《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答

{ } L = x = λ1a1 + λ2a2 +L + λmam λ1, λ2 ,L, λm ∈ R
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞
解：
αT α = 2, An = (α ⋅ αT )n = α ⋅ (1αT4α4)L24(α4T3α) αT n−1个
⎛ 2n- 1 0 −2n- 1 ⎞
＝α ⋅ 2n- 1 ⋅ αT
= 2n-1α ⋅ αT
=
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
⎜⎝ −2n- 1 0 2n- 1 ⎟⎠
所以
a − 2n- 1 0 −2n- 1
⎟
⎜⎜⎝ an1 an2 L ann ⎟⎟⎠
称 上 式 为 由 基 a1, a2 ,L, an 到 基 b1, b2 ,L, bn 的 基 变 换 ， 称 A 为 由 基 a1, a2 ,L, an 到 基
b1, b2 ,L, bn 的过渡矩阵.
2．对向量 x ∈V ，它在基 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 下的坐标分别为 (x1, x2 ,L, xn ) 及
5
证（1）由 α2 , α3, α4 线性无关知 α2 , α3 必线性无关，又知添加了 α1 后 α1, α2 , α3 线性相
其中
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a12 a22 M
L L O
a1n ⎞
a2n M
⎟ ⎟ ⎟
,
⎛ x1 ⎞
x
=
⎜ ⎜ ⎜
x2 M
⎟ ⎟ ⎟
,
若 x = ξ1
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
ξ11 ξ21 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
满足方程组，则
ξ1
称为方
⎜⎜⎝ am1 am2 L amn ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ xn ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ξn1 ⎟⎟⎠
3 ． 线 性 组 合 给 定 向 量 组 A:a1 , a2 ,L, am 对 于 任 何 一 组 实 数 k1 , k2 ,L, kn 表 达 式 k1a1 + k2a2 + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合，k1 , k2 ,L, kn 称为这个线性组合的系数.
4．线性表示 给定向量组 A:a1 , a2 ,L, am和向量 b ，如果存在一组数 λ1 , λ2 ,L, λm ，使 b = λ1a1 + λ2a2 +L + λmam ，则称向量 b 能由向量组 A 线性表示; 若向量组 B: b1 ,b2 ,L,bl 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由 A 线性表示．
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
y1 y2 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
A−1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
x1 x2 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜⎜⎝ yn ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ xn ⎟⎟⎠
4.3 例题分析
例 4.1 若 α1, α2 , α3, β1, β2 都是四维列向量，且四阶行列式 α1α2α3 β1 = m ， α1α2 β2α3 = n ，试求四阶行列式 A = ααT .
r3 −3r2
→
⎜ ⎜
0
1
0
−2
⎟ ⎟
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 1 ⎟⎠
解得方程组得解 x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1 ，线性表示式为 β = 2α1 − 2α2 + α3 . 例 4.4 设向量 α1, α2 , α3 线性相关，向量 α2 , α3, α4 线性无关，问：
（1） 向量 α1 能否由向量 α2 , α3 线性表示？（2） 向量 α4 能否由向量 α1, α2 , α3 线性表示？
8．推论 1 向量组 A:a1, a2 ,L, am与向量组 B : b1 ,b2 ,L,bl 等价的充要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) ，其中，A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵.
1
9．定理 3 设向量组 B : b1 ,b2 ,L,bl 能由向量组 A:a1, a2 ,L, am线性表示， 则 R(b1, b2 ,L, bl ) ≤ R(a1 , a2 ,L ,am ) .
4.2.2 向量组的线性相关性
1．线性相关、线性无关 给定向量组 A:a1, a2 ,L, am，如果存在不全为零的数 k1 , k2 ,L, kn ，使 k1a1+ k2a2 + kmam = 0 ，则称向量组 A 线性相关，否则称它线性无关.
2．性质 ① 含有零向量的向量组必线性相关，线性无关的向量组必不含零向量； ② 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； ③ 多于 n 个向量的 n 维向量组必线性相关； ④ 如果向量组中一部分向量线性相关，那么整个向量组线性相关；如果整个向量
a0
a
行
aE − An = 0 a 0 = 0 a 0
a
列
＝0
−2n- 1 0 a − 2n- 1
00 a 0 ＝a2 (a − 2n )
2n-1 0 a − 2n-1
.
2n- 1 0 a − 2n
例 4.3 已 知 向 量 α1 = (1,1,1)T , α2 = (1, 2, 4)T , α3 = (1, 3, 9)T 及 β = (1,1,3)T ， 试 用
的秩 Rs = n − r . 5．性质 1 设 x = η1 及 x = η2 都是方程 AX = b 的解，则 x = η1 − η2 为对应齐次线
性方程组 AX = 0 的解. 6．性质 2 设 x = η 是方程 AX = b 的解，x = ξ 是方程 AX = 0 的解，则 x = ξ + η
线性相关，反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关； ② m 个 n 维向量组
成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关； ③ 设向量组 A:a1, a2 ,L, am线性 无关，而向量组 B : a1, a2 ,L, am , b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表
么，向量组 a1 , a2 ,L , ar 就称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V
为 r 维向量空间.
