推理技术 谓词逻辑

可靠性和完备性
可靠性(reliable) 语法->语义
一个逻辑是可靠的，如果它的证明保持真假值，
即在任何解释I下，如果I是 的模型，且可由推导 出，则I也是的一个模型。即，一个逻辑是可靠的， 如果对任何语句集合和语句 ， ⊢蕴涵 ⊨ 。
完备性(complete) 语义->语法
一个逻辑是完备的，如果任何永真语句是可证的。
这里a为Skolem常量
(5)消去所有全称量词。 (6)化公式为合取范式。
可使用逻辑等价式:
①A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) ②(A∧B)∨C (A∨C)∧(B∨C)
(7)适当改名，使子句间无同名变元。 (8)消去合取词∧，以子句为元素组成一个集合S。
转换子句集举例
(A B) (C D) 1. 消去
逻辑与程序语言的对比
逻辑
逻辑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号
非逻辑符号
语句规则 语义规则 推理规则、公理和证明
程序语言
保留字或者符号
用户自定义的符号(变量名，函数名等) 构造一个程序的语句规则 定义程序做什么的语句规则 没有
1.3 命题逻辑
• 命题：可以确定其真假的陈述句。Bolle提出了布尔代数。 • 语言:原子Q、否定¬、吸取V、合取、蕴含 、等价<-> • 公式：AV¬B， (AB,A)=> ?
称C12为基子句C1和C2的归结式。 称C1和C2为C12的亲本子句。 例3.9 设C1=乛P∨Q∨R, C2=乛Q∨S,于是C1,C2的归结式 为
乛P∨R∨S
③乛(A∨B) 乛A∧乛B
④乛 xP(x) x乛P(x) ⑤乛 xP(x) x乛P(x)
(3)适当改名，使量词间不含同名自由变元和约束变元。
(4)消去存在量词。
消去存在量词时，同时还要进行变元替换。变元 替换分两种情况：
①若该存在量词在某些全称量词的辖域内，则用这 些全称量词指导变元的一个函数代替该存在量词辖域 中的相应约束变元，这样的函数称为Skolem函数；
8
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。 逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号； • 非逻辑符号集合：不同的逻辑理论中出现的不同的符号； • 语句规则：定义什么样的符号串是有意义的； • 证明：什么样的符号串是一个合理的证明； • 语义规则：定义符号串的语义。
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟； 14、挪威人住蓝色房子隔壁；
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
逻辑的历史
公司招聘工作人员，有M,N,Q三人应聘，经面试后，公司表示如 下想法：（1）三人中至少录取一人;（2）如果录取M,则一定录取 N；（3）如果录取N,则一定录取Q。结果如何？
1.4 谓词逻辑(一阶逻辑)
谓词逻辑是一种形式语言，具有严密的理论体系，也是一种常用的 知识表示方法。
语言: ¬，，，，(，)；常元，变元，函词，谓词；公式
3.化公式为合取范式 (A (C D)) (B (C D)) (A C) (A D) (B C) (B D)
谓词公式转换子句集举例
(A B) (C D)
1. 消去 (A B) (C D)
2. 缩减 作用范围 (A B) (C D)
3.化公式为合取范式 (A (C D)) (B (C D)) (A C) (A D) (B C) (B D)
第四章 推理技术
4.1 一阶谓词逻辑推理 4.2 归结演绎推理
推理技术概述
推理是人类求解问题的主要思维方法，即按照某种策略从已有事 实和知识推出结论的过程。按思维方式可分演绎推理、归纳推理、 类比推理等。
逻辑推理：按逻辑规则进行的推理。分为：
经典逻辑推理 :主要指命题逻辑和一阶谓词逻辑推理，也称精确推理或确 定性推理； 非经典逻辑推理：主要指除经典逻辑之外，按多值逻辑、模糊逻辑、概 率逻辑等的推理，也称为非精确推理或非确定性推理。
2、瑞典人养狗；
9、挪威人住第一间房；
3、丹麦人喝茶；
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
4、绿色房子在白色房子左面； 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁；
5、绿色房子主人喝咖啡；
12、抽BlueMaster的人喝啤；
6、抽PallMall香烟的人养鸟； 13、德国人抽Prince香烟；
系统的定理做出肯定的判断，但对非定理的公式过 程未必终止，因而未必能作出判断。这时称逻辑是 半可判定的。
一阶逻辑是不可判定的，但它是半可判定的。
现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表
