空间角及其求法
11.2.3 空间角的概念及其求法
11.2.3 空间角的概念及其求法
高考总复习· 数学
一．异面直线所成的角： （1）.定义 （2）.异面直线所成的角的范围： （3）．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法。
高考总复习· 数学
二．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
高考总复习· 数学
设EC1与FD1所成的角为
，则:
高考总复习· 数学
EC1 FD1 1 (4) 3 2 2 2 21 cos 2 2 2 2 2 2 14 EC1 FD1 1 3 2 (4) 2 2
2
GE , BA1
或
GE , BA1 2
高考总复习· 数学 求二面角的大小
1.几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题， 要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4(1). ②利用三垂线定理及其逆定理，图4(2).最常用。 ③作棱的垂面，图4(3). A
的大小为
60
高考总复习· 数学
[点评与感悟]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体
3 3 ,1, ) 时，会算得 大小问题，如本题中若取n2 ( 2 2 1 cos BB1 , n2 从而所求二面角为120 2
但依题意只为60 。因为二面角的大小有时为锐角、直角， 有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二 面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
3 BB1 0, （ 3 ,0） 2
高考总复习· 数学 设 平面 AB1 D 的法向量为
空间角及其求法(导学案)
A 1复习：空间中的角南雅中学 朱彬一、教学目标：1、理解异面直线所成的角、直线和平面所成的角和二面角的定义， 三种角的图形表示以及各自的取值范围，掌握立体几何中求角的一般方法；2、掌握求角的基本步骤是“一作、二证、三计算”，理解空间问题平面化的整体思路，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：教学重点：定义法求异面直线所成角和直线与平面所成的角 教学难点：应用转化思想求解直线与平面所成的角以及二面角三、教学方法：启发式、探究式 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程：(一) 回归教材，自主归纳 1、异面直线所成的角【引例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，求：（1）11A C 与1B C 所在直线所成的角； （2）11A C 与1BD 所在直线所成的角；小结：（1）基本方法：（2）基本步骤：2、直线与平面所成的角【引例2】在长方体1111ABCD A B C D - 中，12AB AA ==，1AD =，求：（1）1BD 与平面ABCD 所成的角的正弦值； （2）1BD 与平面11BCC B 所成的角（只做图）。
A 1小结：（1）基本方法：（2）基本步骤： 3、二面角【引例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ABCD ⊥面，且PD AD =，求：（1）二面角P AC D --的正弦值；（2）二面角A PB C --的大小(只作图不求解)。
小结：（1）基本方法：（2）基本步骤：异面直线所成的角、直线和平面所成的角和二面角的定义GF EBAB 1C 1A 1D 1C(二) 知识迁移，掌握方法［例1］在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,BC A D AD 的中点.(1) 求直线EG 与1B F 所成的正切值；(2) 求直线AD 与平面1B EDF 所成的角的余弦值； (3) 求面1B EDF 与面ABCD 所成的角的正弦值.(三) 课堂检测，巩固提升【A 组】1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E,F,G,H 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于 ．2、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 在平面11BB C C 所成角的大小是 ．3、如图，已知SA ABC ⊥面，,,,SA AB AB BC SB BC =⊥=E 是SC 的中点，DE SC ⊥交AC 于D ．则二面角E BD C --的大小是 ．4、在正三棱锥S ABC -中，D 为AB 的中点，且SD 与BC 所成的角为ο45，则SD 与底面ABC 所成的角的正弦值为（ ） A 、22 B 、31C 、33D 、36P 【B 组】5、在正四面体A BCD -中，（1）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （2）求AD 与平面BCD 所成角的余弦值.6、已知正方形ABCD ，⊥PA 平面ABCD ，1=AB ,t PA =)0(>t ，当t 变化时，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值的取值范围．【C 组】7、如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.（1）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（2）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.(四) 课堂小结，凝炼重点APD CBH ADCB。
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。
立体几何复习(三)-空间角的求法
2
A
3
思维点拨：准
确作出线线、
E
线面角是关键，
熟记正四面体 中的一些量对
B
G
D
H
解题有帮助.
F
C
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
关键在三角形中计算例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
SA所成的角=_______.
