离散数学自然数和归纳法概念和例题讲解
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∪ ( n＋ ) ＋ = ∪ ( n＋∪{ n＋ } ) = ( ∪ n＋ ) ∪ (∪{ n＋ } ) = n ∪ n＋ = n＋ 。
所以 n＋∈S 。 由自然数集合 N 归纳定义法的 iii), 由 1) 和 2) 即知 S = N。
按上述方法构造出来的自然数系统 ＜N, +, ·＞ 满足以下的 皮亚诺 ( Peano ) 公理：
m ·0 = 0
+
+
+
引理 2 若 n∈ N，则 ∪ n＋ = n 。
证明：令 S = { n｜n∈N 且 ∪n＋ = n } 显然 S N 。 为证明 S = N ，只需 验证 S 满足： 1) 0∈S。因为 0∈N 且 ∪0＋ = ∪＋ = ∪{ } = = 0。 2) 若 n∈S，则 n∈N 且 ∪n＋ = n。因此有 n＋∈N ，此外
自然数集合 N（归纳定义法）
i) 0∈N， 这里 0 = ； ii) 若 n∈ N ，则 n＋∈ N ； iii) 若 S N 满足
1) 0∈S 2) 如果 n∈S, 则 n+∈S 则 S = N。
（极小化）
大于/小于、加法、乘法
对每个自然数 n∈ N ，皆有 n∈n＋ 及 n n＋，据此有:
构造自然数系统＜N，+，·＞
冯 • 诺依曼（Von Neumann）方案： 0= 1 = 0+ = { } = { 0 } 2 = 1+ = { , { } } = { 0, 1 } 3 = 2+ = { , { }, { , { Βιβλιοθήκη Baidu} } } = { 0, 1, 2 }
n+1 = n+ = = { 0, 1, , n }
（2）对于任意的m∈N,假定P(m)是真,即P(m)： m<2m.
离散数学 自然数和归纳法概
念和例题讲解
主要概念： 集合的后继 主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法
自然数的引进方法
① 公理化方法：皮亚诺公理（G. Peano）； ② 构造性方法：借助集合论，具体构造出 N。
自然数构造的出发点
1) 自然数的各种性质 ( 运算、大小次序 及 基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；
数学归纳法是论域为自然数集合的推理规则，可形式 表达如下：
P(0) (n) ( P(n) P(n+1) ) (n) P(n)
设k是某个自然数，如果要证明谓词P(x)对所有x≥k的自 然数成立，则上述原理可写成：
P(k) (n)(nk P(n)P(n+1)) (x)(xkP(x))
第一、第二归纳法
2) 证明构造出来的 “自然数” 满足Peano公理，因此 具有普通自然数的一切性质。
集合的后继
定义8.2 (后继集合) 对于任意集合 A，其后继集合 A+ 定义为：A+ = A ∪ { A } 。
• 每个集合都有唯一的一个后继。
引理 1 设 A 为任意集合， 则 i) ＋ = { } ； ii) { }＋ = { , { } }； iii) A ∈ A＋； iv) A A＋； v) A＋ ≠ 。
对任意 n N ，令 N n = N – Nn = { n, n+1, n+2, }
第二数学归纳法： 第二数学归纳法是一种更强形式的数学归纳法，
它在证明对所有自然数x ，P(x)为真时，使用下述步骤： 假设对所有k<n， P(k)是真，推出P(n)为真，则
(x)P(x)为真。即 (n)((k)(k<nP(k)) P(n) )(x)P(x).
上述推论前提中包含了P（0）为真。因为把n=0代入上 式后， k<0P(k)为真，推出(k)(k<0P(k))为真， (k)(k<0P(k)) P(0) 等价于P(0) 。因此两个原理的 假设是等价的。
例8.1：证明n<2n
证明： 设P(n)：n<2n （1）对于n=0, P(0)：0<20=1,因此P(0)为真.
