高考数学理圆锥曲线试题汇编

1.【2015高考福建，理3】若双曲线22

:

1916

x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13

PF =，则

2

PF 等于（ ）

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3 【答案】B

【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义．

【名师指点】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．

2.【2015高考四川，理5】过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）

(A)

3

(B) (C)6 （D ）【答案】D 【解析】

双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2

2

03

y x -=，将2x =代入2

2

03

y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.

【考点定位】双曲线.

【名师指点】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22

220x y a b

-=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得

交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.

3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5

4

e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线

C 的方程为（ ）

A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14

32

2=-y x 【答案】B ．

【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5

4

c e a =

=，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为

22

1169

x y -=，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．

【名师指点】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．

4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2

212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )

（A ）（-

3，3

（B ）（-

6，6

）

（C ）（3-，3

） （D ）（）

【答案】A

【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

【名师指点】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF •表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF •表示为

0y 的函数是解本题的关键.

5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >

B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

C ．对任意的,a b ，12e e <

D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >

【答案】D

【解析】依题意，2

221)(1a

b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=

， 因为)

()

()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，

所以当b a >时，10<<

a b ，10<++

2)()(m

a m

b a b ++<，所以12e e <；

当b a <时，

1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(m

a m

b a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.

【名师指点】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线2

4y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2

2250x y r r -+=>相

切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D 【解析】

显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设

11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2

11

222

44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，

所以

1212

1222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55

y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =

得2012,y y =∴-<<.因为点

M 在圆()()2

2250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2

044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.

【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.

【名师指点】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.

7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22

221x y a b

-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交

于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC

的距离小于a 线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、(1,0)

(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