C
B
G
F
A
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C1 B1
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
设正方1 ,体 作(找的 )---证棱 (指出长 )---算-为 --结论
在 AO 中 ,C O AO C1,AC 2
AO9 C0 0
(
算
)
A
二面 A角 BD C的大9小 0 0. 为
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结论
空间角的计算
空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。
题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。
3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
空间角的求法
学立体几何是中学数学的主要内容之一，而空间角的求解则是立体几何中对空间思维和运算能力要求较高的内容，也是每年高考的必考内容．立体几何中的空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三大类．本文就这三类空间角的具体求法进行简单分析，供同学们复习时参考．一、异面直线所成的角的求法１．平移法例１如图１所示，ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝π２，点Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，若ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１，则ＢＤ１与ＡＦ１所成角的余弦值是（Ａ）３０"１０（Ｂ）１２（Ｃ）３０"１５（Ｄ）１５"１０解析：构建平行线将异面直线所成的角转化成平面角．∵Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，∴Ｄ１Ｆ１∥Ｂ１Ｃ１，Ｄ１Ｆ１＝１２Ｂ１Ｃ１．取ＢＣ的中点Ｍ，连接ＢＤ１，ＭＦ１．∵Ｄ１Ｆ１平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，ＢＭ平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，∴ＢＭ平行且等于Ｄ１Ｆ１，∴ＢＭＦ１Ｄ１是平行四边形，ＭＦ１∥ＢＤ１．连接ＭＡ，显然∠ＭＦ１Ａ是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．设ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１＝１，则ＡＭ２＝１＋１４＝５４，ＭＦ１２＝ＢＤ１２＝１＋２%２&’２＝３２，ＡＦ１２＝１＋１４＝５４，∴ｃｏｓ∠ＭＦ１Ａ＝江山中学王陆军空间角的法求图１Ａ１Ｆ１Ｃ１Ｄ１Ｂ１ＢＡＭＣ５４＋３２－５４２×３２!×５４!＝３０!１０．∴答案选Ａ．２．补形法例２同例１．解析：如图２所示，将三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１补成四棱柱ＡＢＥＣ—Ａ１Ｂ１Ｅ１Ｃ１．取Ｂ１Ｅ１的中点Ｍ，连接ＢＭ，Ｄ１Ｍ，Ｄ１Ｂ，显然ＭＢ∥ＡＦ１，∴∠ＭＢＤ１是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．解△ＭＢＤ１即可解决本题．３．向量法例３同例１．解析：同例１，以Ｃ为原点，ＣＡ为ｘ轴，ＣＢ为ｙ轴，ＣＣ１为ｚ轴，建立空间直角坐标系，如图３所示．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｄ１１２，１２，%&１，Ｆ１１２，０，%&１，∴ＢＤ１＝１２，－１２，%&１，ＡＦ１＝－１２，０，%&１，∴ｃｏｓ〈ＢＤ１，ＡＦ１〉＝－１４＋０＋１５!２×６!２＝３０!１０．４．三垂线定理法例４正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＶＣ，ＶＡ，ＡＣ的中点，Ｐ为ＶＢ上的一点，如图４所示，则直线ＤＥ与ＰＦ所成角的大小是（Ａ）π６（Ｂ）π３（Ｃ）π２（Ｄ）π解析：当用平移法和补形法求解异面直线所成的角有困难时，可以考虑用三垂线定理法．如果一条异面直线在另一条异面直线所在平面的射影与该异面直线垂直，则问题就可迎刃而解．对于正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ，显然ＰＦ在底面的射影总在ＢＦ上，由于ＢＦ⊥ＡＣ，因此ＰＦ⊥ＡＣ．又∵ＤＥ∥ＡＣ，∴ＰＦ⊥ＤＥ．故答案选Ｃ．图２图４Ａ１ＥＭＡＦ１Ｄ１Ｅ１ＢＢ１ＡＣＣ１ＥＢＦＤＶＰＣ学图３ＡＦ１Ｃ１Ｂ１Ｄ１Ａ１ＣｚｘｙＢ!’&#&"&&&!&#*()"二、直线与平面所成的角的求法１．定义法例５在正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知ＡＢ＝１，Ｄ在棱ＢＢ１上，且ＢＤ＝１，若ＡＤ与平面ＡＣ１所成的角为α，则α等于（Ａ）π３（Ｂ）π４（Ｃ）ａｒｃｓｉｎ１０!４（Ｄ）ａｒｃｓｉｎ６!