模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法

0.95 0.45 0.92 0.21 0.18 0.14 1 0.9
0.93 0.55 0.95 0.21 0.23 0.19 0.9 1
❖ (2)求解R*,得R8=R4, ❖ 所以R4为R*
R2 1
0.93
0.67 0.92
0.93
0.67
0.92
0.49137 5931
0.49137 5931
❖ 例子：P321
❖ 评判等级标准（好、较好、一般、较差、差）五级 。
R1
0.1 0.4 0.35 0.1 0.05
0.25 0.35 0.25 0.15
0
0.2 0.25 0.35 0.1 0.1
0.15 0.35 0.3 0.1 0.1
0.12 0.36 0.32 0.14 0.06
R2
0.1 0.35 0.35 0.1 0.1
由于同一事物具有多种属性，因此，在评价事物时应兼 顾各方面。特别是在生产规划，管理调度等复杂系统中 ，作出任何一个决策时，都必须对多个相关的因素进行 综合考虑，这便是所谓的综合评判问题.若这种评判涉及 模糊因素，便是模糊综合评判问题。综合评判是综合决 策的数学工具。
模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面 评价的一种十分有效的多因素决策方法。它又称为模糊 综合决策。
0.33
0.27 0.20 0.20
此结果表示，对该学校的校园网一期建设情况而言，将硬件建设、软件建设、 人员培训同时考虑的结果，根据最大隶属度法，该校园网建设仍然是“很好” 占最大比重（0.33）.
❖ (2)多层次模糊综合评判模型
❖ 当因素集的元素较多的时候，而且因素还存在着不 同的层次时，把因素集U中的某些元素按某些属性 分成几类，先对每一类(因素较少)做评判，再对各 个结果进行“类”元素的高层次综合评判。
❖ 所以R4为模糊等价矩阵R*
❖ （4）求相应 -截矩阵，进行分类
x1 x2 x3 x4 x5
λ=0.5 x1 1
0
1
1
1
x1,x3,x4 ,x5
x2
0
1
0
0
0
x2
x3 1
0
1
1
1
x4 1
0
1
1
1
x5 1
0
0
1
1
λ=0.6 x1,x3 x4,x5 x2
x1
x2
x3
x4
x5
x1
1
0
1
0
0
x2
0
1
0
❖ 从矩阵上可看出R具有自反性，因为对角线元素均 为1，而u(x,y)=u(y,x),因此R具有对称性。
❖ 而R◦R=R,因此R具有传递性。 ❖ 所以R关系是模糊等价关系
❖ 相像关系：具有自反性、对称性，不具有传递性。 ❖ 相爱关系：不一定具有对称性 ❖ 仇敌关系：不具有自反性 ❖ 大得多：具有传递性
0.6
x5
0.3 0.4 0.1 0.6 1
❖ （3）使用平方法改造R，
❖ R◦R=R2=
1
0.3 0.8 0.5 0.5
0.3 1
0.2 0.4 0.4
0.8 0.2 1
0.5 0.3
0.5 0.4 0.5 1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
❖ R2◦R2=R4=
1
0.4 0.8 0.5 0.5
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.93
0.55 0.93 1
❖ (3)求相应 -截矩阵，进行分类
G1
G2
G3 G4
G5
G6
G7 G8 G9
λ=1
G1 1
0
00
0
0
000
G1
G2 0
1
00
0
0
000
G2
G3 0
0
10
0
0
000
G3
G4 0
0
01
0
0
000
G4
G5 0
0
00
1
0
000
G5
G6 0
0
00
0
1
000
G6
G7 0
0
00
0
❖ 例子：
❖ （1）从数值上我们可看出数据的范围基本一致， 省去标准化处理。
❖ （2）使用绝对值差数方法求解模糊关系矩阵，其 中c=0.1
模糊
相似 x1
x2
x3
x4
x5
关系
x1
1
0.1 0.8 0.5 0.3
x2
0.1 1
0.1 0.2 0.4
x3
0.8 0.1 1
0.3 0.1
x4
0.5 0.2 0.3 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
0
100
G7
G8 0
0
00
0
0
010
G8
G9 0
0
00
0
0
001
G9
G1
G2
G3 G4
G5
G6
G7 G8 G9
λ=0.99
G1 1
0
00
0
0
000
G5,G6,G7 G2 0
1
00
0
0
000
G1
G3 0
0
10
0
0
000
G2
G4 0
0
01
0
0
000
G3
G5 0
0
00
1
1
100
G4
G6 0
0
00
1
1
100
❖ 模型III：主因素突出型 M(∧, )
n
n
bj
i1(ai
rij )
(ai
i1
rij )
❖ 模型IV：加权平均模型 M(•,+)
n
bj (ai rij ) i1
❖ 最后用最大隶属度原则，最大的bj对应的评语为最 佳的评判结果。
❖ 多层次的模糊综合评判反映了客观事物因素之 间的不同层次，它可以避免当因素过多时，因素重 要程度模糊子集难以区分的问题。
❖ 模糊相似矩阵的建立方法
❖ 数量积法、最大最小值法、算术平均最小法。。。 。
❖ 夹角余弦法
rij
m
xik x jk
k 1
m
m
xi2k
x
2 jk
k 1
k 1
rij
m
| xik xi | | x jk x j |
k 1
m
m
(xik xi )2
(x jk x j )2
k 1
k 1
模糊数学
➢ 模糊聚类分析方法 ➢ 模糊综合评判方法
❖ 模糊聚类分析方法 ❖ （1）模糊等价关系
若模糊关系R是论域U上各元素之间的模 糊关系，且满足 (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R . 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系。
A =（0.5，0.2，0.3）
现要做出综合评判，必须进行模糊变换 B=A◦R =
0.5 0.5 0.2 0.3 * 0.4
0
0.4 0.1 0 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3 0.6