（1）传递性：若 n1∈n2 且 n2∈n3 , 则 n1∈n3 。
（2）三歧性：对于任何两个自然数 n1，n2，下列三式 恰有一个成立：n1∈n2 , n1 = n2 , 或 n2∈n1 。
（3）良基性：不存在一个自然数的无穷递降序列 n1, n2, n3 , … , ni , ni+1 , … 使得 ni+1∈ ni 。
定义 8.4 若 m, n∈N 使 m∈n, 则称 m小于n ( 或 n大于m ), 记为 m＜n ( 或 n＞m)。
“小于” 关系 ＜是自然数集 N上的反自反、反对称、传
递
的二元关系
可以用归纳定义法在 N 上定义 “ + ” 与 “ ·” 如下 ：
[加法/乘法] 对任意的 n, m∈ N ，令
i) m + 0 = m，
n = ∪n+ = ∪m+ = m 。
Peano公理说明： （1）0 是自然数； （2）每一个自然数 n 都有一个确定的后继数 n + ； （3）没有以 0 为后继的自然数； （4）每一个自然数 n 的后继 是唯一的； （5）自然数集合是 满足 1)、2) 条件的极小集合。
性质 8.1（作为集合的自然数的性质）:
由自然数的定义可知，对于每一个自然数，比它小的 自然数总是有穷个，并且 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ ……
……
0 1 2 3
Peano公理(5)的极小化就是自然数集合定义中的极小化, 是数学归纳法的基础。下面给出一个等价的数学归纳法:
数学归纳法（第一数学归纳法）： 设 P (n) 是自然数集合上的性质(或 谓词), 如果能证明 1) P(0) 是真； 2) 对任何 n∈N, P (n) P (n+ )。 则对所有 n∈N, P (n) 为真。
P1：0∈ N ；
P2：若 n∈ N ，则有唯一的后继 n＋∈ N ； P3：若 n∈ N ，则 n＋ ≠ 0； P4：若 n, m∈N 且 n＋ = m＋， 则 n = m；
P5：若 S N 满足 i) 0∈S ii) 如果 n∈S，则 n＋∈S
则 S=N。
（归纳原理）
证明： P1，P2 和 P5 分别为自然数集 N 归纳定义法的 i), ii) 和 iii)。 P3 可以从引理 1 的 v) 直接推导出来。 P4：若 n, m N 且 n+ = m+ ， 则由 引理 2 可得：
所以 n＋∈S 。 由自然数集合 N 归纳定义法的 iii), 由 1) 和 2) 即知 S = N。
按上述方法构造出来的自然数系统 ＜N, +, ·＞ 满足以下的 皮亚诺 ( Peano ) 公理：
m ·0 = 0
+
+
+
引理 2 若 n∈ N，则 ∪ n＋ = n 。
证明：令 S = { n｜n∈N 且 ∪n＋ = n } 显然 S N 。 为证明 S = N ，只需 验证 S 满足： 1) 0∈S。因为 0∈N 且 ∪0＋ = ∪＋ = ∪{ } = = 0。 2) 若 n∈S，则 n∈N 且 ∪n＋ = n。因此有 n＋∈N ，此外
自然数集合 N（归纳定义法）
i) 0∈N， 这里 0 = ； ii) 若 n∈ N ，则 n＋∈ N ； iii) 若 S N 满足
1) 0∈S 2) 如果 n∈S, 则 n+∈S 则 S = N。
（极小化）
大于/小于、加法、乘法
对每个自然数 n∈ N ，皆有 n∈n＋ 及 n n＋，据此有:
构造自然数系统＜N，+，·＞
冯 • 诺依曼（Von Neumann）方案： 0= 1 = 0+ = { } = { 0 } 2 = 1+ = { , { } } = { 0, 1 } 3 = 2+ = { , { }, { , { Βιβλιοθήκη Baidu} } } = { 0, 1, 2 }
n+1 = n+ = = { 0, 1, , n }
（2）对于任意的m∈N,假定P(m)是真,即P(m)： m<2m.
