博弈论的数学模型
具有数学约束的博弈模型

具有数学约束的博弈模型一、引言博弈论是数学和经济学的交叉学科,它研究在理性参与者之间的策略互动。
在传统博弈论中,参与者的策略选择通常不受任何数学约束。
然而,在实际问题中,参与者可能会面临各种数学约束,如概率约束、预期效用约束等。
这些约束可能会对博弈的结果产生重要影响。
因此,研究具有数学约束的博弈模型具有重要的理论和实践意义。
二、数学约束的类型及其在博弈论中的应用1.概率约束:在许多实际场景中,参与者的决策需要满足一定的概率约束。
例如,在博彩游戏中,玩家的投注金额可能会受到概率约束,以确保游戏的公平性。
在金融市场中,投资者的决策可能会受到风险概率的约束。
2.预期效用约束:预期效用是描述参与者期望获得的效用值的数学概念。
在某些情况下,参与者的决策可能会受到预期效用的约束。
例如,在风险规避的场景中,参与者可能会选择导致较低预期效用的策略,以减少风险。
3.线性约束:线性约束是指描述变量之间线性关系的数学概念。
在线性约束下,参与者的决策可能只能在满足某些线性不等式或等式的条件下进行。
4.集合约束:集合约束是指参与者的决策只能在某些特定集合中进行。
例如,在排列组合的场景中,参与者的决策只能在所有可能排列的集合中进行。
三、数学约束对博弈结果的影响数学约束对博弈结果的影响主要体现在以下几个方面:1.改变最优策略:在具有数学约束的博弈中,最优策略可能会因为约束的存在而发生变化。
这是因为参与者需要考虑到约束条件对自身和对手策略选择的影响。
2.限制策略空间:数学约束会限制参与者的策略空间,从而使一些在无约束条件下可行的策略变得不可行。
这种策略空间的限制可能会影响博弈的均衡结果。
3.影响博弈均衡:在具有数学约束的博弈中,均衡结果可能会因为约束条件的不同而发生变化。
这主要取决于不同约束条件对参与者行为的影响程度。
四、具有数学约束的博弈模型的意义研究具有数学约束的博弈模型具有以下意义:1.增强理论指导意义:通过对具有数学约束的博弈模型的研究,可以为实际问题的解决提供更有针对性的理论指导。
浅析古诺模型的纳什均衡及应用

浅析古诺模型的纳什均衡及应用【摘要】古诺模型是博弈论中的经典模型之一,通过分析双方角色和策略的选择,可以得出纳什均衡的解。
纳什均衡是指在博弈中每个参与者采取最佳应对策略的状态,使得没有一个参与者可以通过改变自身策略来获得更高的收益。
通过计算纳什均衡,可以确定在古诺模型中各方的最优策略选择。
古诺模型在博弈论中有着广泛的应用,能够描述各种决策情形,并帮助分析各方的利益冲突。
古诺模型也存在局限性,例如假设信息完全对称等问题。
纳什均衡的意义和应用前景则在于帮助理解博弈中的策略选择规律,为实际决策提供理论指导。
通过深入研究古诺模型和纳什均衡的概念与应用,可以更好地理解博弈论在现实中的应用。
【关键词】关键词:古诺模型、纳什均衡、博弈论、角色与策略、计算方法、局限性、意义和应用前景。
1. 引言1.1 古诺模型的基本概念古诺模型的基本概念是现代博弈论的基础之一。
古诺模型是由约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩在20世纪40年代提出的博弈论模型,被广泛应用于经济学、政治学、生物学等领域。
古诺模型主要研究多方参与的博弈中的决策问题,其基本假设是参与者都具有理性并追求最大化自身利益。
在古诺模型中,参与者被称为玩家,每个玩家有自己的策略空间和支付函数。
策略空间是玩家可以选择的所有可能行动,支付函数则是描述了每个玩家在不同策略组合下所获得的收益。
古诺模型中的策略可以是纯策略,即玩家直接选择一个确定的行动,也可以是混合策略,即以一定概率选择不同的纯策略。
通过分析古诺模型中各个玩家的策略选择和收益情况,可以得到博弈的纳什均衡。
纳什均衡即在一个博弈中,每个玩家选择的策略都是最优的,给定其他玩家的策略时,自己没有动机单方面改变策略。
纳什均衡是古诺模型中的一个重要概念,也是博弈论中的核心内容之一。
1.2 纳什均衡的概念纳什均衡是博弈论中一个重要的概念,它由约翰·纳什于1950年提出。
在一个博弈中,如果每个参与者都选择了最优的策略,且已知其他人的选择情况下仍然坚持自己的选择,那么这种情况就被称为纳什均衡。
博弈论的几个经典模型ppt课件

博弈论的几个经典模型
22
模型二、囚徒困境/非合作博弈
该博弈刻划了两大难题: • 冲突情形下,参与人的目标是什么?是采用(作 为个人 ) 他自己的最好策略,还是采用 ( 作为集 体的一员)他们共同的最好策略?前者导致均衡 策略 ( 坦白,坦白 ) ,支付为 (-8 , -8) ;后者的最 好策略是 ( 抵赖,抵赖 ) ,支付为 (-1 , -1) 。这里 反映了个体理性行为与集体理性行为之间的矛 盾、冲突。 • 此博弈只进行一次还是重复进行?如果博弈只 进行一次,参与人似乎只有坦白才是最好的策 略,因为没有理由相信对手会对你有信心,他 总认为你自己会坦白;因此,双方都采取坦白 策略。然而,若博弈进行多次,则结论将会发 生变化。
第四章 博弈论的几个经典模型
1
引言
博弈论又被称为对策论(Game Theory), 按照2005年因对博弈论的贡献而获得诺贝尔经 济学奖的Robert Aumann教授的说法,博弈论 就是研究互动决策的理论。所谓互动决策, 即各行动方(即局中人[player])的决策是相互 影响的,每个人在决策的时候必须将他人的 决策纳入自己的决策考虑之中,当然也需要 把别人对于自己的考虑也要纳入考虑之 中……在如此迭代考虑情形进行决策,选择 最有利于自己的战略(strategy)。
此外此外还与会计学还与会计学统计学统计学数学基础数学基础社会心理学社会心理学以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联博弈论的几个经典模型按照按照aumannaumann所撰写的所撰写的新帕尔格雷夫经新帕尔格雷夫经济学大辞典济学大辞典博弈论博弈论辞条的看法辞条的看法标准的标准的博弈论分析出发点是理性的博弈论分析出发点是理性的而不是心理的而不是心理的或社会的角度或社会的角度
数学建模博弈模型

