导数压轴大题大招(精华)

导数压轴大题方法总结一、零点问题（隐零点压轴）
【压轴1】已知函数f(x)=e x ln(x+m)
（Ι）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.
【压轴2】已知函数ln ()x f x x
=．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程；
（Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21
[,e ]e
上的零点个数．【压轴3】已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =.
(Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：124ln x x e
->.
二、零点问题（放缩法压轴）
【压轴1】设函数2)(--=ax e x f x
.
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值.【压轴2】已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；
（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.
【压轴3】已知函数22
1ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e
2ln 时，)(x g ＞a 2.【压轴4】已知函数12
1ln )(2+++=x ax x x f .（Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立.
【压轴5】已知对任意的x ＞0，不等式1ln 2---x kx xe x ≥0恒成立，求实数k 的取值范围.
【压轴6】已知函数x x x x f ln +=)(，当x ＞１时，不等式)∈(),()1(Z k x f x k ＜－恒成立，则的最大值为多少？
三、対数平均
【压轴1】
【压轴2】已知函数2ln )(-+
=x
a x x f .（I）讨论)(x f 的单调性；（II）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.
【压轴3】已知函数()()ln f x x ax b a b =-+∈R ，有两个不同的零点12x x ，．（I）求()f x 的最值；（II）证明：122
1
x x a < 【压轴4】已知函数()()ln ,x a f x m a m R x
-=
-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（I）求实数m 的取值范围；（II）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：2
12x x e >．
四、极值点偏移
【压轴1】已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.（I）求a 的取值范围
（II）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x 【压轴2】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =-+
+-.（Ⅰ）若1a >-，讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若01x <<，求证：()()11f x f x +<-；
（Ⅲ）若0a >，设1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，记1202x x x +=，()'f x 为函数()f x 的导函数，求证：()0'0f x >.
【压轴3】已知函数
(),x f x x e x R -=⋅∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知()g x 与
()f x 关于1x =对称，求证：1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：122x x +>.
【压轴4】已知函数()()2ln +2f x x ax a x =--.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设0a >，求证：当10x a <<时，11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅲ）若函数()y f x =的图像与x 轴交与A ，B 两点，线段AB 重点的横坐标为0x ，求证：()0'0f x <.
【压轴5】已知函数()x
f x e ax =+.（Ⅰ）若()f x 在0x =处切线过点()2,1-，求a 的值；
（Ⅱ）讨论()f x 在()1,+∞内的单调性；
（Ⅲ）令1a =，()()2F x xf x x =-，且12x x ≠求证：122x x +<-.
【压轴6】已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e
=
++，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．
【压轴7】已知函数21()ln (1)2
f x x ax a x =-
+-)0(<a ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202
x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”．试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
【压轴8】已知函数()()11ln 0f x a x x a a x ⎛⎫=+
+-> ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的极值点；
（Ⅱ）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在,P Q 两点处的切线互相平行，证明：122
x x +>
五、二次求导
【压轴1】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间.
【压轴2】设a 为实数，函数()22,x
f x e x a x R =-+∈。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+.
【压轴3】已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（Ⅰ）若1)('2
++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：0)()1(≥-x f x .【压轴4】知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11e n n α+⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤对任意的*n ∈N 都成立
（其中e 是自然对数的底数）．求α的最大值．
六、洛必达法则
【压轴1】已知函数()πcos sin 02f x x x x x ⎡⎤=-,∈,⎢⎥⎣⎦
，（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.【压轴2】已知函数()1ln 1x f x x
+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭.
【压轴3】当0x ≥时，2e 10x x ax ---≥恒成立，求a 的取值范围.
【压轴4】当0x >，且1x ≠时，ln 1ln 11x x a x x x x
+>++-恒成立，求a 的取值范围．【压轴5】当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，3sin x x ax >-恒成立，求a 的取值范围.。