委托代理模型

委托代理理论模型
一、 引言
委托代理问题是指委托人希望代理人可以按照自身（委托人）的利益选择行动，但是委托人又不能观测到代理人的整个行动，只能通过观测一些相关变量来推断代理人的行动，从而制定出相应的奖惩措施，该理论模型就是在解决信息对称下的最优风险分担及激励成本之后，由Holmstrom 和Milgrom 于1987年提出，以下将会对此模型做一简要介绍。

二、 模型介绍
假设一、a 是一维努力变量，产出函数θπ+=a ，其中0)(=θE ，2)(σθ=D ，θ作为正态随机变量，代表外生的影响因素。

由此可以推出期望a a E E =+=)()(θπ，方差2)()(σθπ=+=a VAR VAR ；
假设二、委托人是风险中性的，代理人是风险规避的，根据微观经济学中的知识，风险中性的效用函数曲线是条向右上方倾斜的直线，风险规避者的效用曲线是向上凸的曲线，并且一阶导数大于0，二阶导数小于0。

假设三、线性代理合同βπαπ+=)(S ，其中α是代理人的固定收入，与π无关；β是代理人可以分享的产出份额的比例；若0=β，说明代理人不用承担风险，1=β说明代理人承担全部风险。

在以上的假设条件下，委托人作为风险中性者，其期望效用等于期望收入，即
)1())1(())((βααπβππ-+-=--=-a E s Ev ...……………………………………………………….
假设四、代理人具有绝对风险规避者，效用函数w e u ρ--=，其中ρ是绝对风险规避度量，w 是实际货币收入。

代理人努力的成本2)(2ba a c =，0>b 代表成
本系数：所以b 越大，努力的成本越高。

代理人的实际货币收入22
1)()()(ba a a c s w -++=-=θβαπ，实际货币收入的期望效用是：221ba a Ew -+=βα；风险成本222
1))(var(21σρβπρ==∆s RC ，所以确定性等价收入为：222222
12121σρββασρβ--+=-ba a Ew ，关于确定性等价的定义：如果)()(y Eu x u =，其中y 为随机性收入，x 称为y 的确定性等价，原因是二者的效用相等。

第一、考虑委托人可以观测代理人努力水平a 时的最优合同。

令w 是代理人的保留收入水平，那么代理人的参与约束是：w ba a ≥--+2222121σρββα，此时激励约束无效。

最优化问题转化为：
a Ev a )1(max ,,βαβα-+-=，将上式和参与约束联立，得到最优化的一阶条件：b
a 1*=；0*=β，把上述结果代入参与约束中可以得到：b
w a b w 21)(212**+=+=α 分析：1、0*=β，由第三节中的公式)/(a p p ρρρβ+=，其中a ρ是代理人的风险规避度，p ρ是委托人的风险规避度，根据假设二，委托人是风险中性者，代理人是风险规避者，所以0=p ρ，从而与所求结果0*=β一致；2、委托人支付
给代理人的固定收入*α正好等于代理人的保留工资w 与努力的成本2*)(2
1a b 之和；3、最优努力水平*α要求努力的边际期望利润1等于努力的边际成本ba ； 所以，委托人在观测到代理人的努力水平b
a 1 时就支付*α w a 即可，另外一点，在委托人不能观测到代理人的行动时，帕累托最优是不能实现的，在0=β的情况下，此时代理人最大化自己的确定性等价收入
22222212121σρββασρβ--+=-ba a Ew ，对a 进行一阶求导，得到0==b
a β，也就是说，代理人只能得到固定收入时，他是不会努力工作的！
第二、努力水平a 不可观测时的最优合同
a 不可观测的时候，代理人的激励相容约束为
b a /β=，所以此时的最优化 问题是：a Ev )1(max ,βαβ
α-+-= w ba a IR t s ≥--+2222
121).(.σρββα b a IC /)(β= 将约束条件代入最大化公式得到：w b b ---221max 2
22βσρββ
β，对β求一阶导数，得到0112>+=ρσ
βb ，从这个公式可以看出，（1）b 越大，也就是代理人越不愿意努力工作，β越小 ，代理人承担的风险越小；（2）公式中可以得到
0/ ρβ∂∂和0/2 σβ∂∂，所以给定β不变，ρ或2σ越大，风险成本222
1σρβ越高，所以β应该越小，其最有风险才会较低。

