高一数学必修4课件：1-4-3正切函数的性质与图象

kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
第一章
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π π y＝tanx在－2，2上单调增， 2π π 28π 18π ∴tan－ 5 <tan－9，∴tan <tan－ 9 . 5
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4π ∴函数定义域为xx≠－4kπ－ 3 ，k∈Z .
π x x π y＝3tan(6－4)＝－3tan(4－6)， π x π π 由kπ－ < － <kπ＋ ，k∈Z， 2 4 Hale Waihona Puke Baidu 2
第一章
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其中正确命题的序号是________．
[答案] (1)(3)(4)
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[解析]
y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因
π π 此(1)正确；y＝tanx在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ(k∈Z)内都 2 2 是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝
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思路方法技巧
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命题方向
求定义域和单调区间
[例1] 性． [分析]
π 求函数y＝tan 3x－3 的定义域，并指出它的单调
π 把3x－ 3 看作一个整体，借助于正切函数的定
f(x)＝tan2x是( A．奇函数
) B．偶函数 D．非奇非偶函数
C．奇函数又是偶函数
[答案] B
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函数y＝3tanx－1的定义域是________．
[答案]
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 2

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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第一章
1．4.3 正切函数的性质与图象
[解析]
∵y＝3cos(π－x)＝－3cosx，
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
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π 3π π 5．求函数y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
[解析]
命题方向
求周期
[例3]
求下列函数的最小正周期：
π 3 (1)y＝－tan3x＋5；
(2)y＝|tanx|.
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[分析] 求解．
π (1)利用T＝ |ω| 求解；(2)画出函数图象利用图象法
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28π 18π (2)tan 5 ________tan－ 9 .
[答案]
(1)< (2)<
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[解析]
(1)∵tan215° ＝tan(180° ＋35° )＝tan35° ，y＝tanx在
(－90° ，90° )上单调增，－90° <32° <35° <90° ， ∴tan32° <tan35° ，即tan32° <tan215° .
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新课引入
第一章
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孔子东游，见两小儿辩日，一儿曰：“日初出沧沧凉 凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”„„事 实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大 地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里、直 射比斜射热量高．这就涉及太阳光和地面的角度问题，学习 了正切函数你就明白了．
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
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第一章
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规律总结：不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式 化到同一个单调区间内．
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不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号 “<”、“>”连接起来． (1)tan32° ________tan215° .
y＝tanx(
)
A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数
[答案]
C
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给出下列命题： (1)函数y＝tan|x|不是周期函数； (2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；
π π tan2x＋ 的周期是 ； (3)函数y＝ 3 2 5π (4)y＝sin 2 ＋x是偶函数．
)
[答案]
D
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[解析] 递减函数．
结合函数y＝cosx的图象可知其在[0，π]上为单调
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1 3．函数y＝ sinx＋1的值域是________． 2
1 3 ， 2 2
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
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课前自主预习
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温故知新 1．下列函数中，最小正周期为π的是( A．y＝sinx x C．y＝sin2
命题方向
单调性的应用
[例2] 小．
不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大
2π π (1)tan－ 7 与tan－5.
(2)tan126° 与tan496° .
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[解析]
π π (1)∵y＝tanx在－2，2上是增函数，
[答案]
[解析]
∵－1≤sinx≤1，
1 3 ∴原函数的值域为2，2.
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4．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取 得最大值．
[答案]
2kπ＋π(k∈Z)
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[答案] D
)
B．y＝cosx D．y＝cos2x
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[解析]
易知A，B的最小正周期均为2π，C的最小正周期
为4π，只有y＝cos2x的最小正周期为π.
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2．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx
π tan2x＋ 3
5 π 的周期是2.∴(3)对；y＝sin2π＋x＝cosx是偶函数，∴(4)对．
(k∈Z)，不存
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规律总结：求函数y＝Atan(ωx＋φ)，A≠0，ω>0的单调 区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是 π 把“ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体．令ωx＋φ≠kπ＋ (k∈Z)可 2 解得该函数的定义域．
π π π 令kπ－ <3x－ <kπ＋ (k∈Z)， 2 3 2
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kπ π kπ 5π 即 － <x< ＋ (k∈Z)． 3 18 3 18 ∴函数的单调递增区间为 在单调递减区间．
kπ π kπ 5π － ， ＋ 18 3 18 3
2π π π 2π π π － <－ <－ < ，∴tan－ 7 <tan－5. 2 7 5 2
(2)∵tan496° ＝tan136° ， y＝tanx在(90° ，270° )上是增函数，270° >136° >126° >90° ， ∴tan136° >tan126° ，即tan496° >tan126° .
2π 2π 18π (2)∵tan 5 ＝tan4π－ 5 ＝tan－ 5 ， 28π π π tan－ 9 ＝tan－3π－9＝tan－9，
π 2π π π 而－2<－ 5 <－9<2，
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第一章
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π x 求函数y＝3tan6－4的定义域，并指出它的单调性．
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[解析]
要使函数有意义应满足
π π π 4π － ≠kπ＋ ，得x≠－4kπ－ ， 6 4 2 3
[解析]
π π (1)∵ω＝ ，∴最小正周期T＝ ＝3. 3 π 3
(2)函数y＝|tanx|的图象是将函数y＝tanx图象x轴下方的图 象沿x轴翻折上去，其余不变，如图所示．
由图知函数y＝|tanx|的最小正周期为π.
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规律总结：函数y＝Atan(ωx＋φ)与函数y＝|Atan(ωx＋ π φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期均为T＝ . |ω|
4π 8π 得4kπ－ <x<4kπ＋ ，k∈Z. 3 3 π x ∴y＝3tan(6－4)的单调递减区间为 4π 8π (4kπ－ 3 ，4kπ＋ 3 )，k∈Z.不存在增区间．
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建模应用引路
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义域和单调区间来解决．
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[解析]
要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－
π 3
π kπ 5π ≠kπ＋2(k∈Z)，得x≠ 3 ＋18(k∈Z)，
kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ 3 ＋18，k∈Z .
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自主预习 认真阅读教材P34－35回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做 正切曲线
．
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(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性

y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x

R
π 奇函数
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函数 性质 单 调 性 减区间 无 y＝tanx
增区间
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
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