离散数学 自然数和归纳法概
念和例题讲解
主要概念： 集合的后继 主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法
自然数的引进方法
① 公理化方法：皮亚诺公理（G. Peano）； ② 构造性方法：借助集合论，具体构造出 N。
自然数构造的出发点
1) 自然数的各种性质 ( 运算、大小次序 及 基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；
数学归纳法是论域为自然数集合的推理规则，可形式 表达如下：
P(0) (n) ( P(n) P(n+1) ) (n) P(n)
设k是某个自然数，如果要证明谓词P(x)对所有x≥k的自 然数成立，则上述原理可写成：
P(k) (n)(nk P(n)P(n+1)) (x)(xkP(x))
第一、第二归纳法
2) 证明构造出来的 “自然数” 满足Peano公理，因此 具有普通自然数的一切性质。
集合的后继
定义8.2 (后继集合) 对于任意集合 A，其后继集合 A+ 定义为：A+ = A ∪ { A } 。
• 每个集合都有唯一的一个后继。
引理 1 设 A 为任意集合， 则 i) ＋ = { } ； ii) { }＋ = { , { } }； iii) A ∈ A＋； iv) A A＋； v) A＋ ≠ 。
对任意 n N ，令 N n = N – Nn = { n, n+1, n+2, }
第二数学归纳法： 第二数学归纳法是一种更强形式的数学归纳法，
它在证明对所有自然数x ，P(x)为真时，使用下述步骤： 假设对所有k<n， P(k)是真，推出P(n)为真，则
(x)P(x)为真。即 (n)((k)(k<nP(k)) P(n) )(x)P(x).
上述推论前提中包含了P（0）为真。因为把n=0代入上 式后， k<0P(k)为真，推出(k)(k<0P(k))为真， (k)(k<0P(k)) P(0) 等价于P(0) 。因此两个原理的 假设是等价的。
例8.1：证明n<2n
证明： 设P(n)：n<2n （1）对于n=0, P(0)：0<20=1,因此P(0)为真.
（1）传递性：若 n1∈n2 且 n2∈n3 , 则 n1∈n3 。
（2）三歧性：对于任何两个自然数 n1，n2，下列三式 恰有一个成立：n1∈n2 , n1 = n2 , 或 n2∈n1 。
（3）良基性：不存在一个自然数的无穷递降序列 n1, n2, n3 , … , ni , ni+1 , … 使得 ni+1∈ ni 。
定义 8.4 若 m, n∈N 使 m∈n, 则称 m小于n ( 或 n大于m ), 记为 m＜n ( 或 n＞m)。
“小于” 关系 ＜是自然数集 N上的反自反、反对称、传
递
的二元关系
可以用归纳定义法在 N 上定义 “ + ” 与 “ ·” 如下 ：
[加法/乘法] 对任意的 n, m∈ N ，令
i) m + 0 = m，
n = ∪n+ = ∪m+ = m 。
Peano公理说明： （1）0 是自然数； （2）每一个自然数 n 都有一个确定的后继数 n + ； （3）没有以 0 为后继的自然数； （4）每一个自然数 n 的后继 是唯一的； （5）自然数集合是 满足 1)、2) 条件的极小集合。
性质 8.1（作为集合的自然数的性质）:
由自然数的定义可知，对于每一个自然数，比它小的 自然数总是有穷个，并且 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ ……
……
0 1 2 3
Peano公理(5)的极小化就是自然数集合定义中的极小化, 是数学归纳法的基础。下面给出一个等价的数学归纳法:
数学归纳法（第一数学归纳法）： 设 P (n) 是自然数集合上的性质(或 谓词), 如果能证明 1) P(0) 是真； 2) 对任何 n∈N, P (n) P (n+ )。 则对所有 n∈N, P (n) 为真。
P1：0∈ N ；
P2：若 n∈ N ，则有唯一的后继 n＋∈ N ； P3：若 n∈ N ，则 n＋ ≠ 0； P4：若 n, m∈N 且 n＋ = m＋， 则 n = m；
P5：若 S N 满足 i) 0∈S ii) 如果 n∈S，则 n＋∈S
则 S=N。
（归纳原理）
证明： P1，P2 和 P5 分别为自然数集 N 归纳定义法的 i), ii) 和 iii)。 P3 可以从引理 1 的 v) 直接推导出来。 P4：若 n, m N 且 n+ = m+ ， 则由 引理 2 可得：