４解析：如图５所示，分别取ＡＣ，Ａ１Ｃ１的中点Ｎ，Ｍ，连接ＭＮ，ＢＮ．在ＭＮ上取一点Ｅ，使ＮＥ＝１．∵ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１为正三棱柱，∴ＢＮ⊥平面ＡＣ１．连接ＡＥ，ＥＤ．∵ＥＤ∥ＢＮ，∴ＥＤ⊥平面ＡＣ１，∴ＥＡ为ＡＤ在平面ＡＣ１上的射影，∴∠ＤＡＥ为ＤＡ与平面ＡＣ１所成的角，即为α．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｓｉｎα＝６!４，∴α＝ａｒｃｓｉｎ６!４，∴答案选Ｄ．２．特殊公式法例６正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的棱长都相等，Ｍ是ＡＢ中点，如图６所示．则ＰＡ与ＣＭ所成的角是（Ａ）ａｒｃｃｏｓ３!６（Ｂ）ａｒｃｃｏｓ３!４（Ｃ）ａｒｃｃｏｓ３!３（Ｄ）３０°解析：设正三棱锥的棱长为ａ，过点Ａ作ＡＤ∥ＣＭ，∴ＰＡ与ＣＭ所成的角即为ＰＡ与ＡＤ所成的角∠ＤＡＰ，且有∠ＤＡＭ＝９０°．再取ＢＣ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＰＥ．显然∠ＰＡＥ是ＡＰ与底面ＡＢＣ所成的角．在△ＰＡＥ中，ｃｏｓ∠ＰＡＥ＝ＡＰ２＋ＡＥ２－ＰＥ２２ＡＰ·ＡＥ＝３!３，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ＋∠ＣＡＥ＝３０°＋３０°＝６０°．由ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝ｃｏｓ∠ＰＡＥ·ｃｏｓ∠ＤＡＥ，得ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝３!３×ｃｏｓ６０°＝３!３×１２＝３!６，故∠ＤＡＰ＝ａｒｃｃｏｓ３!６．答案选Ａ．３．向量法例７如图７所示，在棱长为１的图５图６ＡＭＤＣ１Ａ１Ｂ１ＢＭＡＣＤＰＥＢＣＮＥ&#""!!$!!!!&#$(’"学#%’正方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ是侧棱上的一点，ＣＰ＝ｍ．（１）试确定ｍ，使直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成角的正切值为３２!；（２）在线段Ａ１Ｃ１上是否存在一定点Ｑ，使得对任意的ｍ，Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，并加以证明．解析：（１）以Ｄ为原点，建立如图８所示的空间直角坐标系，连接Ｄ１Ｐ，Ｄ１Ａ，ＡＰ，ＡＣ，ＤＢ．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（１，１，０），Ｐ（０，１，ｍ），Ｃ（０，１，０），Ｄ（０，０，０），Ｂ１（１，１，１），Ｄ１（０，０，１）．∴ＢＤ＝（－１，－１，０），ＢＢ１＝（０，０，１），ＡＰ＝（－１，１，ｍ），ＡＣ＝（－１，１，０）．又∵ＡＣ·ＢＤ＝０，ＡＣ·ＢＢ１＝０，∴ＡＣ为平面ＢＤＤ１Ｂ１的一个法向量．再设ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角为θ，则ｓｉｎθ＝ｃｏｓπ２－"θ由题意得２２!·２＋ｍ２!＝ｔａｎθ１＋（ｔａｎθ）２!＝３２!１＋（３２!）２!，解得ｍ＝１３．∴当ｍ＝１３时，直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角的正切值为３２!．（２）若在Ａ１Ｃ１上存在这样的点Ｑ，设此点的横坐标为ｘ，则Ｑ（ｘ，１－ｘ，１），Ｄ１Ｑ＝（ｘ，１－ｘ，０）．依题意，若对任意的ｍ要使Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，则由三垂线定理可知其等价于Ｄ１Ｑ⊥ＡＰ，∴ＡＰ·Ｄ１Ｑ＝０，∴－ｘ＋（１－ｘ）＝０，∴ｘ＝１２，即存在定点Ｑ，且当其为Ａ１Ｃ１的中点时，满足题设要求．三、二面角的求法１．定义法例８如图９所示，正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面边长为３，侧棱ＡＡ１＝３３!２，Ｄ是ＣＢ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＢＣ，求二面角Ｂ１－ＡＤ－ＢＡ１ＢＣＰＡＣ１Ｄ１Ｂ１ＤｙＡ１ＢＣＤＡＣ１Ｄ１Ｂ１学图７ｚ图８!!"#$!#!$!"!!!"#%!#!$!"!$,*ZP的大小．解析：在棱ＡＤ上任取一点Ｅ，使得ＤＥ＝１．作ＥＦ⊥ＡＤ，ＥＨ⊥ＡＤ，分别交ＤＢ１，ＤＢ于点Ｆ，Ｈ，则∠ＦＥＨ为二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的平面角，连接ＦＨ．由题设条件可知∠ＡＤＢ＝３０°，∠ＤＡＣ＝９０°，∴ＥＨ＝３#３．∵ＤＢ１＝ＡＢ１＝ＡＢ２＋ＢＢ１２#＝３７#２，ＡＤ＝３３#，∴ＥＦ＝ＤＥ·ｔａｎ∠ＡＤＢ１＝２３#３，ＤＨ＝ＥＨ２＋ＥＤ２#＝２３#３，ＤＦ＝ＤＥ２＋ＥＦ２#＝２１#３，ｃｏｓ∠ＢＤＢ１＝ＢＤＢ１Ｄ＝２７#７．∴ＨＦ＝ＤＨ２＋ＤＦ２－２ＤＨ·ＤＦ·ｃｏｓ∠ＢＤＢ１#＝１，ｃｏｓ∠ＨＥＦ＝ＥＦ２＋ＥＨ２－ＨＦ２２ＥＦ·ＥＨ＝１２．