§2无穷积分的性质与收敛判别

§2 无穷积分的性质与收敛判别
一、无穷积分的性质
二、比较判别法 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
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一、无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分
F（u）=
u a
a
f x dx 收敛与否， 取决于函数
f xdx 在u→+∞ 时是否存在极限. 因此由函数极
限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.
a

b

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定理11.4（阿贝尔（Abel）判别法）若 g(x)在上单调有界，则


a
f x g( x )dx 收敛.


a
f x dx 收敛，
例4 讨论 1

sin x dx xp
与 1

cos x xp
（p＞0）的收敛性.
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例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的：

（ⅱ）当 推论3
1 f x p x
源自文库


a
f x dx 发散.
设f定义于 [a, ) ，在任何有限区间[a，u]上可积，且
p x lim f x x
则有： （ⅰ）当p＞1，0≤ ≤+∞时， a f x dx 收敛； （ⅱ）当p≤1，0＜ ＜+∞时， a f x dx 发散.
=0），推知1）对任何实数 因此根据上述推论3（p=2， 都是收敛的.
2）由于 limx
x
1 2
x2 x
5
因此根据上述推论3（p= =1 ， 1
1 2
=1）， ，
推知2）是发散的.
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练习
讨论下列无穷限积分的收敛性：
1） 0



3
1
4
x 1
2
dx 2） ；


1 x 4 3x3 5 x 2 2 x 1
dx的敛散性.
推论2
设 f 定义于 [a, ) (a＞0)， 且在任何有限区间[a，u]
上可积，则有：
1 f x （ⅰ）当 x p
，x∈[a, ) ，且p＞1时 a f x dx 收敛；
，x∈ [a, ) ，且p≤1时
它们都是条件收敛的. 说明：从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到， 当x→+∞ 被积函数即使不趋于零，甚至是无界的， 无穷积分仍有可能收敛.
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.
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性质3 若f 在任何有限区间[a，u] 上可积，且有a f x dx 收 敛，则



a
f x dx 亦必收敛，并有



a
f x dx


a
f x dx .
（3）
当 a f x dx 收敛时， 称 a f x dx 为绝对收敛, 称收敛而不绝 对收敛者为条件收敛. 绝对收敛 收敛. 但其逆命题一般不成立， 性质3指出： 今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4中 当0＜p≤1时
x
给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x1 , x2 X , 均有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | .
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性质1 (线性性质) 若 f1 x dx与 a




a
f 2 x dx 都收敛，k1、k2

为任意常数，则 a k1 f1 x k2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx 也收敛，且


1
sin x dx 条件收敛). p x
二、比较判别法
设f是定义在[a，+∞)上的非负函数，且在任何有限区间上 可积，由于a f x dx 关于上限u是单调递增的， 因此
u
收敛的充要条件是


f x dx
u a
a
f x dx 存在上界. 根据这一分析，便立
即导出下述比较判别法： 设定义在[a，+∞]上的两个非负函数f 和g 定理11.2（比较法则） 且满足 都在任何有限区间[a，u]上可积，

b
f x dx .
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说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性; (2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出a f x dx 收敛的另一充要条件: 任给 ＞0，存在G≥a，当u＞G时， 总有



u
f x dx
u
f x dx 事实上， a f x dx 收敛 J= lim a u
0 , G a, 当 u G 时, u f x dx J a


0 , G a ,当
uG
时, a f x dx ( a f x dx u
u u
f x dx )
0 , G a , 当 u G 时, u f x dx
x [0, ) 以及



0
dx 收敛 1 x2 2
（§1例4）， 根据比较法则，0
sin x dx 为绝对收敛. 2 1 x
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上述比较法则的极限形式如下
推论1 若f 和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0,且 lim x g x 则有 （ⅰ）当0＜c＜+∞时， a f x dx 与
定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 任给 ＞0，存在 G≥a，只要u1、u2＞G，便有

u2
a
f
x dx a
u1
f
x dx


u2 u1
f
x dx
.
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柯西收敛准则
定理3.11 设 f (x) 在 的某个邻域 { x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x ) 存在的充要条件是: 任
f ( x) g ( x), x [a, )
则当 g( x )dx 收敛时， a f x dx 必收敛（或者，当 a a 发散时， a g( x)dx 发散）.




f x dx
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例1 讨论
解 由于


0
sin x dx 的收敛性 2 1 x
1 sin x , 2 2 1 x 1 x

证明

1
sin x dx ，

2


1
cos x dx ，
sin t 2 t

2


1
x sin x 4dx .
前两个无穷积分经换元t=x2得到

1
sin x dx =
2


1
dt
dt


1
cos x dx =
2

cos t 2 t
1


1
x sin x dx =
4
1 2 sin t dt 1 2


a
k1 f1 x k2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx


.
1

性质2 若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，则


a
f x dx
与b f x dx 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
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例3
讨论下列无穷限积分的收敛性： 1）


1
； x e x dx
2）


x2 x5 1
0
dx .
解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛 是同一回事. 1）由于对任何实数 都有
2 x x x e lim x
x 2 lim x 0 x e
则 a f x g x dx 收敛.

推论 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积,g( x ) 在 [a , b] 上单调,
则存在 [a , b], 使
a
b
f ( x ) g( x )d x g(a ) f ( x )d x g(b) f ( x )d x .


f x
c
，


a
g x dx 同敛态；

由 a g x dx收敛可推知 a （ⅱ）当c=0时，

f x dx 也收敛； f x dx 也发散.
由 a g x dx 发散可推知 a （ⅲ）当c=+∞时，

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例2 讨论 1
3


a
f x dx f x dx
b a

b
f x dx
(2)
其中右边第一项是定积分. 所以 a f x dx 与 b f x dx 同敛态（即同时收敛或同时 发散），且有


a
f x dx f x dx
b a
1 1 x
0
dx .
3）
sgn sin x 1 x
0
dx
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三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.
若F(u)= a f x dx 在 [a, ) 定理11.3（狄利克雷判别法）
u
上有界， g(x)在 [a, ) 上当x→+∞时单调趋于0，