2011年清华大学金秋营数学试题及答案

y
k
n
=
k 0
a n, k x
n k
y (x+y)
k
an
1, k
an ,k
1
pan,k ,且 a k ,0 =a k,k =1
.
a n,k (2)
是以 p 为变元的整系数多项式
an
1 ,k
an,k
0
1
pan, k
1, k 2
=C 1 (a n =C 2 a n = =C
0 k 0
+pa n
1
1 1,k 1 )+C 1 (a n 1, k 1 +pa n 1, k
2
k 1
1
+
k 1
+(a -1)p +
+(p-1)p
+(p-1)p
1
2n=2a k p +2a k
1 p
+2(a -1)p
+2(p-1)p
+2(p-1)p
+
+2(p-1)
( 2n)! 显然 n! ( n 1)!
S p (n)=a k +a k
1
C 2n n , C 2n n 1
+ +(a -1)+
n
n
C mn n ， n 1
p
Ord
（ （ mn+n)!)-Ord
p
（ n!)-Ord
p
（ (mn)!)
=
Sp (mn)
Sp (n) p 1
Sp ( mn n)
=
t N 。
yx=pxy, 而乘法结合律与分配率保持
2
p | C mn
n
n
,即
( n ( m 1))! ( mn)! ( n 1)!
3.原有的乘法交换律为 不变。例如： （ x+y)
N
(p-1)
S p (2n)=2(a k +a k
1
+
+(a -1))-
(p-1)-t(p-1)
(t
0)
Ord
p
（C
n 2n
)=Ord
p
（ 2n!)-2Ord
p
（ n!)
=
2Sp ( n)
Sp ( 2n)
p 1
( 2 n )! n! ( n 1)! N .
=
( p 1) t ( p 1) p 1
=
t
bk
1
+
b0, +b k
b0
1
1,
)+ (a +b -1)-
S p (mn+n)=(a
k
+b k )+(a k
1 +b k 1
1
( p 1)
t ( p 1)
( 其中 a k +b k ,a k
,+
n
a +b ,共有 t 次进位）
( n( m 1))! 显然 ( mn)! (n 1)! Ord p ( Cmn n )
p
（ 1) 求证： Ord
(n!)=
n
SP ( n ) P 1
（ 2) 利用（ 1）的结论证明：
( 2 n )! n! ( n 1)!
为整数 .
（ 3) 利用（ 1）的结论证明：
( n( m 1))! (mn)! ( n 1)!
1p k 1
为整数 .
证明：（ 1 ）设 n=a k p + ak
k
+
+a 0 ,a i
+C n
n k 1
p
n k
2 i
n 1
)=x
x
2( n 2 )
x
2
1,
)(1
2 n
)
)
n
n 2
n 1 m
n
sin
sin
( n 1) n
2.定义符号 Ord 且 p
m 1
p (n)( 其中 n 为整数， p 为素数）满足：若
Ord .
p (n)=
m
，则表示 p |n, 并
? n ,定义 S p (n) 表示 n 在 p 进制表示下各位数字之和
1 k
+C )p a n +
2 k
2
k ,2 +
+C k p an
k
k 1
an
k ,k
1 k 1
pa n
k ,1 +C
2 k 1
p an
k,2
+C k
k 1 k 1 1p
k, k
1 +C k 1
p+C
2 k 2
2
p +
+C
n k 1 n
p
n k 1
a n,k =1+C p+C
1 k
2 k 1
2
p +
sin
( n 1) n
4
(
2
1)( 2
4
1)
n 1 n 1
n( n 1)
i
=
( 1)
(
2
1)( 1) ( n 1 n 1 2 2 (i )
4
2( n 1 )
1)
2
=
)(1
)
n 1
(1
2 ( n 1)
)
2
2 ( n 1)
,
而
(x2 (1
sin
2
2
)( x2
4
) (1
( x2
2 ( n 1)
2( n 1)
n 2
xy=yx, 现定义新的乘法交换律为
2
=x +xy+yx+y
n k k
2
2
=x +(p+1)xy+y
(1) 设（ x+y)
n
=
k 0
an, k x
y ，求证：
a n,k
是以 p 为变元的整系数多项式；
(2) 求 a n,k .
n 1
解： (1) 易知（ x+y)
n 1
=
k 0
an
1, k x
n 1 k
ak 1 p
k 1
a1 p a0 ) ( a k p 1
1
=n
SP ( n) P 1
(2) 设 p ||(n+1) (P 为 n+1 的任一素 即 n+1=a k p + 则 n=a k p +a k
k k k
因子 ) ai p-1,且 1
1
ak p
1 p
k 1
+
a p (0
a
2
p-1) + +(p-1)
2011 年清华金秋营数学试题及解答
1.求 sin 解：设
n
sin
2 n n
k
sin
( n 1) n n
的值。
cos
k
i sin
2k
（ i 为虚数单位） ,则 1,
,
2
,
=
2( n 1)
为 x
2n
1 1)
0 的根。 (
1 2 2 ( n 1)
sin
k n
n 1
1
k
2i
2i
4
， sin
n
sin
2 n (1
p | C 2n ,
n
即
(3) .由题知：若 设 n+1= a k p +
k
p 为 n+1 的素因子，且 ak
1p 1 p k 1
p || ( n 1) , 则（ p,m)=(1,(p,n))=1,
1)
+
a p (a b 0 (b 0 (a -1)p )p
k 1
mn=b k p +
k
k
bk
k 1
+
1)
)p
1,k 2
+C 2 pa n
2 1 ,k 1 +C 2
an
1, k
p
2
1 a n k 1,1 +C k
pa n
k
1, 2 +C
2 k
Baidu Nhomakorabea
2
p an
k
1 ,3 +
+C k
k 1
p
k 1
an
k 1 ,k
=C +(C =C +C = =C
0 k 0 k
0 k
0 k
1 +C k
)pa n
k ,1 +(C
2
+(p-1)p +
1
则， n=a k p + a k
k
1 p
k 1
+
+
+(p-1) +(b
1 +p-1)p 1
mn+n=(a k +b k )p +(a k S p (n)=a k + a k
1+
1
+b k
1
(a +b -1)p
+
(b 0 +p-1)
(a -1)+
(p-1)
S p (mn)=b
k
+
{0,
,p-1}
则 Ord
p （ n!)= i 1
n
i
p
k 1
=a k p
+ ak + ak
1p
k 2
+ +
+a 2 p+a 1 +a 2
+a k p +
k 2
1p
k 3
+a k
= ak
p
k
1
p 1
k
+ ak
p
1
k 1
1
p 1
+
+ a2
p
2
1
p 1 ak
+ a1
p
1
1
p 1 a1 a0 )
=
( ak p