博弈模型在实际问题中的应用前景
政策制定
01
利用博弈模型分析政策制定中的利益关系和策略选择,为政策
制定提供科学依据。
企业竞争策略
02
利用博弈模型分析企业竞争中的策略选择和预期行为,为企业
制定合理的竞争策略。
国际关系
03
利用博弈模型分析国际关系中的利益关系和冲突解决机制,为
国际关系管理提供理论支持。
THANKS
猎鹿博弈
总结词
描述两个猎人合作与竞争的关系,揭示了合作与背叛的平衡。
详细描述
在猎鹿博弈中,两个猎人一起打猎,猎物可以平分。如果一个猎人选择合作而另一个选择背叛,则背叛者可以独 吞猎物。但如果两个猎人都不合作,则都没有猎物可吃。最佳策略是合作,但个体理性可能导致两个猎人都不合 作,造成双输的结果。
03
智猪博弈
总结词
描述大猪与小猪在食槽竞争中的策略,揭示了合作与竞 争的平衡。
详细描述
在智猪博弈中,一个大猪和一个小猪共同生活在一个猪 圈里。每天都有一桶食物放在食槽中,大猪和小猪需要 竞争才能吃到食物。如果大猪和小猪同时到达食槽,大 猪会因为体型优势占据更多食物。但如果小猪先到食槽 等待,大猪到来时已经没有食物可吃。最佳策略是小猪 等待,大猪先吃,然后小猪再吃剩下的食物。
博弈模型的基本要素
参与者
在博弈中作出决策和行动的个体或组织。
策略
参与者为达到目标而采取的行动或决策。
支付
参与者从博弈中获得的收益或损失。
均衡
在博弈中,当所有参与者都选择最优策略时,达到的一种稳定状态。
博弈模型的建立过程
策略空间
确定每个参与者的所有可能采 取的策略。
均衡分析
通过分析收益函数和策略空间 ,找出博弈的均衡点。
基本数学模型-博弈论概述

Spring Lake, 1946 Press, 1944
1
田忌赛马
局 齐王 田忌 结果 1 A A 齐王胜 2 B B 齐王胜 3 C C 齐王胜
3:0
局 齐王 田忌 结果 1 A C 齐王胜 2 B A 田忌胜
3 C B 田忌胜 1: 2
——《史记•孙子吴起列传》
2
破产清偿
• 甲、乙两人共同犯罪,警方掌握了 一部分犯罪事实,将他们带到警局 分别讯问
• 若两人均承认所有罪行,则各被判处6 个月徒刑
• 若一人认罪,一人不认罪,前者被轻 判1个月徒刑,后者被重判9个月徒刑
• 若两人均不认罪,则以部分罪行各被 判处2个月徒刑
Tucker, A.W., A two-person dilemma, Unpublished Manuscript, 1950. Reprint, On jargon: The prisoner's dilemma. UMAP Journal, 1, 101, 1980.
债务
数额 资产
100
200
300
余额
100
100 3
100 3
100 3
200 50 75 75
300 50 100 150
Aumann, R. J., Maschler, M., Game theoretic analysis of a bankruptcy problem from the Talmud, Journal of Economic Theory, 36, 195-213, 1985
Talmud(塔木德)Robert John Aumann
犹太教口传律法汇
(1930- )
编,仅次于《圣经》 以色列经济学家
博弈模型及竞争策略简介

博弈模型及竞争策略简介博弈模型是用来分析决策者之间相互作用关系的数学工具。
在经济学中,博弈模型被广泛应用于研究市场竞争和企业策略等问题。
本文将介绍博弈模型的基本概念和基本原理,并介绍一些常见的博弈模型和竞争策略。
博弈模型的基本概念和基本原理:博弈模型是一种描述决策者行为和相互作用的数学工具。
博弈模型主要包括决策者、行动、支付函数和解的概念。
决策者是指参与博弈的个体或组织,他们根据自身利益和目标做出决策。
行动是指决策者可以选择的各种行为方式。
支付函数是用来衡量每个决策者在不同行动组合下的效用或收益。
解是指在博弈中各个参与者都做出最佳决策的状态。
博弈模型的基本原理包括理性选择、均衡和解的概念。
理性选择是指决策者根据自己的目标和利益做出决策,不会做出明显损害自己利益的决策。
均衡是指在博弈中各个决策者做出的决策组合是相互一致的,没有一个决策者可以通过改变自己的决策而提高自己的效用。
解是指在博弈中各个参与者都做出最佳决策的状态,也就是说没有一个决策者可以通过改变自己的决策而提高自己的效用。
博弈模型有多种解的概念,例如纳什均衡、帕累托最优、卓亚定理等。
常见的博弈模型和竞争策略:最常见的博弈模型是纳什均衡模型。
纳什均衡是指在博弈中各个决策者做出的决策组合是相互一致的,没有一个决策者可以通过改变自己的决策而提高自己的效用。
在纳什均衡下,每个决策者都采取了最优的个体策略,而无法通过改变策略来获得更高的效用。
博弈模型还包括零和博弈模型和非零和博弈模型。
零和博弈模型是指在博弈中各个决策者的利益是完全相反的,一个决策者的收益就是另一个决策者的损失。
非零和博弈模型是指在博弈中各个决策者的利益不完全相反,存在一定的合作和竞争关系。
在实际应用中,博弈模型常常用于研究市场竞争和企业策略问题。
市场竞争模型是一种描述市场中企业之间相互作用关系的博弈模型,它可以用于研究市场价格形成、市场份额分配等问题。
企业策略模型是一种描述企业之间相互作用关系的博弈模型,它可以用于研究企业的定价、产品开发、市场推广等问题。
十大经典博弈论模型

