双重根号化简

双重根号化简

双重根号化简及根与系数的关系

、双重根号的化简:

=

=0址号ii ：(a >b >0)， 例如：血皿碉=+1

典例：

化简：1、』肿2皤 2

3、屈閒

4、

5、

6、

、韦达定理:

1、若一元二次方程 ax 2 • bx • c = 0 a = 0 中，两根为 X i ，x ?。则 x 1

x^ --， a

x-i ・x 2 =C ,；补充公式％ —x 2

=冷* a l a l 2、一般地，对于关于x 的方程x 2 + px + q = 0 (p , q 为已知常数，p 2— 4q >0),它的两个根为 X i 、X 2,则 X i + X 2=-p, X i ?X 2=q

即:两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项

典例1:写出下列方程的两根和与两根积：

(1)x 2 - 7x 4 = 0 (2)x 2 mx - n = 0

三、韦达定理的应用：

应用（1）:已知方程的一个根，求另一个根 。

典例2：

1、 已知一元二次方程2X 2-7X +6=0的一个根是2,则它的另一个根是

2、 .已知关于X 的方程x 2— 6X + p 2 — 2p + 5= 0的一个根是2,求方程的另一个根 和p 的值.

应用（2）:已知方程的两个根，求做方程

存在实数a,b , 满足 a+b=p,ab=q.

⑶2x 2 - 5x 1 = 0 (4)3x 2

-、3x m = 0 对于

（根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系

数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1,这样，就能作出这个方程。）

典例3:已知方程的两个实数根是1+和1-，则这个方程是

应用（3）:不解这个方程，求某些与根有关的代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。

1 1

典例4:已知方程X2+2X-1=0的两根分别是X1,x 2,求①一-一②X12+X22

X1X2

③ X12+X1X2+X22④一+ ⑤ I X 1-X2 I 的值。

应用（4）:求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。

典例5:已知方程X2+5X-2=0,求作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。

应用（5）:不解方程，判断方程根的情况。

2 2

典例6:若k>1,关于X的方程2x-（4k+1）x+2k -仁0的根的情况是（）

A.有一正根和一负根

B.有两个正根

C.有两个负根

D.没有实数根

应用（6）:利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值

（注意验证：△》0）

典例7: （2013呼和浩特，9, 3分）已知a、 B是关于x的一元二次方程

x2+（2m+3）x+m=0的两个不相等的实数根，且满足丄+丄=-1，求m的值

应用（7）:根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。

典例8：

已知两个数的和是20，乘积是23，求这两个数。

应用（8）：综合应用：即已知方程两根时，要同时考虑根的定义和根与系数的关系。

（2013烟台）已知实数a，b分别满足a2—6a+ 4= 0，b2—6b+ 4= 0,且a^b，

求b+ a的值

a b

四、跟踪练习

1、已知花、X2是一元二次方程x2 -2x=0的两根，则X! X2的值是（）

A.0

B.2

C. - 2

D.4

2、已知一元二次方程x2 -6x • c=0的一个根是2，则另一个根为（）

A.2

B.3

C.4

D.8

3、关于x的方程x2+ px + q = 0的两根同为负数，贝U （）

A. p>0 且q>0 B . p>0 且q v 0

C. p v 0 且q>0 D . p v 0 且q v 0

4、（2014,陕西）若x= - 2是关于x的一元二次方程x2-丄ax+a2=0的一个根，贝U a

的值为（）

A. 1 或4

B. - 1 或-4

C. - 1 或4

D. 1

5、（2014,广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是（）

. 2 2 2 2

A. 2

x - 6x+8=0B. x +2x - 3=0C. x - x- 6=0D. x +x- 6=0

6. （2014,攀枝花）若方程x2+x-1=0的两实根为a B,那么下列说法不正确的

是（）

A、一 - _ 仁--_ 1 B. C.二2I ‘2 = 3 D.丄丄=_ 1

CL P

7、

（2014莱芜）若关于x的方程x2+（ k- 2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _ .

8、（2014,江西）若a,b是方程x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则

a2 + b2 = ________ .

9、已知关于x的方程x2—px+ q = 0的两个根是0和一3,则p= _____ , q= _____

10、孔明同学在解一元二次方程x2—3x + c= 0时，正确解得X i= 1,X2= 2,则c

的值为__________ .

1 1

2

11、已知方程x —6x —5 = 0的两根为a, b,则§+ b的值是__________ .

12、.已知关于x的方程x2—2x+ m i+m-2 = 0的一个根是2,求方程的另一个根和m 的值.

13、（2014山东省烟台市，8, 3分）关于x的方程的x2—ax 2a=o两个根的平方和5是，求a的值