5．如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 ,L , ar ，那么 V 中任一向量 x 都可唯一表
示为 x = λ1a1 + λ2a2 +L + λrar 数组 λ1, λ2 ,Lλr 称为向量 x 在基 a1 , a2 ,L , ar 中
第四章 向量组的线性相关性
4.1 目的要求
1．了解 n 维向量的概念，并掌握其线性运算的方法.
2．理解向量组线性相关性的若干概念，了解与相关性的结论. 3．理解向量组的极大无关组的定义与向量组秩的定义.
4．了解 n 维向量空间、子空间、基底、维数的概念.
5．掌握矩阵初等变换判断向量组的相关性，求向量组的秩和极大无关组的方5 向量空间
1．向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且若 a ∈V ， b ∈V ，则 a + b ∈V ；若 a ∈V ， λ ∈ R ,则 λa ∈V ，即 V 对加法及数乘封闭，就称集合 V 为向量空
间.
2．子空间 设有向量空间V1及V2，若V1 ⊂ V2 ，就称V1是V2的子空间. 3．由向量组 a1, a2,L, am所生成的向量空间为
程组的解. 齐次线性方程组的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.
2．性质 1 若 x = ξ1 ， x = ξ2 为 AX = 0 的解，则 x = ξ1 + ξ2 也是它的解；
3．性质 2 若 x = ξ1 为 AX = 0 的解，k 为实数，则 x = kξ1 也是它的解.
4．定理 设 m× n 矩阵 A 的秩 R( A) = r ，则 n 元齐次线性方程组 AX = 0 的解集 S
组线性无关，那么由它的部分向量构成的向量组也线性无关.
3．定理 1 向量组 A:a1, a2 ,L, am线性相关的充要条件是它构成的矩阵 A=(a1, a2,L, am)的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件 R(A) = m 。
4．定理 2 ①若向量组 A:a1, a2 ,L, am线性相关，则向量组 B : a1, a2 ,L, am , b 也
5．向量组等价 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价.
6．定理 1 向量 b 能由向量组 A:a1 , a2 ,L, am线性表示的充要条件是矩阵 A=(a1 , a2 ,L, am)的秩等于矩阵 B=(a1 , a2 ,L , am ,b)的秩.
7．定理 2 向量组 B : b1 ,b2 ,L,bl 能由向量组 A:a1, a2 ,L, am线性表示的充要条件是 矩阵 A=(a1 , a2 ,L, am)的秩等于矩阵 (A,B) =(a1,L,am,b1,L,bl)的秩，即 R(A) = R(A, B) .
( y1, y2 ,L, yn ) ，即
x
=
(a1,
a2
,L,
an
)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
x1 x2 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
,
x
=
(b1,
b2
,L,
bn
)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
y1 y2 M
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
，则有
⎜⎜⎝ xn ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ yn ⎟⎟⎠
这就是由基 a1, a2 ,L, an 到基 b1, b2 ,L, bn 的坐标变换公式.
B = ⎜⎜⎜⎝11
2 4
3 9
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
r2 −r1
→
r3 −r1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 3
2 8
0
⎟ ⎟
r3 −3r2
→
⎜ ⎜
0
2⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
2 2
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 0 −1 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 2 ⎞
r1 −r2
→
r2 −r3 r3 / 2
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
0 1
−2
⎟ ⎟
达式是唯一的. 4.2.3 向量组的秩
1．最大线性无关向量组 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1, a2 ,L, ar ， 满足 ① 向量组 A0 : a1 , a2 ,L , ar 线性无关；② 向量组A中任意r+1 个向量（如果A中
有r+1 个向量）都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无 关组所含有向量个数r称为向量组A的秩，记作RA.
解： α3α2α1β1 = − α1α2α3 β1 = −m ， α3α2α1β2 = α1α2 β2α3 = n
4
故 α3α2α1( β1 + β2 ) = α3α2α1β1 + α3α2α1β2 ) = −m + n . 例 4.2 设 α = (1, 0, −1)T ，矩阵 A = ααT ，n 为正整数，计算 αE − An .
4.2 重要公式和结论
4.2.1 向量组及其线性组合
1． n 维向量 n 个有次序的数 a1, a2 ,L, an 所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为 该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量.
2．向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.
2．等价的向量组有相同的秩。 3．定理 1 矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩.
4．推论 设向量组 A0 : a1 , a2 ,L , ar 是向量组 A 的一个部分组，且满足
2
① 向量组A0线性无关；② 向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示；那么向量组A0便 是向量组A的一个最大无关组。