十大经典博弈论模型博弈论是一门研究决策者之间互动的学科,其应用范围广泛,涉及到经济、政治、生物学等领域。
在博弈论中,经典博弈论模型是基础和核心,以下是介绍十大经典博弈论模型:1. 囚徒困境博弈模型囚徒困境博弈模型是博弈论中最为著名的模型之一,也是最为典型的非合作博弈模型。
该模型主要讲述的是两个囚犯被抓后面临的选择问题,如果两个人都招供,那么都将受到较重的惩罚;如果两个人都不招供,那么都将受到轻微的惩罚;如果一个人招供而另一个人不招供,那么招供的人将受到宽大处理,而另一个人将受到较重的惩罚。
2. 零和博弈模型零和博弈模型是博弈论中最为简单的模型之一,其特点是参与者之间的利益完全相反,即一方获得利益就意味着另一方的利益受到损失。
在这种情况下,参与者之间的互动往往是竞争和对抗的。
3. 博弈树模型博弈树模型是一种用于描述博弈过程的图形模型,它可以清晰地展示出参与者在不同阶段的选择和决策,以及每个选择所带来的收益和风险。
4. 纳什均衡模型纳什均衡模型是博弈论中最为重要的概念之一,它指的是一个博弈中所有参与者都采取了最优策略的状态。
换句话说,如果所有参与者都遵循纳什均衡,那么任何一个人单方面改变策略都将无法获得更多的利益。
5. 最小最大化模型最小最大化模型是一种解决零和博弈问题的方法,其思想是在所有可能的情况中,选择让对手收益最小的情况,从而实现自己的最大化收益。
6. 帕累托最优解模型帕累托最优解模型是一种解决多人博弈问题的方法,其核心思想是通过合作和协商,使得所有参与者都能获得最大的收益,而不是只有某个人获得了最大的收益。
7. 博弈矩阵模型博弈矩阵模型是一种常用的博弈论分析工具,它可以清晰地展示出参与者在不同策略下的收益和风险,从而帮助参与者做出最优决策。
8. 拍卖模型拍卖模型是博弈论中的一个重要应用领域,其目的是通过竞价的方式,让参与者以最低的价格获得所需的商品或服务。
9. 逆向选择模型逆向选择模型是一种解决信息不对称问题的方法,其核心思想是通过知道对方的信息,来预测对方的行为和决策,从而做出最优策略。
博弈论伯川德模型推导

博弈论伯川德模型推导1. 博弈论简介说到博弈论,大家可能会想:“这是什么高大上的东西?”其实,博弈论就是研究决策的科学,简单来说,就是在竞争和合作的场合下,怎么做决策才能赢得最多的利益。
想象一下,几个小伙伴在一起打麻将,每个人都想赢,得时刻考虑其他人可能的动作和反应,这就是博弈论的基本思路。
那今天咱们就聊聊伯川德模型,听起来有点复杂,但其实它就像是个有趣的游戏。
1.1 伯川德模型概述伯川德模型(BurkovDear model)是博弈论中的一个经典模型,主要用于分析参与者在重复博弈中的策略选择。
它的核心思想是,参与者会根据之前的结果来调整自己的策略。
比如说,你和朋友一起打扑克,如果你发现朋友总是先出一张高牌,那你下次就得琢磨琢磨怎么应对,是不是该出个小牌试试?通过不断观察和调整,最终找到对策,嘿,赢的机会就大大增加了。
1.2 模型的基本假设在这个模型里,有几个基本的假设。
首先,参与者都是理性的,意味着他们会根据自己的利益最大化来做出决策。
想想啊,谁会自愿跳进火坑呢?其次,信息是对称的,所有参与者都能获得相同的信息。
这就像是你和朋友们都在同一桌子上,大家都能看到牌,只是看谁出牌更聪明。
最后,参与者之间存在着策略的可重复性,换句话说,他们可以根据之前的结果调整自己的行为。
这就好比,玩游戏的时候,你总会总结经验,下次再也不犯同样的错误。
2. 模型的推导过程接下来,我们就要进入推导过程了。
乍一看,推导可能有点晦涩,但其实只要耐心点,慢慢来,就能明白其中的奥妙。
2.1 基本方程式在这个模型中,参与者的收益可以用一个简单的方程表示。
假设有两个参与者A 和B,他们的收益分别是R_A和R_B。
根据博弈的不同阶段,他们的收益可以通过计算对手的策略来得出。
比如说,如果A选择合作而B选择背叛,那么A的收益会减少,B 的收益则会增加。
就像是一个你死我活的游戏,谁都想在最后成为赢家。
2.2 策略选择当我们分析参与者的策略选择时,通常会用“纳什均衡”这个概念。
9博弈论方法及其模型

