线性代数 二次型与正定矩阵

2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0 .
例2 化二次型 f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 6 x 2 x 3


6 .2 .2
2 2 例6.2.1 设 f ( x1 , x2 ) 5 x1 6 x1 x2 5 x2 ,即
5 3 x1 f ( X ) ( x1 , x2 ) X T AX 3 5 x2
cos x1 4 令 X = x2 sin 4
必有 A B 。
f x1 , x2 ,, xn X T AX X T BX
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二
次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩.
i , j 1
2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n
2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn
2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
x1 ( a11 x1 a12 x2 a1 n xn ) x2 ( a21 x1 a22 x2 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ann xn )
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含 有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余 的变量同样进行，直到都配成平方项为止，
经过非退化线性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 a 0 ij ( i j ), 则先作可逆线性变换
x i yi y j x j yi y j x y k k
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
sin
4 y1 y CY 2 cos 4
则 f ( X ) X T AX Y T (C T AC )Y 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y1 8 y2 y 0 8 2
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
若令 f ( X ) 8，则有
2 2 2 y1 8 y2 8
或 1 2 2 y1 y2 1 4 显然它表示一个椭圆。
定义6.2.3
对任意 n 阶矩阵 A 和 B ，若存 ，使得
T
n 在可逆的
阶矩阵 C
B C AC 则称 A 与 B 合同，记为 A B 。 ~
容易证明，矩阵间的合同关系满足如下性质：
成标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解 由于所给二次型中无平方项，所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 令 x 2 y1 y 2 , 即 x 2 1 1 0 y 2 x y 0 0 1 y 3 3 3 x3
a11 a12 a 21 a 22 x1 , x 2 ,, x n a n1 a n 2
a1 n x1 a 2 n x 2 a nn x n
a11 a12 a a22 21 记 A a n1 a n 2
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a n 2 x 2 a nn x n a n 1 x1
在矩阵表示
a1n x1 x a2 n , X 2 , x ann n
则二次型可记作 f X T AX , 其中A为对称矩阵.
f x1 , x2 ,, xn X T AX aij a ji ,所以 AT A 。 中,由于 另外，若 A, B 为n 阶对称矩阵，且
称为二次型.
当a ij是复数时 , f称为 复二次型 ;
当a ij是实数时 , f称为实二次型 .
1．用和号表示 对二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
~ 1)反身性： A A
~ ~ 2)对称性：若 A B ，则 B A
3)传递性：若 另外还有 ；
~ ~ ，则 A C 。 ~ A B， B C
~ 4）若 A B，则r（ A）＝r（ B ）；
5)与对称矩阵合同的矩阵必为对称矩阵。
下面介绍化二次型为标准型的方法。
一、配方法的具体步骤
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2 z 2 6 z 3 .
拉格朗日配方法的步骤
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
将 X CY 代入6.2.1 得
g (Y ) f ( X ) X T AX Y T C T AC Y
其中 Y T C T AC Y 是一个关于 y1 , y2 , , yn 的二次型。




f X X T AX Y T C T AC Y
2 2 2 b1 y1 b2 y2 bn yn
2
x1 x2 x3 x2 2 x3 .
2 2
y1 x1 x2 x3 令 y2 x 2 2 x 3 y x 3 3
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y3 x y 3 3
x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y2 x 0 0 1 y3 3
下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗 日配方法．
例1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形, 并求所用的变换矩阵.
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
k 1,2,, n且k i , j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
注意:
配方的方法不同,一般所得标准形
取 a ji a ij , 则2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i , 于是
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 n a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n a ij x i x j .
2 2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 5 x 3 6 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 2 去掉配方后多出来的项
2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x 2 5 x 3 6 x 2 x 3
x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x3
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
2 2 f 2 y1 2 y 2 4 y1 y ຫໍສະໝຸດ Baidu 8 y 2 y 3 .
再配方，得
2 f 2 y1 y3 2 y2 2 y3 6 y3 . 2 2
令

z 1 y1 y 3 z2 y2 2 y3 z y 3 3 y1 z 1 z 3 y2 z2 2z3 , y z 3 3
f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
注意：
x1 , x2 ,, xn X T AX f
只有当其中的 A 为对称矩阵时，才为二
次形 f 的矩阵表示。
§6.2 二次型的标准形
定义6.2.1
例6.1.1
写出二次型
2 2 2 f x1 2 x 2 3 x 3 4 x1 x 2 6 x 2 x 3
的矩阵.
解
a11 1 , a 22 2 , a 33 3 , a12 a 21 2 , a13 a 31 0 , a 23 a 32 3.
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn