比例式、等积式证明的常用方法

比例式、等积式证明的常用方法

一、三点定形法

例1如图，在Rt △ ABC 中， ACB 90 ° , CD AB 于D , E 为AC 的中点，ED 的延 长线交CB 的延长线于点P ,求证：PD

2

PB PC

例2如图，在 ABC 中，AB AC , D 为BC 中点,

注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1.先把等积式转化为比例式；

2 .观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;

3 .再找这两个三角形相似所需的条件

.

二、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1等线段替换 例1 已知等腰 ABC 中，AB AC , AD BC 于D ,

于 E 、F ，求证：BE 2 EF EG

长线于E .求证：AD

2

DE DF

DE BC 交AC 于F ，交BA 延

CG//AB ，BG 分别交 AD 、AC

例2如图，在ABC中，AB AC , AD BC 于D , BE AC 于E , EG BC 于G ,

L是AF的中点.求证：CD2EG DL

2、等比替换

例3

求证:

已知梯形ABCD中，AB/

OA2 OC OE.

CD , AC、BD交于点O, BE// AD交AC的延长线于点E,

S' /

AC , AD

长线于F .求证：AB AF AC DF

如图，在ABC中，AB BC , E为AC中点, ED延长线交AB延

3、等积替换 例5如图，在 ABC 中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ,交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：DE

2

EG EH .

例6如图，已知 CE 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，在 EC 的延长线上取一点 P ,连结AP ,

BG AP 垂足为G ,交CE 于D ，求证：CE 2

PE DE •

P

/ /

/

■- 2

注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可

以用相等的比、 等积式来替换相应的量， 明又一村”的效果.

三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化

1

例1 已知在正方形 ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且 AF - AD

4

相等的线段、相等的

把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花

EG CF，垂足为G，求证：EG2 CG FG .

四、利用相似三角形的性质例

1如图，Rt ABC中，点F，交CB于点E .求证: ACB 90 ° , CD AB于点D , CAB的平分AE交CD于AF CB CD AE.

T

>

对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比,

注：相似三角形的对应高的比、

利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果!

我们可以练习巩固：

1•如图，点求证：（1）D、E分别在边AB、AC上，且

ADE s ACB ；（2）AD AB

ADE C AE

C

2 .如图, ABC中，点DE在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC 120

求证：(1) ADB s CEA; (2) DE2BD CE ; (3) AB AC AD BC .

3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，

D ECA .

求证：AD EC AC EB

4 .如图，AD 为 ABC 中 BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线.

5 .如图，E 是平行四边形 ABCD 的边DA 延长线上一点, 点 F ，求证：FC 2

FG EF .

求证：FD 2

FC FB 。

EC 交AB 于点G ，交BD 于

6 .如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F，过F作FM //BE 交DE于M .求证：FM CF .