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3
经济数学模型与计算机仿真
囚徒的困境(Prisoners’ Dilemma) 博弈论中最著名的模型,1950年图克(Tuker)提出 囚徒A的战略: 坦白或抵赖 囚徒B的战略: 坦白或抵赖
囚徒B 坦白 囚徒A 坦白 抵赖
(8,8) (10,0)
(0,10) (1,1)
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经济数学模型与计算机仿真
完美信息动态博弈和不完美信息动态博弈 “完全信息”指的是每一个参与人都对其他所有参与人 的特征、战略空间及支付组合(主要是支付组合)有准 确的知识;否则,称为“不完全信息”. “完美信息”指动态博弈中轮到行动的参与人对之前的 博弈进程完全了解的知识.
画线法:针对对手的每一
战略,找到自己的最优战略, 并在其支付值下面画线,最 后,双方同时画线的战略组 合就是纳什均衡
U 参与人A C D
L
参与人B M
R
(2,12)
(0,12) (0,12)
(1,10)
(0,10) (0,10)
(1,12)
(0,11) (0,13)
江西财经大学 信息学院 2007-2008小猪源自稳定的结果: 大猪按,小猪不按
大猪 按 不按
按
不按
(5,1) (9,1)
(4,4) (0,0)
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5
经济数学模型与计算机仿真
静态博弈、动态博弈和重复博弈 博弈的次序也是博弈很重要的因素,有些博弈中的所有参 与人是同时选择战略的,但更多博弈中的参与人是先后选择战 略的,也有的博弈是反复或重复进行的. 静态博弈是指在博弈中所有的参与人同时选择战略,或者 虽然不是同时选择战略,但是后选择的参与人不知道先选择的 参与人的战略的博弈. 动态博弈是指在博弈中各参与人是按某种规则分先后行 动,并且后行动者知道先行动者的战略的博弈.
博弈模型-数模

* * * s s ( s , s 优战略是 =坦白。因此,囚徒困境问题的解是 1 2 ) =(坦白,坦白)。
* 2
注释:这正是囚徒困境的“困境”两个字的体现,如果用经济学中的“有效” 的术语的意思来讲,(沉默,沉默)是一个有效结局。有效结局并不是囚 徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。
* * * * s ( s , , s , , s 的解,则战略组合 1 i n ) 称为博弈 G 的一个解或纳什均
衡。
注释:研究博弈问题就是建立博弈模型,求解博弈的纳什均衡,下面我们用实例来说明我们的理论及应用
信息
信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括 “自然”的选择,其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要 的,因为一个参与者在每一次进行决策之前,必须根据观察到的其他参与 者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。 由于信息内涵的不同,派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的 类型,因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、 重要的概念进行讨论。 首先,关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同 选择、参与者的行动以及相应产生的效用(效果、收益)都是一种知识( 信息)。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道,所有参与者知 道所有参与者知道,所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道 ……”的知识。
(1)参与者
参与者指的是一个博弈中的决策主体,通常又称为参与人或局中 人。 参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动,以期取得最大化自己的收 益(或效用)水平。参与者可以是自然人,也可以是企业、团体、国家,甚至 是国家组成的集团(如欧盟、OPEC等)。对参与者而言,在博弈过程中,他 必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中,他能知道或计算出各参与 者不同的行动组合产生的效益(或效用)。 博弈参与者集合一般表示为 {1, 2,, n}
博弈论斯塔克伯格模型

博弈论斯塔克伯格模型博弈论,作为现代数学的一个分支,具有深厚的理论内涵和实践价值。
其中,斯塔克伯格模型作为一种典型的非合作博弈模型,在经济学、管理学等领域得到了广泛应用。
今天,我们就来聊一聊这个模型背后的故事。
在一个遥远的小镇上,住着两位智慧而精明的商人,他们分别是赵老板和王老板。
这一天,两人相约来到一家茶馆,商议如何经营各自的店铺。
赵老板先开口:“王老板,我觉得咱们得换个思路,现在市场竞争这么激烈,咱们得联手才能在这场博弈中脱颖而出。
”王老板笑着回应:“赵老板,你说得对,可联手也不是那么容易的事。
咱们各自有各自的优势和劣势,要想真正合作,还得好好研究研究。
”于是,两人决定借助斯塔克伯格模型来分析他们的竞争策略。
首先,赵老板提出了一个备选方案:“我打算降低店铺租金,吸引更多顾客。
”王老板听后,沉思片刻,缓缓说道:“如果我只提高商品价格,会吸引那些对价格不敏感的顾客。
”赵老板微微一笑:“那如果我先降低租金,再提高价格,是不是能吸引更多顾客呢?”王老板沉默片刻,突然瞪大了眼睛:“赵老板,你这是要玩‘先发制人’的套路啊!”赵老板点点头:“是的,我先发制人,让你措手不及。
这样一来,咱们就能在这场博弈中占据主动。
”王老板听后,眉头紧锁,仿佛陷入了沉思。
他缓缓开口:“赵老板,那我该怎么办?”赵老板笑着说道:“王老板,其实你完全可以模仿我的策略,先提高商品价格,再降低租金。
这样一来,咱们就能在竞争中保持平衡。
”两人你一言我一语,不知不觉地聊了几个小时。
在他们看来,这场博弈就像一场智慧的较量,充满了乐趣。
最终,赵老板和王老板达成共识,决定携手合作,共同面对市场竞争。
而他们所应用的斯塔克伯格模型,也成了他们成功合作的重要基石。
在这场博弈中,赵老板和王老板充分展示了博弈论的魅力。
他们巧妙地运用模型,分析各自的优势和劣势,最终实现了共赢。
这也让我们看到了,在现实生活中,博弈论不仅是一门学科,更是一种智慧,一种生活方式。
博弈论的数学模型

