九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题附答案解析

∴ 点 M 在直线 y＝4x+1 上；
（2）如图 1，
直线 y＝mx+5 交 y 轴于点 B，
∴ B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上，
∴ 5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得 b＝2，
二次函数的解析是为 y＝﹣（x﹣2）2+9，
当 y＝0 时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得 x1＝5，x2＝﹣1， ∴ A（5，0）．
，解得：
，或
．
故可得点 A 的坐标为（ ， ）； （3）如图，作 PQ⊥x 轴于点 Q，AB⊥x 轴于点 B．
S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA
= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×
=4+ ﹣
=； （4）过 P 作 OA 的平行线，交抛物线于点 M，连结 OM、AM，则△ MOA 的面积等于 △ POA 的面积．
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下
方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点 M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）点 M 为二次函数 y＝﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，
∴ M 的坐标是（b，4b+1），
把 x＝b 代入 y＝4x+1，得 y＝4b+1，
正半轴，y 轴于点 A，B．
（1）判断顶点 M 是否在直线 y＝4x+1 上，并说明理由．
（2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，
写出 x 的取值范围．
（3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在△ AOB 内，若点 C（ 1 ，y1），D（ 3 ，y2）
函数值越大．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx﹣3（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、 B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动，当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△ PBQ 的面积最大，最大面积是 多少？
综上：①当 0＜b＜ 1 时，y1＞y2， 2
②当 b＝ 1 时，y1＝y2， 2
③当 1 ＜b＜ 4 时，y1＜y2．
2
5
【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2） 的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得 出顶点 M 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0 时，点与对称轴的距离越小
线 PM 的解析式为 y= x+b，将 P（2，4）代入，求出直线 PM 的解析式为 y= x+3．再与抛
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点 M 的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点 P 的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：
解得
x y
4来自百度文库5 21 5
，
∴ 点 E（ 4 ， 21 ），F（0，1）． 55
点 M 在△ AOB 内，
1＜4b+1＜ 21 ， 5
∴ 0＜b＜ 4 ． 5
当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ 1 ＝ 3 ﹣b，∴ b＝ 1 ，
44
2
且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y＝4x+1 上，
4
4
都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．
【答案】（1）点 M 在直线 y＝4x+1 上；理由见解析；（2）x 的取值范围是 x＜0 或 x＞
5；（3）①当 0＜b＜ 1 时，y1＞y2，②当 b＝ 1 时，y1＝y2，③当 1 ＜b＜ 4 时，y1＜
2
2
2
5
y2． 【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
设直线 PM 的解析式为 y= x+b， ∵ P 的坐标为（2，4），
∴ 4= ×2+b，解得 b=3，
∴ 直线 PM 的解析式为 y= x+3．
由
，解得
，
，
∴ 点 M 的坐标为（ ， ）．
考点：二次函数的综合题
2．已知，点 M 为二次函数 y＝﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，直线 y＝mx+5 分别交 x 轴
【答案】（1）（2，4）；（2）（ ， ）；（3） ；（4）（ ， ）． 【解析】 试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）联立两解析式，可求出交点 A 的坐标； （3）作 PQ⊥x 轴于点 Q，AB⊥x 轴于点 B．根据 S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA，代入数值 计算即可求解； （4）过 P 作 OA 的平行线，交抛物线于点 M，连结 OM、AM，由于两平行线之间的距离 相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△ MOA 的面积等于△ POA 的面积．设直
九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题附答案解析
一、二次函数
1．（10 分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函 数 y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标； （3）连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△ POA，求△ POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M（M 与 P 不重合），△ MOA 的面积等于△ POA 的 面积．请直接写出点 M 的坐标．
（3）当△ PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 S△ CBK：S△ PBQ=5：2，求 K 点坐标．
由图象，得
当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5； （3）如图 2， ∵ 直线 y＝4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0），B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+5，
y 4x 1
联立
EF，AB
得方程组
y
x
5
，