA+PF得最小值,可利用抛物线得定义,把PF转化为点Ｐ到准线得距离,化曲为直从而借助数形结合解决相关问题、

解:P′就是抛物线y２=４ｘ上得任意一点,过P′作抛物线得准线l得垂线,垂足为D,连P′Ｆ(F为抛物线得焦点),由抛物线得定义可知:ﻫ、ﻫ过A作准线l得垂线,交抛物线于P,垂足为Ｑ,显然,直线ＡQ之长小于折线AP′Ｄ之长,因而所求得点P即为AQ与抛物线交点、ﻫ∵ＡＱ直线平行于x轴,且过A(3,２),所以方程为y=２,代入ｙ2=4ｘ得ｘ=1.ﻫ∴P(１,２)与F、A得距离之与最小,最小距离为4。

【点评】(1)化曲线为直线就是求距离之与最有效得方法,在椭圆,双曲线中也有类似问题、ﻫ(2)若点A在抛物线外,则点P即为AF与抛物线交点(内分AＦ)。

(二) 数形结合在函数中得应用

1、利用数形结合解决与方程得根有关得问题ﻫ方程得解得问题可以转化为曲线得交点问题,从而把代数与几何有机地结合起来,使问题得解决得到简化.

【例5】已知方程x2—４x+３=m有４个根,则实数m得取值范围。

【分析】此题并不涉及方程根得具体值,只求根得个数,而求方程得根得个数问题可以转化为求两条曲线得交点得个数问题来解决、

解:方程x2—4x+3＝m根得个数问题就就是函数ｙ=x2—4x+３与函数y=m图象得交点得个数、ﻫ作出抛物线y=x２-4x+3＝(x—２)２—1得图象,将ｘ轴下方得图象沿x轴翻折上去,得到y＝x2-4ｘ+3得图象,再作直线y＝m,如图所示:由图象可以瞧出,当0

2、利用数形结合解决函数得单调性问题ﻫ函数得单调性就是函数得一条重要性质,也就是高考中得热点问题之一。在解决有关问题时,我们常需要先确定函数得单调性及单调区间,数形结合就是确定函数单调性常用得数学思想,函数得单调区间形象直观地反映在函数得图象中.ﻫ【例６】确定函数ｙ=得单调区间。