博弈论的数学模型作者:竺可桢学院01混合班王大方何霈邹铭摘要博弈论现在得到了广泛的应用,涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。
本文首先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为,并导出一般情况下的博弈的结果,进而讨论一些不同的外部约束条件对博弈过程的影响。
我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例,讨论生产者在不同状态下的决策,进而分析双方共谋的动机和可能性。
(一)基本博弈模型的建立一, 博弈行为的表述博弈的标准式包括:1.1.博弈的参与者。
2.2.每一个参与者可供选择的战略集。
3.3.针对所有参与者可能选择的战略组合,每一个参与者获得的利益在n人博弈中,用Si为参与者i的可以选择战略空间,其中任意一个特定的纯战略为s i,其中任意特定的纯战略为s i,s i∈Si,n元函数u i(s1,s2,……s n), 当n个博弈者的决策为s1,s2,……s n时,表示第I各参与者的收益函数。
二, 博弈的解当博弈进入一个稳定状态时,参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的最优反应,在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。
这个局势叫纳什均衡:在n个参与者标准式博弈,G={ S1,S2,……S n;u1,u2,……u n}中,若战略组合{s1*,s2*,……s n*}满足对每一个参与者i,s i*是针对{ s1*,s2*,……s i-1*,s i+1*……s n*}的最优反应战略,,目标战略组合{s1*,s2*,……s n*}为该博弈的纳什均衡。
即:u i { s1*,s2*,……s i-1*,s i*,s i+1*……s n*}≥u i { s1*,s2*,……s i-1*,s i,s i+1*……s n*},对一切s i∈Si均成立。
纳什于1950年证明在任何有限个参与者,且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中,均存在纳什均衡。
(包括混合战略)混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略,在本文中不加讨论。
博弈论与数学模型

博弈论与数学模型
主要内容
• 上篇:数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
一头鹿需要所有人协力才能捕获,一只兔只要 单人努力即可捕获,所有人协力获得的猎物收 益由所有人平分。
所有人捕鹿或所有人捕兔是两个Nash均衡。
Nash 均衡的性质
Nash 均衡是理性参与者在动态决策过程 中可以预见的终极局势。
Nash 均衡具有稳定性,一经形成后不用 外力即可维持。
阵A来表示,乙的收益矩阵为-A。
极大极小原则
鞍点
矩阵博弈
纯策略和混合策略
若参与者每次行动都选择某个确定的策 略,我们称之为纯策略(pure strategy)。
若参与者行动时可以以一定的概率分布 选择若干个不同的策略,这样的策略称 为混合策略(mixed strategy)。
• 在混合策略意义下,参与者的收益实质 上表现为期望。
对给出男(女)方最优稳定婚姻的算法,男 (女)方不可能通过提供虚假偏好顺序获得更 好的一组稳定婚姻。
谢谢
矩阵博弈的解即为Nash 均衡,因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
囚徒困境(Prisoner’s Dilemma)
双人博弈
Stag or Hare
n个猎人相约去打猎,猎场中有鹿和兔两种动 物,鹿的价值远大于兔的价值。每个猎人在打 猎时只能专注于一种猎物,猎到某猎物后他即 中止打猎。
浅析古诺模型的纳什均衡及应用

浅析古诺模型的纳什均衡及应用【摘要】古诺模型是博弈论中的经典模型之一,通过对参与者理性选择的分析,揭示了博弈中的均衡点。
纳什均衡概念是指在一种策略设定下,每个参与者的选择是最佳响应其他参与者的选择的结果。
在古诺模型中,参与者通过思考对手的策略,追求自身的最大利益。
纳什均衡在古诺模型中有着重要的地位,可以帮助我们理解博弈过程中的均衡点。
古诺模型的应用案例丰富多样,从商业竞争到国际贸易都能看到其身影。
纳什均衡在古诺模型中的实际意义体现在参与者之间寻求最优策略的过程中。
古诺模型中的纳什均衡对经济学具有重要的启示,可以帮助我们理解博弈过程中的决策逻辑与结果。
【关键词】关键词:古诺模型、纳什均衡、基本假设、定义、应用案例、实际意义、重要性、发展前景、经济学的启示。
1. 引言1.1 古诺模型简介古诺模型(Cournot model)是经济学领域一个重要的理论模型,用于研究市场竞争与定价的问题。
该模型得名于法国经济学家安托万·奥古斯特·古诺(Antoine Augustin Cournot),他在1838年发表了《研究政治经济学中的数学原理》一书中首次提出了这个模型。
古诺模型是对某一种产品由两家或多家生产商垄断市场的情形进行分析的一种数学模型。
在古诺模型中,生产商间相互独立地决定产量,而不是像传统垄断理论中一样采取定价策略。
古诺模型主要假设市场上只有两家生产商进行生产,它们在不知道对方决策的情况下,独立地决定自己的产量。
产量确定后,市场价格由供求关系决定。
这一模型的最大特点是考虑了生产商之间的相互影响,即每家生产商的产量决策会影响市场价格,从而影响对手的利润。
古诺模型通过博弈论的思想,揭示了生产商间的策略性互动,为理解市场竞争的行为和结果提供了重要的分析工具。
1.2 纳什均衡概念纳什均衡是博弈论中的一个重要概念,由约翰·纳什提出。
在一个博弈中,如果每个参与者都选择了最优的策略,给定其他参与者的策略时,任何参与者都没有动机单方面改变自己的策略,这种策略组合就构成了纳什均衡。
博弈qre模型python

博弈qre模型python一、什么是博弈qre模型博弈qre模型是一种用于分析博弈论中的均衡概念的数学模型。
QRE(Quantal Response Equilibrium)是指在博弈中,玩家的选择不是完全理性和最优的,而是基于概率的响应。
博弈qre模型通过考虑玩家的有限理性,能更好地解释现实世界中的博弈行为。
二、博弈qre模型的基本原理博弈qre模型的基本原理是基于心理学中的概率匹配理论。
该理论认为,人们在进行决策时不仅考虑到最大化自身利益,还会考虑其他玩家的行为,并根据其他玩家的行为概率性地做出响应。
换句话说,玩家的选择是基于概率的,而不是完全确定的。
博弈qre模型中,每个玩家的策略选择是基于概率的,具体的概率选择取决于策略的收益和其他玩家的选择。
玩家会根据收益函数来评估不同策略的效果,并基于概率匹配的原则选择最优策略。
三、博弈qre模型的应用博弈qre模型在经济学、社会科学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是博弈qre模型在不同领域的具体应用:1. 经济学在经济学领域,博弈qre模型被广泛用于分析市场竞争、拍卖和价格竞争等问题。
通过考虑有限理性,博弈qre模型能更好地解释市场中的价格波动和竞争策略。
2. 社会科学在社会科学领域,博弈qre模型被用于研究社会合作、社会规范和冲突解决等问题。
通过考虑有限理性,博弈qre模型能更好地解释人们在社会互动中的行为模式。
3. 生物学在生物学领域,博弈qre模型被用于研究动物行为和进化理论等问题。
通过考虑有限理性,博弈qre模型能更好地解释动物在资源竞争和合作行为中的策略选择。
四、如何使用Python实现博弈qre模型在Python中,可以使用博弈论库如game-theory或nashpy来实现博弈qre模型。
以下是使用game-theory库实现博弈qre模型的基本步骤:1.导入game-theory库:import game_theory as gt2.定义博弈矩阵:payoffs = [[1, 2], [3, 4]]3.创建博弈对象:game = gt.Game(payoffs)4.计算qre均衡:qre = game.qre()5.输出结果:print(qre)通过上述步骤,我们可以得到博弈qre模型的均衡结果。
合作与冲突数学模型