故二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的大小为６０°．２．三垂线法例９三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，侧面ＰＡＣ与底面ＡＢＣ垂直，ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝３，如图１０所示．（１）求证ＡＢ⊥ＢＣ；（２）如果ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，求侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成二面角的大小．解析：（１）取ＡＣ的中点Ｄ，连接ＰＤ，ＢＤ．∵ＰＡ＝ＰＣ，∴ＰＤ⊥ＡＣ．又已知平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＰＤ⊥平面ＡＢＣ，Ｄ为垂足．∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，∴ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，故可得ＡＣ为△ＡＢＣ外接圆的直径，∴ＡＢ⊥ＢＣ．（２）∵ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，Ｄ为ＡＣ中点，∴ＢＤ⊥ＡＣ．又∵平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＢＤ⊥平面ＰＡＣ，Ｄ为垂足．作ＢＥ⊥ＰＣ于Ｅ，连接ＤＥ．∵ＤＥ为ＢＥ在平面ＰＡＣ内的射影，∴ＤＥ⊥ＰＣ，∴∠ＢＥＤ为所求二面角的平面角．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，∴ＢＤ＝６#．在Ｒｔ△ＰＤＣ中，ＰＣ＝３，ＤＣ＝６#，ＰＤ＝３#，∴ＤＥ＝ＰＤ·ＤＣＰＣ＝３#×６#３＝２#．∴在Ｒｔ△ＢＤＥ９Ａ１ＢＣＦＡＣ１Ｂ１ＨＥＰＡＢＣＤＥ学图１０图)!"&($!("&"%#D)!&("#中，ｔａｎ∠ＢＥＤ＝６"２"＝３"，∴∠ＢＥＤ＝６０°，即侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成的二面角为６０°．３．垂面法在已知的二面角α－ｌ－β中，作棱ｌ的垂面γ，设γ∩α＝ＯＡ，γ∩β＝ＯＢ，则∠ＡＯＢ为二面角α－ｌ－β的平面角．例１０如图１１所示，已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ，ＡＥ⊥ＰＤ，ＥＦ∥ＣＤ，ＡＭ＝ＥＦ．（１）证明：ＭＦ是异面直线ＡＢ与ＰＣ的公垂线；（２）若ＰＡ＝３ＡＢ，求二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角的正弦值．解析：（１）∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＰＡ⊥ＡＢ．又∵ＡＢ⊥ＡＤ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，故可得ＡＢ⊥ＡＥ．∵ＡＭ∥ＣＤ∥ＥＦ，且ＡＭ＝ＥＦ，ＡＭ⊥ＡＥ，∴四边形ＡＥＦＭ为矩形，∴ＡＭ⊥ＭＦ．又∵ＡＥ⊥ＥＦ，ＡＥ⊥ＰＤ，∴ＡＥ⊥平面ＰＥＦ．而ＡＥ∥ＭＦ，∴ＭＦ⊥平面ＰＥＦ，∴ＭＦ⊥ＰＣ，∴ＭＦ是ＡＢ与ＰＣ的公垂线．（２）由（１）可知平面ＰＡＤ垂直于二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的棱ＡＢ，且平面ＭＥ∩平面ＰＡＤ＝ＡＥ，平面ＡＣ∩平面ＰＡＤ＝ＡＤ，则∠ＥＡＤ为二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角．设ＡＢ＝ａ，则ＡＰ＝３ａ．由Ｒｔ△ＡＥＤ∽Ｒｔ△ＰＡＤ，可得∠ＥＡＤ＝∠ＡＰＤ．∴ｓｉｎ∠ＥＡＤ＝ｓｉｎ∠ＡＰＤ＝ＡＤＰＤ＝ａａ２＋（３ａ）２"＝１０"１０．４．公式法例１１如图１２所示，在正方体ＡＣ１中，Ｅ是ＢＣ中点，求二面角Ｄ１－Ｂ１Ｅ－Ｃ１的大小．解析：Ｄ１在平面Ｂ１ＥＣＣ１的射影为Ｃ１，则△Ｄ１Ｂ１Ｅ在平面Ｂ１ＢＣＣ１上的射影为△Ｂ１ＥＣ１．若设正方体棱长为２，则可得Ｂ１Ｅ＝５"，Ｄ１Ｂ１＝２２"，Ｄ１Ｅ＝３，Ｓ△ＢＣＥ＝２，Ｓ△ＤＢＥ＝３，∴ｃｏｓθ＝Ｓ△ＢＣＥＳ△ＤＢＥ＝图１２学ＢＣ１１ＰＥＤＡＦＭ-’图))%"$(./-’$’)-)(()$)"图１３Ｃ１ＣＢＦＢ１ＡＡ１Ｄ１ＥＤｙｘｚ"２３，∴θ＝ａｒｃｃｏｓ２３．５．向量法例１２如图１３所示，在长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ１＝２．Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＥＢ＝ＦＢ＝１．求二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值．解析：以Ａ为原点，ＡＢ，ＡＤ和ＡＡ１分别为ｘ轴，ｙ轴和ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，则有点Ｄ（０，３，０），Ｄ１（０，３，２），Ｅ（３，０，０），Ｆ（４，１，０），Ｃ１（４，３，２）．