材料力学 第12章

第十二章 能量原理及其应用

第一节 概述 U=W

储存在弹性体内的变形能U ，载荷所做的功W 。 第二节 杆件的应变能 一、 基本变形的应变能 1、轴向拉伸或压缩

lF W ∆=2

1 U=lF W ∆=2

1

⑴轴力沿杆长不变 EA Nl l =∆ F=N ∴EA

l

N U 22=

⑵沿杆长轴力为变量 )(x N N = EA dx

x N dU 2)(2= ⎰=L

EA dx x N U 0

22)(

2、圆轴扭转 ϕk M W 21

= ϕk M W U 2

1== ⑴沿轴长T M 为常量 k T M M =

P T GI l M 2=

ϕ ∴P

T GI l

M U 22

= ⑵沿轴线)(x M M T T =

P T GI dx

x M dU 2)(2

=

⎰=l P T GI dx x M U 0

22)(

3、平面弯曲

⑴纯弯曲 θm W 21

= θm W U 2

1==

m M = EI Ml =θ ∴EI

l

M U 22=

⑵横力弯曲 )(x M M = EI dx

x M dU 2)(2= EI dx x M U l

2)(20

⎰=

注意：因为变形能与载荷呈非线性关系，所以在计算变形能时，一般不能采用载荷叠加的方法。

如)()()(2121M U M U M M U +≠+

∆=

=F W U 2

1

F ：广义力；∆：与广义力F 相对应的广义位移。 二、组合变形的应变能

=++∆=ϕθd x M d x M l d x N dU T )(21)(21)()(21EA dx x N 2)(2+EI dx x M 2)(2+P

T

GI dx x M 2)(2

=U +⎰L EA dx

x N 0

22)(+⎰

EI dx

x M l

2)(20

⎰l P T GI dx x M 0

2

2)( 注意：1、前面所说的计算U 一般不能采用叠加法，是指同一类内力引起的变形能U 不能用叠加法。而这里是不同类内力引起的U 却可以用叠加法计算。

2、储存在弹性体内的弹性变形能的大小，只与作用在弹性体上的最终值有关，而与加载的（中间过程）先后顺序无关。 第三节 克拉贝隆定理

线弹性材料制成的构件或线性结构 只受一个载荷作用 ∆=F U 2

1

多个载荷作用 i n

i i F U ∆=∑=1

21

克拉贝隆定理：多个载荷作用时，结构的应变能等于各个载荷在相应位移上所作功之和。

注意：⑴i ∆是第i 个载荷作用点处沿载荷作用方向的位移；

⑵i ∆是全部载荷共同作用的结果。

第四节 单位载荷法 一、 莫尔定理 ⎰

=∆l

EI

dx

x M x M )()(

)(x M :载荷作用下梁的弯矩; )(x M :单位载荷作用下梁的弯矩.

⎰

=l

EI

dx

x M x M )()(θ )(x M :单位力偶矩作用下的弯矩.

组合变形:

⎰

⎰⎰

++=∆l

l P T T l

EI dx x M x M GI dx x M x M EA dx

x N x N )()()()()()( 二、莫尔定理用于桁架

桁架某节点在某方向的位移 ∑

==∆n

i i

i

i i EA l N N 1 i N :原载荷作用下第i 根杆的轴力; i N :单位载荷作用下第i 根杆的

轴力; i l :第i 根杆的长; i A :第i 根杆的横截面面积. 三、应用莫尔定理应注意几点

1、)(x M 、)(x M T 、i N 采用的正负号必须与)(x M 、)(x M T 、)(x N i 一致。

2、用莫尔定理求出的v 、θ、∆若为正，表明位移方向与单位力方向一致，为负反之。

3、所加的单位载荷的位置和方向必须与需求位移相对应，即①需求某点的线位移，就在该点沿需求线位移的方向加一单位力；需求某截面的角位移，就在该截面处沿转角方向加一单位力偶。②需求结构上两点间的相对位移，就沿该两点连线方向加一对单位力；若需求某两截面的相对角位移，就在该两截面处加一对单位力偶。

4、莫尔定理只适用于线弹性结构。