求解共点力平衡问题的常见方法

求解共点力

平衡问题的常见方法

共点力平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。对于刚入学的高一新生来说，这个部分是一大难点。

一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;

例1. 如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角为：（）

图1

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

解析：对O点进行受力分析，O点受到OA 绳和OB绳的拉力F A和F B及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，F A和F B的合力F合与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出F A和F B的合力F 合，如图2所示，由图可知，故答案是A。

二、力的分解法在实际问题中，一般根

据力产生的实际作用效果分解。

[例2]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件

[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F＝G，这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图2所示。

[解]由图2可知：

因为AB、AC能承受的最大作用力之比为

当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为

G m≤F2sin30°＝500N，

[说明]也可取A 点为研究对象，由A 点受力，用共点平衡条件求解。A 点受三个力：悬挂物的拉力F=G ，杆的推力F B ，绳的拉力F C ，如图4所示。根据共点力平衡条件，由

F C sin α=

G ，F C cos α=F B ，

即得

共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。

三、正交分解法 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法

物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解: 0x F =合,0y F =合.

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则.

[例3]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。

[分析]本题主要考察受力分析及物体平衡条件。选择A为研究对象，分析物体A受力，应用正交分解法。据平衡条件求解。

[解]取A为研究对象，画出A受力如图2，建立如图所示坐标系。据物体平衡条件

∑F x=mgsinθ-f1-f2=0 （1）

∑F y＝N1-N B-mgcosθ=0 （2）

其中f1=μN1（3）

f2=μNB （4）

由B受力知N B＝mgcosθ（5）

联立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得

[说明]

（1）本题在进行受力分析时，要注意A与斜面C的接触力N1和f1，A与物体B的接触力N2和f2，一定注意，N1和N2的取值。

（2）本题可以变化为若A沿斜面加速下滑，或沿斜面减速下滑。μ应满足关系

则加速时mgsinθ＞μN1+μN B

（3）摩擦力公式f＝μN，有时因物体只受水平作用力，f=μN=μmg，但当物体受力变化以后，N就不一定等于mg了，如图3的两个情形。

所以切记：公式一定要写成μN。对N求解不要想当然，应据题设进行实际分析而得。

[例4]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求

（1）物体A所受到的重力；

（2）物体B与地面间的摩擦力；

（3）细绳CO受到的拉力。

[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑F x=0，∑F y=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。

[解]如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得

f-T1sinα=0，

N＋T1cosα-m B g=0。

对于定滑轮的轴心O点有

T1sinα-T2sin30°=0，

T2cos30°-T1cosα-m A g=0。

因为T1=m A g，得α=60°，解方程组得

（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；

（2）物体B与地面间的摩擦力

f＝T1sinα=40sin60°≈；

（3）细绳CO受到的拉力

例5、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连．当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用．B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度．现用一水平

力F作用于A，使它向右作直线运动．在运动过程中，

作用于A的摩擦力

A、逐渐增大

B、逐渐减小

C、保持不变

D、条件不足，无法判断

析：取物体A为研究对象，分析A受力如图15，并沿水平和竖直方向建立正交坐标系．由于物体向右做直线运动，则y轴方向上受力平衡，即：

T·sinθ＋N=mg

依题意，绳的拉力T=kx，x为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力

与A物体在B正下方时地面对物体的支持力相同．也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C．