合作与冲突数学模型
合作和冲突是人类社会交往中常见的行为模式。
数学模型可以用来描述和分析这些行为。
以下是一些主要的合作和冲突数学模型。
1. 合作博弈模型:合作博弈模型研究合作参与者如何在共同利益下分配资源。
最著名的合作博弈模型是合作博弈的核(core)概念,即一组策略组合,对于任何联盟中的参与者,他们无法通过自己单独行动来获得更好的回报。
合作博弈模型还包括合作稳定性概念,即在一个联盟中,没有参与者有动机离开联盟加入其他联盟。
2. 零和博弈模型:零和博弈模型描述的是一种互相对立的情况,其中一个参与者的利益的增加必然导致另一个参与者的利益减少。
在零和博弈模型中,冲突是不可避免的,参与者的目标是最大化自身利益。
著名的零和博弈模型包括囚徒困境、斯塔格亚博弈等。
3. 博弈论模型:博弈论是研究决策者如何在相互依赖的环境中做出决策的数学模型。
博弈论模型可以用来描述合作和冲突的情况。
博弈论模型包括非合作博弈模型和合作博弈模型。
非合作博弈模型研究个体决策者如何在没有互相协商的情况下做出理性决策。
合作博弈模型研究个体如何通过协商和合作来达到共同目标。
这些数学模型可以用来研究合作和冲突的策略,分析参与者的
收益和决策,从而更好地理解和解决实际生活中的合作和冲突问题。
数学建模博弈论

数学建模博弈论在前一讲中,我们讨论了决策论,其中决策者面对的结果和支付只依赖于他本人的决策,而不依赖一个或者多个其他参与者的决策。
决策论最后决定的结果可能存在机会和风险,但不会与另一个参与者的决策有关系。
比如假定两个国家在军备竞赛而希望裁军,如果一方裁军,这个国家的结果不仅依赖于该国的决策,也依赖于第二个国家的决策。
如果只依赖于一个参与者,我们把这类决策模型称为决策论;如果结果依赖于多于一个参与者的决策,我们把这类决策模型称为博弈论;10.1:博弈论:完全冲突:按照参与者之间的冲突是完全冲突还是部分冲突对博弈论进行分类。
进一步把完全冲突的博弈按照最优策略是纯策略还是混合策略进行分类。
举例1:一个有纯策略的完全冲突博弈:例如有两家连锁店,都同时想在两个城市开连锁店,假设为A,B两地,如图所示是两个连锁店所占的市场份额:从上图可以发现两家连锁店其中一家每得到一点份额都是需要另一家失去一点份额,而市场总额是1,并且两家连锁店的决策结果不仅取决于自身还取决与对手的策略。
这个博弈是完全冲突的。
定义:纯策略是参与者可采取的行动的集合,每个参与者选定的策略共同决定博弈的结果以及每个参与者的花费。
通过图中数据我们也可以发现,无论甲连锁店开在何处,乙连锁店只需要开在A地就可以始终占优。
占优策略:定义:策略A占优与策略B,是指策略A的每一个结果至少和B的对应结果一样好,并且至少A的某一个结果严格优于B的对应结果。
占优原理:在严格冲突博弈中,一个理性的参与者应该永远不要采用被占优的策略。
同时也可以发现结果(A,A)即两个连锁店都开在A地时,此时没有任何一个参与者可以单方面改变策略而使得自己获得改善,这种情况我们称为纳什均衡:表示这样一个结果,任何一个参与者都不能通过单方面更改策略而获得好处。
同时由于这些每个结果和是1,完全冲突博弈也称作常数和博弈:如果对每一个可能的结果,每个参与者的支付之和是同一个常数,这个博弈称为完全冲突博弈。
博弈论的几个经典模型课件