于是可得ＤＥ＝（３，－３，０），ＥＣ１＝（１，３，２），ＦＤ１＝（－４，２，２）．若设向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）与平面Ｃ１ＤＥ垂直，则可得：ｎ⊥ｎ⊥$%３ｘ－３ｙ＝０ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝$０%ｘ＝ｙ＝－１２ｚ．∴ｎ＝－ｚ２，－ｚ２，&’ｚ＝ｚ２（－１，－１，２），其中ｚ＞０．若取ｎ０＝（－１，－１，２），则ｎ０是与平面Ｃ１ＤＥ垂直的向量．∵向量ＡＡ１与平面ＣＤＥ垂直，∴ｎ０与ＡＡ１所成的角θ就是二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１．∵ｃｏｓθ＝ｎ０·｜ｎ｜·｜｜＝－１×０－１×０＋２×２１＋１＋４(×０＋０＋４(＝６(３，∴ｔａｎθ＝２(２，∴二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值为２(２．ＤＥＥＣ１ＡＡ１ＡＡ１!!!"#"!$$!%!&%学’()"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!"放下松一散步一位胖太太在街上散步，有个陌生的小男孩紧紧地跟着她。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方式:直接平移；中位线平移（尤其是图中显现了中点）：补形平移法。
“补形法”是立体几何中一种常见的方式，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处置，利用"补形法”找两异面直线所成的角也是经常使用的方式之一。
（1）直接平移法4、伍例1如图，PA丄矩形ABCD,已知PA=AB=8,BCJ0，求AD与PC所成角的正切值。
（尊）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面宜线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC,且Z ASB= Z BSC= Z CSA= y , M、N别离是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。
（巧）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。
例3在正方体ABCD -中，E是CC】的中点，求直线AC与EDi所成角的余弦值。
（竺）A ______ G ____二、线而角的兰种求法1 •直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
一般是解由斜线段，垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它能够起到联系各线段的作用。
例1四面体ABCS 中，SA, SB, SC 两两垂直，ZSBA=45°, ZSBC=60°, M 为AB 的中点，求：（1） BC 与 平面SAB 所成的角；（60。
） （2） SC 与平面ABC 所成的角。
（冷-）（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。
作面的垂线常依照面面垂直的性质定理，其 思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2•利用公式sinO = *:其中&是斜线与平面所成的角，力是垂线段的长，/是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
空间角及其求法
空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角图示定义在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（角）叫作异面直线所成角。
斜线与它在平面内的射影所成的锐角。
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
表示异面直线a、b所成角线a与平面所成角范围备注平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？一.用定义求空间角的步骤1.作出所求的空间角<定位>2.证明所作的角符合定义<定性>3.构造三角形并求出所要求角<定量>简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”二典例分析例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。
解析：途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。
通过解△D1EF即可。
途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。
通过解△ＮＧＣ即可。
方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。
常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。
