如何解分式和绝对值不等式
(一)分式不等式: 型如:0)()(>x x f ?或0)
()( 解关于x 的不等式02 31>-+x x 方法一:等价转化为: 方法二:等价转化为: ???>->+02301x x 或???<-<+0 2301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一: 0231≥-+x x 等价转化为:? ??≠-≥-+0230)23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02 31≤-+x x 的解集。(不等式的变形,强调等价转化,分母不为零) (2)归纳分式不等式与整式不等式的等价转化: (1)0)()(0)()(>??>x x f x x f ?? (3)0)()(0) ()(? ??≠≤??≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ??? (3)小结分式不等式的解法步骤: (1)移项通分,不等式右侧化为“0”,左侧为一分式 (2)转化为等价的整式不等式 (3)因式分解,解整式不等式(注意因式分解后,一次项前系数为正) 练一练:解关于x 的不等式 051) 1(>--x x 3532)2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式: 232≥+-x x 解:023 2≥-+-x x 03 )3(22≥++--x x x 即,03 8≥+--x x 03 8≤++x x (保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正) 等价变形为:? ??≠+≤++030)3)(8(x x x ∴原不等式的解集为 [)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23282<+++x x x 方法一:322++x x 恒大于0,利用不等式的基本性质 方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式: 1≥x a 解:移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即,0≤-x a x 等价转化为,???≠≤-0 0)(x a x x 当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a 当a=0时,原不等式的解集为φ (二)绝对值不等式 理解绝对值的几何意义: ? ? ? ? ? < - = > = )0 ( )0 ( )0 ( a a a a a a , 其几何意义是数轴上的点 ) (a A 离开原点O的距离 a OA= 。 (一)注意绝对值的定义,用公式法 即若a x a >< 0,|| ,则 -<< a x a;若a x a >> 0,|| ,则 x a >或x a <-。 例1. 解不等式|| 2331 x x -<+ 解:由题意知310 x+>,原不等式转化为-+<-<+ () 312331 x x x 即:对于形如 ) R a(a |)x(f| a |)x(f|∈ > <, 型不等式,此类不等式的简洁解法是等价命题法,即: ①当a>0时, a )x(f a a |)x(f|< < - ? < ; a )x(f a |)x(f|- < ? > 或 a )x(f> 。 ②当a=0时, a |)x(f|< ,无解; )x(f a |)x(f|≠ ? > 。 ③当a<0时, a |)x(f|< ,无解; )x(f a |)x(f|? > 有意义。 拓展:形如 )0 a b(b |)x(f| a> > < < 型不等式,此类不等式的简洁解法也是等价命题法,即: a )x(f b b )x(f a )0 a b(b |)x(f| a- < < - < < ? > > < <或 。例1 解以下不等式: (1) 5 |3 x2|> - ;(2) |1 x2|< - 。 解:(1)由原不等式可得: 5 3 x2> -或5 3 x2- < -,即x>4或1 x- <。 所以原不等式的解集是 }1 x 4 x|x{- < >或 (2)因为左边为非负值,而右边为0,故不等式无解,即解集为 ?。(二)注意绝对值的非负性,用平方法 等式的两边都是非负值才能用平方法,否则不能用平方法,在操作过程中用到||x x 22 = 。 例2. 解不等式|||| x x +<+ 123 两边都含绝对值符号,所以都是非负,故可用平方法。 解:原不等式 ?+<+?+<+?+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 即:对于 形如|)x (g ||)x (f |<型不等式,此类不等式的简洁解法是利用平方法,即: 0|)x (g )x (f ||])x (g ||)x (f [||)x (g ||)x (f ||)x (g ||)x (f |22<+?-?<。 例2 解不等式|3x 2||1x |->-。 解:原不等式等价于:2 2|3x 2||1x |->-,即08x 10x 32<+-,解得2x 34<<。 (三)注意分类讨论,用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号,常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213 解:利用绝对值的定义,分段讨论去绝对值符号,令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、 于是,可分区间(),[][,)-∞--+∞,,,2211讨论原不等式? x x x x x x x x x <--++-->???-≤<+-->???≥++->???2213212131213,()[()],(),()或或 解得x x ><-12或 综上不等式的解为x ∈-∞-?+∞()(),,21 即:对于形如a b x c x ≥-+-和 a b x c x ≤-+-不等式,用零点分段法 1.解不等式4 31≥-+-x x (1)利用绝对值不等式的几何意义 这个不等式的几何意义是:数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合 (2)零点分段讨论:(即去掉绝对值) 注:x=1,与x=3将数轴分成三段,然后根据不等式的几何意义去掉绝对值,解不等式 3 1)(++-=x x x f 总结:绝对值不等式的解法 (1) a x a a a x< < - ? > <)0 ( ; (2) a x a x a a x> - < ? > >或 )0 ( ; (3) a x f a a a x f< < - ? > <) ( )0 ( ) ( ; (4) a x f a x f a a x f> - < ? > >) ( ) ( )0 ( ) (或 ; (5) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x g x f x g x g x f< < - ? < ; (6) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x g x f x g x f x g x f> - < ? >或 ; (7) a x b b x a a b b x a- ≤ ≤ - ≤ ≤ ? > > ≤ ≤或 )0 ( ; (8) ?? ? ? ? ≠ < ? ? ? ? ≠ < ? > < ) ( ]) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) (2 2 x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。 (9) |)x(g )x(f||])x(g| |)x(f[| |)x(g| |)x(f| |)x(g||)x(f|2 2< + ? - ? < ? < (10)对于形如 m b x a x> - + - 等含有多个绝对值符号的不等式,常用“零点分段”或绝对值的几何意义 求解。 [课后练习] 1、不等式 )1 2(1≥ - +x x 的解集为。 2、不等式 )1 2(1< - +x x 的解集为。 6、已知不等式 是 成立的充分非必要条件 1 | |< m x-2 1 3 1 <x< , 则实数 m的取值范围是。 7、不等式 3 1 2- - > +x x 的解集是。 8、关于x的不等式m x> -1 的解集为R的充要条件是() A. < m B.1- ≤ m C.0 > m D.1- ≥ m 9、不等式|x2-x-6|>3-x的解集是 ( ) A.(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C. (-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞) 10、解不等式 1 |4 | |1 2|+ ≥ - - +x x x 。 11、设函数 ()2 f x ax =+ ,不等式 |()|6 f x< 的解集为 (1,2) - , 试求不等式 1 () x f x ≤ 的解集。 提高题 12、用>或<或≥或≤填空:b a b a - + b a b a + - (|a|>|b|)。 13、已知 > h,设命题甲为两个实数a、b满足h b a2 < - ;命题乙为两个实数a、b满足 h a< -1 ,且h b< -1 ,那么甲是乙的条件。 14、已知 2 1 ) (x x f+ = ,a、b∈R,且a≠b,求证: b a b f a f- < -) ( ) ( . 15、已知 () f x 和 () g x 的图象关于原点对称,且 2 ()2 f x x x =+ , (1)求 ) (x g 的解析式;(2)解不等式 ()()|1| g x g x x ≥-- 。