02
在这个模型中,如果双方都抵赖,则各自获得2年的监禁;如果双方都坦白,则 各自获得3年的监禁;如果一方坦白而另一方抵赖,则坦白的一方获得1年的监 禁,抵赖的一方获得10年的监禁。
03
囚徒困境反映了人类在有限理性和不完全信息下的决策问题。
囚徒困境的策略和最优解
01
02
03
在囚徒困境中,每个参 与者都有两种策略:坦
博弈论的发展趋势和应用前景
发展趋势
随着计算机科学的发展,博弈论在人工智能、机器学 习等领域的应用逐渐增多。同时,博弈论也在生物学 、环境科学、社会学等多个学科中得到广泛应用和发 展。未来,博弈论将继续探索更为复杂和现实的模型 ,以解释和预测更为复杂的行为和现象。
应用前景
博弈论在经济学、政治学、军事等领域有着广泛的应 用前景。例如,博弈论可以帮助理解国际贸易中的策 略行为、国际政治中的权力均衡以及军事战略中的最 优攻击策略等。此外,博弈论也在社交网络分析、市 场机制设计等领域展现出强大的应用潜力。
政治学中的应用
投票悖论
投票悖论是指在某些情况下,多数投票的结 果可能导致无法达成一致意见或产生不合理 的结果。在政治学中,投票悖论被用于探讨 民主制度的缺陷和改进方法。
权力均衡
权力均衡是一种政治博弈模型,它描述了政 治权力在多个参与者之间的分配和转移。在 政治学中,权力均衡被用于分析权力斗争、
政治制度稳定性和政策制定等问题。
纳什均衡模型被广泛应用于市场均衡、产业组织、公共经济学
等领域。
生物学
02
纳什均衡模型也被用于解释生物种群竞争、生态系统平衡等问
题。
社会学
03
纳什均衡模型可以用来分析社会现象,如犯罪、婚姻、教育等
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博弈论的数学模型作者:竺可桢学院01混合班王大方何霈邹铭摘要博弈论现在得到了广泛的应用,涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。
本文首先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为,并导出一般情况下的博弈的结果,进而讨论一些不同的外部约束条件对博弈过程的影响。
我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例,讨论生产者在不同状态下的决策,进而分析双方共谋的动机和可能性。
(一)基本博弈模型的建立一, 博弈行为的表述博弈的标准式包括:1.1.博弈的参与者。
2.2.每一个参与者可供选择的战略集。
3.3.针对所有参与者可能选择的战略组合,每一个参与者获得的利益在n人博弈中,用Si为参与者i的可以选择战略空间,其中任意一个特定的纯战略为s i,其中任意特定的纯战略为s i,s i∈Si,n元函数u i(s1,s2,……s n), 当n个博弈者的决策为s1,s2,……s n时,表示第I各参与者的收益函数。
二, 博弈的解当博弈进入一个稳定状态时,参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的最优反应,在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。
这个局势叫纳什均衡:在n个参与者标准式博弈,G={ S1,S2,……S n;u1,u2,……u n}中,若战略组合{s1*,s2*,……s n*}满足对每一个参与者i,s i*是针对{ s1*,s2*,……s i-1*,s i+1*……s n*}的最优反应战略,,目标战略组合{s1*,s2*,……s n*}为该博弈的纳什均衡。
即:u i { s1*,s2*,……s i-1*,s i*,s i+1*……s n*}≥u i { s1*,s2*,……s i-1*,s i,s i+1*……s n*},对一切s i∈Si均成立。
纳什于1950年证明在任何有限个参与者,且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中,均存在纳什均衡。
(包括混合战略)混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略,在本文中不加讨论。
在一般情况中,纳什证明保证了我们的均衡分析有意义。
三, 博弈实例:单阶段博弈古诺竞争在古诺竞争中,少数厂商通过改变产量来控制价格,以使他们的收益最大化。
我们作如下假设:1.1.厂商生产的商品是相同的,消费者没有对某家厂商的偏好。
2.2.市场上价格与供给量的函数为p=a-bQ,且供给增加不会导致过剩,而仅仅使价格降低,即厂商可以将生产的产品全部售出。
3.3.厂商都是理性的,即面对既定的情况都做出决策使自己利益最大化。
4.4.信息是完全的,每个厂商都知道其他厂商时理性的,且每个厂商知道别人是理性的这一事实为所有参与者的共识。
(二)博弈模型的求解与讨论为了简单起见,我们从一家企业的情况做起:只有一家企业时,目标收益函数u=Q(a-bQ)针对max u 的解为Q0=a/2b,u0=a2/4b当有两家企业时,设产量分别为Q1,Q2,则p=a-b(Q1+Q2)u1(Q1,Q2)=p*Q1=Q[a-b(Q1+Q2)]u 2(Q 1,Q 2)=p*Q 2=Q[a-b (Q 1+Q 2)]纳什均衡点Q 1*,Q 2*为方程组/ =0 (1)/=0 (2) 的解。
整理,得到2bQ 1+bQ 2=a (3)bQ 1+2bQ 2=a (4)解得 Q 1*=Q 2*=a/3b ,对应的u 1=u 2=a 2/9b纳什均衡点是一个极值点,一旦达到该点时双方都没有率先改变的动机。
下面我们讨论纳什均衡点的孤立性,即在对方初始决策不在纳什均衡时,双方能否通过理性的利益最大化策略使博弈形势变化至纳什均衡点。
(1)式表示厂商1的最优函数,在给定对方产量Q 时它根据(1)来使自己收益最大, 由(3)式, 厂商最优函数为Q 1=(a-bQ 2)/2b 同样(2)时表示厂商(2)的最优函数,由(4)式,厂商2的最优函数为Q 2=(a-bQ 1)/2b这是两条直线,如图,交点E 为纳什均衡点。
AB 为厂商1的最优函数,CD 为厂商2的最优函数,当双方的初始选择点为A ,即Q 1=0,Q 2=a/b ,A 在厂商1最优函数上,故厂商1不会改变,但厂商2针对Q 1=0的最有点为C ,于是双方的决策点转移到C ,在C 点厂商1会调整自己的产量时双方决策点到F ,然厂商2又会调整策略到CD 上,以此类推,最后将到达E 点,在第一象限的任何初始选择点,按以上分析双方都能经过一系列调整到达E 点。