例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.（1）求证：A1p⊥平面AQD；（2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD，设A1p交AR与S，连接SQ即可。
由以上的作法可知即为所求角，只需解三角形SpQ即可。
方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。
由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。
例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。
解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
空间的角求法
空间角求法湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算［例1］在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角. 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG ABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.。
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
求空间角的常用方法
a2
3 2
a
7a 2
EF
FD2 ED2
a 2
2
3 2
a
2
a
PE 2 EF 2 PF 2
cos PEF 2PF·EF
7 2
2
a
a2
a 2
2
2 7 aa
＝
7 4
＋1－
1 4
＝
5
7
2
7
14
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 5 7 14
点评 这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故运用垂面法可顺利找 出二面角的平面角．
即 tan θ1 tan θ2 1
1 tan θ1·tan θ2
x x
亦即
2 1
12
x·x
1
2 12
整理得x2 10x 24 0 解得x1 4，x2 6
故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm． 点评 本题是将两条异面直线的距离转化为异面直线所在的两个平行平面的距离来 解决的．
3.体积法
2.转化法
常用的方法有将线面距离转化为点面距离，将线线距离转化为线面距离或面面
距离．还有，甲点到平面 的距离可以转化为与其相关的乙点到平面 的图1-13，正方体ABCD- A1B1C1D1 的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1 的中心，则O到平面 ABC1D1 的距离为( )．
3
(D) 6 3
解 设O到平面ABC的距离为h． ∵AB，AC，CB的球面距离均为 2
∴∠AOB=∠AOC=∠COB= 2
∵球半径为l， ∴AO=BO=CO=1，AB=AC=BC= 2
· ∴
VO ABC
空间角的概念与计算
空间角的概念与计算在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。
而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。
本文将介绍空间角的概念及其计算方法。
一、空间角的概念空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。
在二维空间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。
具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。
其中，θ=0时表示a和b共线，θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。
二、空间角的计算1. 余弦定理计算空间角余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的值。
2. 向量叉积计算空间角另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)其中，×表示矢量的叉积。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。
三、实例演示下面通过一个实例来演示如何计算空间角。
假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。
我们希望计算出它们之间的空间角θ。
首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)= (4 + 10 + 18) / √14 × √77= 32 / √1078 ≈ 0.979然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
