浅谈构造法在初中数学解题中的应用

浅谈构造法在初中数学解题中的应用

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浅谈构造法在初中数学解题中的应用

解题思路是解决数学问题的核心，只有学生具有清晰明了的解题思路，才会取得显著的解题效果.数学构造法利用题设与结论之间的内在联系，将数学问题与学生熟知的数学概念、定理、公式等知识联系起来，实

现未知向已知转化，复杂向简便转化.数学构造法的关键在于构造.那么，什么样的题型需要构造？怎样构造才更加有效呢？本文将从初中

数学知识出发，探讨构造法在数学解题中的应用.

一、方程构造法

【例1】已知实数a、b满足4a4-2a2-3=0

和b4+b2-3=0，试根据已知条件求解代数式a4b4+4a4的值.

分析：对于本题，学生首选的思路就是整体替换，利用已知条件中的

a4、b2替换欲求解代数式中的a4b4.可是，在尝试过后不难发现，这

样的做法不仅复杂，而且行不通.对此，教师不妨引导学生使用方程构

造法，实现已知与未知的形式统一.由题中已知条件实数a、b满足代

数式4a4-2a2-3=0

和b4+b2-3=0，所以我们可以得到（-2a2）2+（-2a2）-3=0

和（b2）2+b2-3=0.从以上两式的形式我们不难发现它们在形式上的类

似性，故将-2a2与b2视为方程t2+t-3=0的两个根.为了得到欲求的代数式的形式，我们不妨构造方程的根，利用韦达定理求解.首先，设

t1=b2，t2=-2a2，由韦达定理可知t1+t2=-1，t1t2=-3，此时再将未知形式向已知形式转化，可以得到a4b4+4a4=b4+4a4=（b2）2+（-2a2）

2=t21+t22=（t1+t2）2-2t1t2=7

.

二、图形构造法

【例2】已知：0a2+b2+（1-a）

2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22

.

分析：对于此题，很多学生拿到手的第一件事就是想办法去除根号，

再进行不等式的化简和证明.但是，这样的思路却被不等式复杂的形式

所限制，难以解决.此时，我们不妨构造几何图形，将代数向图形进行

转化，利用边长关系来进行证明.首先，由已知条件0图1

（如图1），在边AB上任意取一点E，令AE=a;在边AD上任意取一点G，令AG=b.再作EF∥AD、GH∥AB，其中EF、GH交于点O.结合图1，

学生不难发现△AOG、△BOE、△COF、△DOG都是直角三角形.根据以上这些构造出的三角形，我们可以利用最基础的勾股定理进行辅助证

明.OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2，且有OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，AC=BD=2.

∴OA+OC+OB+OD≥AC+BD=22，即结论得证.

这样就实现了构造几何图形辅助代数的证明.

三、函数构造法

图2

【例3】如图2，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-15x2+3.5

运行，然后精准地落入篮筐.已知篮筐高度距地面距离为3.05米.试求：（1）球在空中运行的最大高度;（2）如果该运动员跳投时，球出手离

地面的高度为2.25米，请问他距篮筐中心的水平距离是多少？

分析：对于第一问，我们首先需要构建出完整的函数图形，由已知条件：球沿抛物线y=-15x2+3.5运行，我们可知该抛物线的定点为（0，

3.5），验证可知最高点在定义域内，于是可知球运行的最大高度为3.5米.对于第二问，我们首先需要构建如图2所示的坐标系，审题后不难发现，求出运动员位置的横坐标即可求出答案.首先由篮筐处的高度为y=3.05米可知，x=1.5（x≥0）;再由运动员的出手高度y=2.25米，求得x=-2.5（x≤0），于是可知运动员距篮筐处的距离水平为4米.

总之，构造法在初中数学解题中有着重要的意义和地位.我们必须以学生为本，致力于构造法的实践应用教学，提高学生解决初中数学实际问题的能力.