双重根号化简

双重根号化简
双重根号化简及根与系数的关系
、双重根号的化简:
=
=0址号ii ：(a >b >0)， 例如：血皿碉=+1
典例：
化简：1、』肿2皤 2
3、屈閒
4、
5、
6、
、韦达定理:
1、若一元二次方程 ax 2 • bx • c = 0 a = 0 中，两根为 X i ，x ?。

则 x 1
x^ --， a
x-i ・x 2 =C ,；补充公式％ —x 2
=冷* a l a l 2、一般地，对于关于x 的方程x 2 + px + q = 0 (p , q 为已知常数，p 2— 4q >0),它的两个根为 X i 、X 2,则 X i + X 2=-p, X i ?X 2=q
即:两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项
典例1:写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x 2 - 7x 4 = 0 (2)x 2 mx - n = 0
三、韦达定理的应用：
应用（1）:已知方程的一个根，求另一个根 。

典例2：
1、 已知一元二次方程2X 2-7X +6=0的一个根是2,则它的另一个根是
2、 .已知关于X 的方程x 2— 6X + p 2 — 2p + 5= 0的一个根是2,求方程的另一个根 和p 的值.
应用（2）:已知方程的两个根，求做方程
存在实数a,b , 满足 a+b=p,ab=q.
⑶2x 2 - 5x 1 = 0 (4)3x 2
-、3x m = 0 对于
（根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系
数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1,这样，就能作出这个方程。

）
典例3:已知方程的两个实数根是1+和1-，则这个方程是
应用（3）:不解这个方程，求某些与根有关的代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。

1 1
典例4:已知方程X2+2X-1=0的两根分别是X1,x 2,求①一-一②X12+X22
X1X2
③ X12+X1X2+X22④一+ ⑤ I X 1-X2 I 的值。

应用（4）:求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。

典例5:已知方程X2+5X-2=0,求作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。

应用（5）:不解方程，判断方程根的情况。

2 2
典例6:若k>1,关于X的方程2x-（4k+1）x+2k -仁0的根的情况是（）
A.有一正根和一负根
B.有两个正根
C.有两个负根
D.没有实数根
应用（6）:利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值
（注意验证：△》0）
典例7: （2013呼和浩特，9, 3分）已知a、 B是关于x的一元二次方程
x2+（2m+3）x+m=0的两个不相等的实数根，且满足丄+丄=-1，求m的值
应用（7）:根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。

典例8：
已知两个数的和是20，乘积是23，求这两个数。

应用（8）：综合应用：即已知方程两根时，要同时考虑根的定义和根与系数的关系。

（2013烟台）已知实数a，b分别满足a2—6a+ 4= 0，b2—6b+ 4= 0,且a^b，
求b+ a的值
a b
四、跟踪练习
1、已知花、X2是一元二次方程x2 -2x=0的两根，则X! X2的值是（）
A.0
B.2
C. - 2
D.4
2、已知一元二次方程x2 -6x • c=0的一个根是2，则另一个根为（）
A.2
B.3
C.4
D.8
3、关于x的方程x2+ px + q = 0的两根同为负数，贝U （）
A. p>0 且q>0 B . p>0 且q v 0
C. p v 0 且q>0 D . p v 0 且q v 0
4、（2014,陕西）若x= - 2是关于x的一元二次方程x2-丄ax+a2=0的一个根，贝U a
的值为（）
A. 1 或4
B. - 1 或-4
C. - 1 或4
D. 1
5、（2014,广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是（）
. 2 2 2 2
A. 2
x - 6x+8=0B. x +2x - 3=0C. x - x- 6=0D. x +x- 6=0
6. （2014,攀枝花）若方程x2+x-1=0的两实根为a B,那么下列说法不正确的
是（）
A、一 - _ 仁--_ 1 B. C.二2I ‘2 = 3 D.丄丄=_ 1
CL P
7、
（2014莱芜）若关于x的方程x2+（ k- 2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _ .
8、（2014,江西）若a,b是方程x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则
a2 + b2 = ________ .
9、已知关于x的方程x2—px+ q = 0的两个根是0和一3,则p= _____ , q= _____
10、孔明同学在解一元二次方程x2—3x + c= 0时，正确解得X i= 1,X2= 2,则c
的值为__________ .
1 1
2
11、已知方程x —6x —5 = 0的两根为a, b,则§+ b的值是__________ .
12、.已知关于x的方程x2—2x+ m i+m-2 = 0的一个根是2,求方程的另一个根和m 的值.
13、（2014山东省烟台市，8, 3分）关于x的方程的x2—ax 2a=o两个根的平方和5是，求a的值
14、已知，关于X的方程x2_2mx「m2・2x的两个实数根X i、x2满足网乜，求实数m的值.
15、已知方程x2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.
16、如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2'n=3,求代数式2n2-
mn+2m+2015 的值。

17、已知：①a 2+2a-仁0,②b4-2b2-1=0 且1-ab2工0,求(ab b1)2°°4 的值
a
18、已知关于x的方程x2+2mx+m+2=(求：
(1) m 为何值时,?方程的两个根一个大于0, 另一个小于0;
(2) m 为何值时,方程的两个根都是正数;
(3) m 为何值时,?方程的两个根一个大于1，一个根小于1
19、(1)已知方程X2-X-6=0的两个根是a、 B,求a 2+『
(2)已知方程x2-2(k+1)x+k 2+2=0的两根是a、B且a 2+ P 2=8,求k的值
(3)------------------------------------------------------------------------------------------ 设方程
x2-x -仁0 的两根是a、B,且S= a + B ,S2= a 2+ p 2, --------------------------- S= a "+ B "
①用配方法求a、B的值
②求S,S2,的值
③求n》3时，S n,S n-1,S n-2的关系式。