空间角的求法
AE (0,1, 2), CN (2,0,1)
2 ∴异面直线 AE 和 CN 所成的角的余弦值为 5
方法提炼
求二面角的方法比较多，常见的有
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义作图. （2）垂线法：是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱． ②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线 (往往先找 垂面再找垂线)． ③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线， 连结垂足与另一 个端点，所得到的角( 或其补角)就是该二面角的平面角． ④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．例第（ 4）的解 法一 （3） 垂面法 ： 通过做二面角的棱的垂面， 两条交线所成的角即为平面角， 例第（4 ）的解法二
（垂面法）取 A1D1 的中点 K，连结 EK，GK
A1
K
D1 O1
C1
E
B1 N
D A
G
R
O B
C F
例 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中， E 、F 、 G 、N 分别是 A 1B1、BC、DC、BB1 的中点 （3）求二面角 E-GF-A 的余弦值．
（垂面法） 在平面 ACC1A1 内过点 O1 作 O1R⊥AC 于点 R， 则 O1R∥AA1 且 O1R∥AA1， 在 Rt△ O1OA 中， 1 1 O1R=2，RO= AC = ? 2 2 2 2 OO1= OR + RO = ∴cos∠O1OA=
D1
变式： 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C 1D1 中，E 、 F 、G 、N 分别是 A 1B1 、BC、DC、BB1 的中点 （1）求异面直线 A 1C 1 和 GF 所成的角． （2）在棱 BB1 上是否存在一点 P ，使得二面角 P-AC-B 的大小 为 30°，求出 BP 的长，请说明理由． （3） 点 S 在线段 A1D1 上运动 ,当 AC 与平面 SCD 所成的角为 450 时,求二面角 A-SB-C 的大小. D
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(1) 求直线EG与B1F所成角的正切值；
(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角的余弦值；
(3) 求面B1EDF与面ABCD所成的角的正弦值.
A1
F
D1
B1
C1
A
G
D
B
E
C
(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角的余弦值； (3) 求面B1EDF与面ABCD所成的角的正弦值.
垂线
H
N
5、在正四面体A-BCD中， （1）求异面直线AB与CD所成角的大小； （2）求AD与平面BCD所成角的大小。
范围： θ∈（00 , 900 ]
直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的 锐角，叫做这条直线和平面所成的角，简称线面角。
特别地，若 l ，则 l与 所成的角是直角，若
l 或 l / / ，则 l与 所成的角是0º的角。
Al
范围： θ∈[ 00 , 900 ]
方法：射影转换法
垂面法
射影法 A
B
D
O
C
归纳： 转化
1.数学思想：空间问题 平面问题
2.数学方法： a.求异面直线所成的角：
平移 构造可解三角形
b.求直线与平面所成的角：
找（或作）射影
构造可解三角形
பைடு நூலகம்
c.求二面角：
找（或作）其平面角 构造可解三角形
例 题 ： 在 棱长 为 a的正 方体 ABCD-A1B1C1D1中， E,F,G分别是BC,A1D1,AD的中点.
oθ B
α
关键：抓垂足和斜足，
找斜线的射影
二面角及平面角
二面角：从一条直线出发的两个半平 面所形成的图形叫做二面角。
二面角及平面角
二面角的平面角：以二面角的棱上任意一
点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的
两条射线，两条射线所成的角叫做二面角
的平面角。
定义法
A
l
O
B
二面角及平面角
垂线法
二面角及平面角
课堂小结： 转化
1.数学思想：空间问题 平面问题
2.数学方法： a.求异面直线所成的角：
平移 构造可解三角形
b.求直线与平面所成的角：
找（或作）射影
构造可解三角形
c.求二面角：
找（或作）其平面角 构造可解三角形
2014年长沙市教师教育技术能力培训汇报课
执教：南雅中学 朱彬
异面直线所成的角 直线与平面所成角 平面与平面所成角
异面直线所成的角
对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作
直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
bˊ
b
.
θ
aˊ
o
o
α
α
a