逻 辑 自然语 程序 人工 逻辑 指令与直 数据库 复杂性 智能体 未 来 展 望
言处理 控制 智能 编程 陈式语言 理论 理论 理论
时序逻辑
√ √ √ √ √ √ √ √ 广泛应用
模态逻辑
√ √ √ √ √ √ √ √ 非常活跃
算法证明
√ √√√ √ √ √√
非单调推理
√ √√√
√ √ √ 意义重大
概率和模糊
√ √√√
√ √ √ 目前主流
直觉主义逻辑
√ √ √ √ √ √ √ √ 主要替代者
高阶逻辑，λ-演算 √ √ √ √ √
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。
I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。
类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
(A B) (C D)
转换子句集举例
(A B) (C D)
1. 消去 (A B) (C D)
2. 缩减 作用范围 (A B) (C D)
转换子句集举例
(A B) (C D)
1. 消去 (A B) (C D)
2. 缩减 作用范围 (A B) (C D)
– City（北京） – City（上海） – Age（张三，23） – (x)( y)( z) (F(x, y)F(y, z)GF(x, z)）
谓词逻辑中的形式演绎推理
将自然语言中的陈述语句 利用谓词公式表示
利用逻辑等价式 将谓词公式进行变换
利用逻辑蕴含式 推出结论
符号化过程 公式变形 推理过程
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于 推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻 辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
子句集: {A C , A D , B C , B D}
归结（消解）定义
定义3：若P是原子谓词公式，则P与乛P为互补文字
定义4：设C1与C2是子句集中的任意两个基子句，如果 C1中的文字L1与C2中的文字L2互补，那么C1和C2中分 别消去L1和L2，并将两个子句余下的部分析取，构成一 个新子句C12，则称此过程为归结，又称消解 （resolution）。
证 明(语法)
在语法上，如果存在一个从假设到的证明， 则记为 ⊢ ，称由可推导出的，或可证明的。
是可推导出的，则记为 ⊢ ，称为可证明的。
称一个假设是不协调的，如果存在一个语句 使得和的否定均可由推导得出。
称一个逻辑系统是一致的，或相容的(consistent)， 如果不存在逻辑系统的公式A，使得⊢A与⊢¬A同时成 立。
下面我们进行形式推理：
(1) x(S(x)→M(x)) ［前提］
(2)S(a)→M(a)
［(1),US］
(3)S(a)
［前提］
(4)M(a)
［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
这种推理过程完全是一种符号变换过程，很类似于人们用 自然语言推理的思维过程，因而称为自然演绎推理
逻辑推理举例
经典推理：苏格拉底之死 如何判别谎言？ ABC三人都喜欢说谎话，偶尔也说真话。某天，A指责B说谎 话，B指责C说谎话，C说AB两人都在说谎话。问谁在说谎？
有几条疯狗？
村里有50户人家，每家都养了一条狗。现发现村子里面出现 了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自 己的狗枪毙。但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不 是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗 是疯狗，也不能告诉别人。于是大家开始观察，第一天晚上，没 有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体 几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？只有晚上才能看出病狗， 并且一天晚上只能看一次。
爱因斯坦的世界难题（1）
爱因斯坦在20世纪初出一个谜语。他说世界上有98％的人答不出来。
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的
宠物。
问题是：谁养鱼？
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子；
8、住在中间房子的人喝牛奶；
表4.1 常用逻辑等价式
表4.2 常用逻辑蕴含式
例
设有前提： (1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。
试问：小王学过计算机吗？ 解 令S(x)：x是大学生; M(x)：x学过计算机; a：小王。