委托代理模型

委托代理理论模型

一、 引言

委托代理问题是指委托人希望代理人可以按照自身（委托人）的利益选择行动，但是委托人又不能观测到代理人的整个行动，只能通过观测一些相关变量来推断代理人的行动，从而制定出相应的奖惩措施，该理论模型就是在解决信息对称下的最优风险分担及激励成本之后，由Holmstrom 和Milgrom 于1987年提出，以下将会对此模型做一简要介绍。

二、 模型介绍

假设一、a 是一维努力变量，产出函数θπ+=a ，其中0)(=θE ，2)(σθ=D ，θ作为正态随机变量，代表外生的影响因素。由此可以推出期望a a E E =+=)()(θπ，方差2)()(σθπ=+=a VAR VAR ；

假设二、委托人是风险中性的，代理人是风险规避的，根据微观经济学中的知识，风险中性的效用函数曲线是条向右上方倾斜的直线，风险规避者的效用曲线是向上凸的曲线，并且一阶导数大于0，二阶导数小于0。 假设三、线性代理合同βπαπ+=)(S ，其中α是代理人的固定收入，与π无关；β是代理人可以分享的产出份额的比例；若0=β，说明代理人不用承担风险，1=β说明代理人承担全部风险。

在以上的假设条件下，委托人作为风险中性者，其期望效用等于期望收入，即

)1())1(())((βααπβππ-+-=--=-a E s Ev ...……………………………………………………….

假设四、代理人具有绝对风险规避者，效用函数w e u ρ--=，其中ρ是绝对风险规避度量，w 是实际货币收入。代理人努力的成本2)(2ba a c =，0>b 代表成

本系数：所以b 越大，努力的成本越高。 代理人的实际货币收入22

1)()()(ba a a c s w -++=-=θβαπ，实际货币收入的期望效用是：221ba a Ew -+=βα；风险成本222

1))(var(21σρβπρ==∆s RC ，所以确定性等价收入为：222222

12121σρββασρβ--+=-ba a Ew ，关于确定性等价的定义：如果)()(y Eu x u =，其中y 为随机性收入，x 称为y 的确定性等价，原因是二者的效用相等。

第一、考虑委托人可以观测代理人努力水平a 时的最优合同。

令w 是代理人的保留收入水平，那么代理人的参与约束是：w ba a ≥--+2222121σρββα，此时激励约束无效。最优化问题转化为：

a Ev a )1(max ,,βαβα-+-=，将上式和参与约束联立，得到最优化的一阶条件：b

a 1*=；0*=β，把上述结果代入参与约束中可以得到：b

w a b w 21)(212**+=+=α 分析：1、0*=β，由第三节中的公式)/(a p p ρρρβ+=，其中a ρ是代理人的风险规避度，p ρ是委托人的风险规避度，根据假设二，委托人是风险中性者，代理人是风险规避者，所以0=p ρ，从而与所求结果0*=β一致；2、委托人支付

给代理人的固定收入*α正好等于代理人的保留工资w 与努力的成本2*)(2

1a b 之和；3、最优努力水平*α要求努力的边际期望利润1等于努力的边际成本ba ； 所以，委托人在观测到代理人的努力水平b

a 1 时就支付*α w a 即可，另外一点，在委托人不能观测到代理人的行动时，帕累托最优是不能实现的，在0=β的情况下，此时代理人最大化自己的确定性等价收入

22222212121σρββασρβ--+=-ba a Ew ，对a 进行一阶求导，得到0==b

a β，也就是说，代理人只能得到固定收入时，他是不会努力工作的！

第二、努力水平a 不可观测时的最优合同

a 不可观测的时候，代理人的激励相容约束为

b a /β=，所以此时的最优化 问题是：a Ev )1(max ,βαβ

α-+-= w ba a IR t s ≥--+2222

121).(.σρββα b a IC /)(β= 将约束条件代入最大化公式得到：w b b ---221max 2

22βσρββ

β，对β求一阶导数，得到0112>+=ρσ

βb ，从这个公式可以看出，（1）b 越大，也就是代理人越不愿意努力工作，β越小 ，代理人承担的风险越小；（2）公式中可以得到

0/ ρβ∂∂和0/2 σβ∂∂，所以给定β不变，ρ或2σ越大，风险成本222

1σρβ越高，所以β应该越小，其最有风险才会较低。代理人之所以越不愿意努力工作，其所承担的成本越小，主要有两方面原因：1、在可观测努力水平的情况下，

b

a 1*=，

b 越大，a 越小；2、在不可观测a 的时候，b a /β=，b 越大，委托人诱导代理人选择同样的努力水平要求的β就越大，换句话说，委托人宁愿以较低的努力换取风险成本的节约！

在此种情况下，代理人的风险成本0)11(212122222 σρσ

ρσρβb RC +==∆，和a 可以观测到0*=β的候比较，整个风险成本就是净福利损失；期望产出的净

损失：01122

*

>+=-=-=∆ρσρσβαπb b a E ，代理人的努力成本的减小额：22222*

)1(2)2()1(2121)()(ρσρσρσαb b b b b a C C C ++=+-=-=∆，把期望收益与努力成本的减少定义为激励成本：0)

1(2)(222

2>+=∆-∆ρσρσπb b C E ，那么总代理成本等于风险成本与激励成本的加总：0)

1(2)(22

>+=∆-∆+∆=ρσρσπb C E RC AC ，在这个式子中，当代理人为风险中性，即绝对风险规避度量0=ρ时，总成本为0，从公式中可以看到总代理成本随着ρ和2σ的增大而增大。

第三、在外生变量另外企业的利润z 可以观测时，委托代理模型中的最优合同。

假定：z 与a 无关，服从正态分布，并且2

)(,0)(z z D z E σ==，此时的委托合同变为：)(),(z z s γπβαπ++=，其中γ表示代理人的收入与z 的关系。 在这个条件下，代理人的实际收入22

1)(ba z w -++=γπβα，从而22

1)(ba a w E -+=βα，风险成本变为：)),cov(2(2

1)),(var(212222z z s RC z πγσγσρβπρ++==∆，所以代理人的确定性等