代理人之所以越不愿意努力工作，其所承担的成本越小，主要有两方面原因：1、在可观测努力水平的情况下，
b
a 1*=，
b 越大，a 越小；2、在不可观测a 的时候，b a /β=，b 越大，委托人诱导代理人选择同样的努力水平要求的β就越大，换句话说，委托人宁愿以较低的努力换取风险成本的节约！
在此种情况下，代理人的风险成本0)11(212122222 σρσ
ρσρβb RC +==∆，和a 可以观测到0*=β的候比较，整个风险成本就是净福利损失；期望产出的净
损失：01122
*
>+=-=-=∆ρσρσβαπb b a E ，代理人的努力成本的减小额：22222*
)1(2)2()1(2121)()(ρσρσρσαb b b b b a C C C ++=+-=-=∆，把期望收益与努力成本的减少定义为激励成本：0)
1(2)(222
2>+=∆-∆ρσρσπb b C E ，那么总代理成本等于风险成本与激励成本的加总：0)
1(2)(22
>+=∆-∆+∆=ρσρσπb C E RC AC ，在这个式子中，当代理人为风险中性，即绝对风险规避度量0=ρ时，总成本为0，从公式中可以看到总代理成本随着ρ和2σ的增大而增大。

第三、在外生变量另外企业的利润z 可以观测时，委托代理模型中的最优合同。

假定：z 与a 无关，服从正态分布，并且2
)(,0)(z z D z E σ==，此时的委托合同变为：)(),(z z s γπβαπ++=，其中γ表示代理人的收入与z 的关系。

在这个条件下，代理人的实际收入22
1)(ba z w -++=γπβα，从而22
1)(ba a w E -+=βα，风险成本变为：)),cov(2(2
1)),(var(212222z z s RC z πγσγσρβπρ++==∆，所以代理人的确定性等
价收入是：)),cov(2(2
121)(22222z ba a RC w E z πγσγσρββα++--+=∆-，将上式对a 求导：b a /β=，与上一种情况相同，原因是z 与a 无关。

委托人的期望收入是：αβγπβαπππ--=+--=-)1())(()),((z E z s E ，此时的参与约束为：w RC w E >∆-)(，代入上式，得到最优化问题，
w z b z -++--)),cov(2(212max 22222,πγσγσρββσβ
γβ，对β和z 求导得到： 0)),cov(2(1222=-++-b
z b z βπγσγσρβ 0),cov(2=+z z πγσ， 联立两式：)
/),(cov (11222z z b σπσρβ-+=，2/),cov(z z σπγ-=，因为两个变量之间的相关系数在-1和1之间，所以0/),(cov 222>-z z σπσ。

从上面的公式看出，
（1）、如果z ,π不相关，则0112>+=ρσ
βb ，与此前情况相同。

（2）、如果z ,π正相关，0),cov(>z π，0<γ，根据合同函数)(),(z z s γπβαπ++=，可以看出0>z ，也就是较好的外部条件下，代理人的收入会减少，相反0<z ，即外部条件不利时会增加代理人的收入；（3）如果z ,π负相关，0>γ，则会出现0>z 时增加代理人的收入，0<z 减少代理人的收入。

在0),cov(≠z π的情况下，2
22211)/),(cov (11ρσσπσρβb z b z +>-+=，同时)),cov(2()),(var(2222z z s z
πγσγσβπ++=2222222))0/),(cov (1(/),(cov >-+-=z z z b z σπσρσπσ要小于2
22
)1())(var(ρσσπb s +=，所以此时将z 写进合同都会降低代理成本的。

风险成本：2
222222))0/),(cov (1(2)/),(cov ()),(var(21>-+-==∆z z z b z z s RC σπσρσπσρπρ； 期望产出净损失：)
/),(cov (1)/),(cov (1222222z z z b z b b a E σπσρσπσρβπ-+-=-=∆=∆；
代
理人努力节约的成本：2
22222222222222*))/),(cov (1(2))/),(cov (()/),(cov (2))/),(cov (1(2121)()(z z z z z b z b z z b b b a C C C σπσρσπσρσπσρσπσρα-+-+-=-+-=-=∆所以总的激励成本：2
2222
222))/),(cov (1(2))/),(cov ((z z z b z b C E σπσρσπσρπ-+-=∆-∆，总的代理成本就是风险成本和激励成本之和：))
/),(cov (1(2)/),(cov ()(222222z z z b z C E RC AC σπσρσπσρπ-+-=∆-∆+∆=，和第二种情况相比较，在0),cov(≠z π的情况下，风险成本、激励成本都比之前有所降低。

若222/),(cov σσπ=z z ，即完全相关的时候，由公式)/),(cov (11222z z b σπσρβ-+=推出1=β，而且实现b
a 1=，代理人的风险成本0=∆RC ，即代理人不承担任何风险，实现了帕累托最优。

三、 结论
对于上面所求的几种情况，一般化的结论是：对于任何观测的新的变量，只要包含了更多的关于努力水平a 和外部因素θ的信息，将这些新变量写进合同的话，都可以降低代理成本，当然所能减少的成本要考虑到观测这些新的变量需要花费的成本。