如何解分式和绝对值不等式

（一）分式不等式： 型如：0)()(>x x f ϕ或0)

()(

解关于x 的不等式02

31>-+x x 方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为：

⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+0

2301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：

0231≥-+x x 等价转化为：⎩

⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02

31≤-+x x 的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零） （2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

（1）0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ （3）0)()(0)

()(<⋅⇔

⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （3）小结分式不等式的解法步骤：

（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式

（2）转化为等价的整式不等式

（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）

练一练：解关于x 的不等式 051)

1(>--x x 3532)2(≤-x

例1、 解关于x 的不等式：

232≥+-x x 解：023

2≥-+-x x 03

)3(22≥++--x x x 即，03

8≥+--x x 03

8≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：⎩

⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x ∴原不等式的解集为

[)3,8-- 例2、解关于x 不等式

23282<+++x x x 方法一：322++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质

方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

例3、 解关于x 的不等式：

1≥x a 解：移项 01≥-x

a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x

a x 等价转化为，⎩⎨⎧≠≤-0

0)(x a x x

当a>0时，原不等式的解集为],0(a

当a<0时，原不等式的解集为)0,[a

当a=0时，原不等式的解集为φ

（二）绝对值不等式

理解绝对值的几何意义：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

-

=

>

=

)0

(

)0

(

)0

(

a

a

a

a

a

a

，

其几何意义是数轴上的点

)

(a

A

离开原点O的距离

a

OA=

。

（一）注意绝对值的定义，用公式法

即若a x a

><

0，||

，则

-<<

a x a；若a x a

>>

0，||

，则

x a

>或x a

<-。

例1. 解不等式||

2331 x x

-<+

解：由题意知310

x+>，原不等式转化为-+<-<+

()

312331

x x x

即：对于形如

)

R

a(a

|)x(f|

a

|)x(f|∈

>

<，

型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即：

①当a>0时，

a

)x(f

a

a

|)x(f|<

<

-

⇔

<

；

a

)x(f

a

|)x(f|-

<

⇔

>

或

a

)x(f>

。

②当a=0时，

a

|)x(f|<

，无解；

)x(f

a

|)x(f|≠

⇔

>

。

③当a<0时，

a

|)x(f|<

，无解；

)x(f

a

|)x(f|⇔

>

有意义。

拓展：形如

)0

a

b(b

|)x(f|

a>

>

<

<

型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：

a

)x(f

b

b

)x(f

a

)0

a

b(b

|)x(f|

a-

<

<

-

<

<

⇔

>

>

<

<或

。例1 解以下不等式：

（1）

5

|3

x2|>

-

；（2）

|1

x2|<

-

。

解：（1）由原不等式可得：

5

3

x2>

-或5

3

x2-

<

-，即x>4或1

x-

<。

所以原不等式的解集是

}1

x

4

x|x{-

<

>或

（2）因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为

∅。（二）注意绝对值的非负性，用平方法

等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到||x x

22

=

。

例2. 解不等式|||| x x

+<+

123

两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。