在完全信息的假设下,上面这一系列的调整过程在任何一方决策之前就能被预测到,任何一个厂商都回绝的任何一个异于E 点的决策都不是在给定条件下最好的选择,于是双方会不约而同的按E 点做出产量决策。
但是当Q 1=Q 2=1/2 * a/2b (5) 时双方才能获得最大收益。
Q 1=Q 2=1/2 * a 2/4b (6)这一方面说明纳什均衡点并不是一个最好的决策点,另一方面也说明与独家垄断比起来两家厂商的竞争提高了社会效应,社会总产量从a/2b 增加到了2/3 * a/b=2a/3b 。
当厂商数增加至n 家时,模型变为p=a-b*∑n i=1Q i (7)u i =p*Q i ,i=1,2,……n (8) 1u ∂1Q ∂2u ∂2Q∂/ =0 I=1,2……n (9) 由归纳法可证明(9)可化为方程组(以矩阵形式表示) = a/b * (1)由线性代数分析可知,该方程组有唯一非零解Q 1*=Q 2*=…Q n *=a/(n+1)b,u i *=a 2/(n+1)2b社会总产量为na/(n+1)b 。
这说明h 厂商垄断竞争也必有纳什均衡点,同样方法可证明纳什均衡点不是孤立的,于是理智的各方均会按均衡点做产量决策。
另外n 越大,竞争越彻底,社会总产量越高。
当n 很大时,总产量趋于a/b ,此时价格p 为0,这时价格p 为0,此时这个模型不适用。
因为在n 较小,(一般小于5)时垄断厂商才有能力通过自己的产量来控制价格。
厂商们的整体最好选择是Q 1*=Q 2*=……Q n *==a/2nb, 分别能获得收益,a 2/4nb 。
显然n 越大,厂商们理性博弈的结果和他们的最好选择点间的差距越大。
(三)多阶段博弈与共谋以上可以看出,作为博弈者的厂商很有必要共谋限制产量,但最好的选择点是不稳定的,率先违约的一方都能获取额外利润,因此需要一些条件来约束双方的行为。
另外共谋只有在长期过程中才有效益,双方需要不断检查是否已经违约,并决定自己是否要违约,每次这样的过程就是上文的单阶段博弈。
这里的信息条件为每企业在n 阶段可以观察的前n-1阶段博弈结果。
规则为一旦对方违约,自己就违约,且永不守约,这为双方所共识。
我们新引入一个时间贴现因子v ,0<v<1,用来计算以后阶段收益的现值,如已知下一阶段收益为R ,则折合到当阶段相当于收益为vR 。
一开始双方约定共同生产a/4b ,每阶段收益为a 2/8b ,一直守约,双方的收益为a 2(1+v+v 2+……)/8b=a 2/[8(1-v )b] (10)对先违约的一方,根据对方a 2/4b 的产量,由(3)和(4),它的最优产量为3a/8b ,该阶段收益为[a-b (3/8+1/4)a/b]*3/8*a/b=9a 2/64b (11)此后双方都明白共谋破裂,均按a/3b 的均衡产量生产。
设一方在N 阶段违约,则收益为a 2(1+v+v 2+……v N-1)/8b+9v N /64*a 2/b+v N+1*a 2/[(1-v )ab] (12)(12)-(10),得 [v N /64-v N+1/72(1-v )]*a 2/b解得 当v<0.529时,先违约方有利,且违约越早, 额外利润最高。
此时共谋很难达成。
(四)共谋与监督问题的深入长期博弈中,人们需要一套更为复杂的机制来维持一种非纳什均衡,以维持利益的最大化。
和之前的那个模型不同,在每一次作单阶段博弈时,人们不仅仅通过前一次的结果,而是通过一种长期的经验来对对手做出判断。
这里涉及一个信誉问题,他是一个标证不确定因素的概率,这样的模型使得我们可以根据对手不同的策略作出最有利于自己的决断。
合作的结果一般出现在离博弈结束较远的阶段,而在最后几个阶段的博弈中博弈者往往只注重当前的利益。
我们提出的维护声誉的策略是“投桃报李”,即下一次作的决策与对手上一次的决策相同,i u ∂i Q∂21 (111)2....11112....1:::::11....12⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12::n Q Q Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11::1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将上文中的垄断竞争模型修改如下:1.1.理性博弈者B知道博弈者A有P的概率选择投桃报李的策略,有(1-P)的概率选择其他策略(此时A即成为一个理性的人)。
A也知道B时理性的。
2.2.在每个阶段N, 双方都同时作决策,都知道前N-1次彼此的决策结果。
一旦A未使用“投桃报李”的原则而理性地做出利益最大化决策,则B就把A当作理性的,这一点也成为AB双方的共识。
此后的博弈退化到上文讨论的一般完全信息理性博弈,得到的解为纳什均衡点。
单阶段博弈对于单阶段博弈,由上文中(5)式的讨论,合作意味着厂商生产a/4b的产量,否则厂商将按利润最大化原则生产。
首先违约的厂商将生产3a/8b,获利9a2/64b,而后所有厂商均会按a/3b生产,获利a2/9b。
(为了描述方便,这里将常系数a2/b略去,下同)双方面对的策略-收益矩阵为A \B 合作不合作合作(1/8,1/8)(5/48,5/36)不合作(5/36,5/48)(1/9,1/9)两阶段博弈在两阶段博弈中,理性的B在第二阶段将选择不合作。
在第一阶段开始时他要推测A 的情况,A有P的概率为投桃报李类型的,于是,若B在第一阶段选择合作,则B对第一阶段预期收益为P*1/8+(1-P)*5/48 (12)B对第二阶段的预期收益为P*5/36+(1-P)*1/9 (13)(因为若A不是投桃报李型的,在第一阶段结束时B就会知道这一事实,双方在第二回合便选择纳什均衡点。
)若B在第一阶段选择不合作,则B生产a/3b,(这里不合作并非生产3a/8b,因为此时B不知道A是否为理性的博弈者,经验算我们发现a/3b的产量决策比3a/8b的决策有更高的期望受益)。
于是B对第一阶段的期望收益为5P/36+(1-P)/9 ; (14)B对第二阶段的期望收益为1/9 ;(15)(此事无论A是否理性,双方都不会合作)。
当P≥52%时,讨论式(12)+(13)―[(14)+(15)] ≥0所以在两阶段博弈中,只要估计A会有52%的可能投桃报李,B就会选择合作。
考虑模型中信息假设,A也完全明白B以上的想法,于是A也至少有装扮“投桃报李”的动机。