0Βιβλιοθήκη Baidu5 =
0.4 0.3 0.3
为了明确地显示综合评判的结果，还需做归一化处理。
归一化后的模糊变换结果为：
x3 x4
0.07 0.15
0 0.07 0 1
0 0.44 0.13 1
0.61 0.9 0.07
0.69 0.81 0
0.04 0
x5
0.18 0 0.44 0.18 1 0.65 0.84 0.1 0.15
x6
1 0.24 0.08 0.13 0.45 0.13 0.13 0.43 0
x7
0.14 0 0.07 0 1 0.59 1 0.09 0
❖ (1)使用夹角余弦方法，计算模糊相似关系
G1
G1 1
G2 0.88 G3 0.49 G4 0.88 G5 0.3 G6 0.24 G7 0.2 G8 0.93 G9 0.77
G2
0.87945 3783
1 0.38 0.94 0.06 0.05 0.01 0.95 0.93
G3 0.49 1375 931 0.38 1 0.67 0.76 0.8 0.71 0.45 0.55
1
1
100
G3
G6 0
0
00
1
1
100
G7 0
0
00
1
1
100
G8 0
1
00
0
0
010
G9 0
0
01
0
0
001
❖ 模糊综合评判方法
在生产、科研和日常生活中，人们常常需要比较各种事 物，评价其优劣好坏，以作相应的处理。例如，评价某 新产品的整机性能的好坏，评价某设计参数的合理程度 等，以改进产品设计，提高产品的质量。
❖ 具有自反性、对称性的关系，可称为模糊相似关系 。
❖ （2）基于模糊等价关系的模糊聚类方法 ❖ 步骤： ❖ (a)将样本数据标准化，即正规化。 ❖ 一般是将数据压缩到[0,1]区间内，便于对数据进行
聚类分析
❖ (b)计算出被分类对象间相似程度的相似系数rij,从而 建立论域U上的相似关系矩阵R。
U={硬件建设（u1），软件建设（u2），人员培训（u3）}
而评语论域V表示为：
V={很好（v1），较好（v2），可以（v3），不好（v4）}
亦即分为四个等级，并用百分比或小数表示。现邀请一些专门人 员进行评价，若用人数的百分比来表示评价结果如表所示；
指标
评语
硬件指标
软件指标
人员指标
很好
50% 40% 0%
0.15 0.45 0.25 0.1 0.05
0.1 0.4 0.35 0.1 0.05
0.2 0.25 0.35 0.15 0.05
0.12 0.38 0.26 0.09 0.12
R3
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
0.08 0.2 0.5 0.12 0.1
0.14 0.26 0.38 0.14 0.08
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
0.2 0.2 0.4 0.1
现在假定根据实际需要，在对校园网络一期建设做出要求时，主要是硬件建设 （0.5）,其次是人员培训（0.3），对软件建设要求稍低（0.2）。这就构成 一个由三个权数分配构成的一行模糊向量 ；
G8
G7 0
0
00
1
1
100
G9
G8 0
0
00
0
0
010
G9 0
0
00
0
0
001
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9
λ=0.95 G1 1
0
00
0
0
000
G5,G6,G7 G2 0
1
00
0
0
010
G2,G8
G3 0
0
10
0
0
000
G4,G9
G4 0
0
01
0
0
001
G1
G5 0
0
00
0.1 0.5 0.35 0.05
0
0.11 0.37 0.37 0.1 0.05
权重 A A1 A2 A3
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931
0.38
0.8
0.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
Bi=Ai*Ri=(bi1, bi2, …, bin) (i=1, 2, …, N)
❖ 在进行AR矩阵合成时，可有多种方法： ❖ 模型I：主因素决定型 M(∧, ∨)
n
bj (ai rij ) j 1,2...m i1
❖ 模型II：主因素突出型 M( , ∨)
n
bj (ai rij ) j 1,2...m i1
❖ 求解步骤： ❖ a. 划分因素集U 按因素集的某个属性，划分成多个子集 因素集的一个划分
U={U1, U2, …, Um}, 满足下面条件：
b. 对因素子集中每一个子集进行单层次模糊综合评判 。
设Ui的因素重要程度模糊子集合为Ai, Ui的ki个 因素对应的综合评判矩阵为Ri ，选择一个一级模型对 Ui进行模糊综合评价，设Ui的模糊综合评价集为
G4
0.88767 1895
0.94 0.67 1 0.3 0.3 0.24 0.92 0.95
G5
0.3
0.06 0.76 0.3 1 0.99 0.98 0.21 0.21
G6
0.24
0.05 0.8 0.3 0.99 1 0.99 0.18 0.23
G7 G8 G9
0.2 0.93 0.77
0.01 0.71 0.24 0.98 0.99 1 0.14 0.19
0
0
x3
1
0
1
0
0
x4
0
0
0
1
1
x5
0
0
0
1
1
❖ 分类结果
P313例子：
❖ P313例子：
x1
G1 0.91 G2 1 G3 0.2 G4 0.44 G5 0.03 G6 0.03 G7 0 G8 0.91 G9 0.38
x2
1 0.87 0.15 0.38 0.03 0.03 0 0.53 0.26
0.4 1
0.4 0.4 0.4
0.8 0.4 1
0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
❖ R4◦R4=R8=R4
1
0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1
0.4 0.4 0.4
0.8 0.4 1
0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1
0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1