多项式插值理论

第六章 多项式插值理论

一、区间[a , b ]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法)

① 对无限维函数空间的一个元素f (x ) 进行逼近，关于f (x ) 的情况仅知道一部分

(1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程)

② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: ⎪⎩

⎪⎨

⎧、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321

③ 选择n X 中的元素)()(~x P x f n 或，在一定的约束条件下，使)(~

x f 良好的逼近()x f ,

即 令)(~

x f = n n c c c φφφ+++ 2211关于()x f 在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。 ④ 良好逼近的判断

ε<-f f ~

e .g . Tchebychef

f 范数，|| f || = |)(|max x f b

x a ≤≤ 称为一致逼近。

⑤ 约束条件: （依据对()x f 的了解来确定）

i / 插值约束

)()(~

i i x f x f = 1n i ≤≤ i x ∈ (a , b ) 且i x 互不相同；

ii / 插值与光滑性混合约束

(1)、 )()(~

i i x f x f = 1k i ≤≤ i x ∈(a , b ) 且i x 互不相同

(2)、 )()(~

i i x f x f '=' 1k i ≤≤ i x ∈(a,b) 且互不相同

(3)、 )(~

x f 的二阶导数存在

iii / 变分约束 （以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数

满足某些控制方程）

依据|| f -f ~||在n X 中为最小的条件，即确定常数n c c c 21, 使f ~

的解由下列形式的极小化问题得到：

|| f -0f ~|| = min{|| f -f ~||：f ~

n X ∈}

Note ：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。 iv / 正交约束

根据f -f ~

与n 个给定基函数)(,),(),(21x x x n φφφ 的正交条件，确定常数：

i c , 1n i ≤≤。即

< f -f ~

,0)()](~

)([=->=

⎰

dx x x f x f i b

a

i φφ 1n i ≤≤

{}n n Span X φφφ,,,21 =

这是Galerkin 方法的基础。

Note :

1）、约束条件可组合使用，如在有限元的计算中，构造位移形状函数时，应用插值或光

滑性约束条件与变分约束的组合。

2）、仅对插值约束问题，实际构成求解下列方程组：

⎪⎩⎪

⎨

⎧=+++=+++)

()()()()

()()()(221

111212111n n n n n n n n x f c x c x c x x f c x c x c x φφφφφφ 3）、若选取X n = Span {n x x x ,,,,12 } 则称为Lagrange 多项式插值。 二 、Lagrange 多项式插值

1、多项式插值的一般定理

Weierstrass （维尔斯托拉斯）定理：

设[a , b ]为任意给定的闭区间，ε为任意小常数，f (x )为 [a ,b ]上的任意连续函数，则

必存在一定的多项式P n (x ) 使得, || f - P n ||<ε，|| · || 为切比雪夫型范数。 Bernstein （伯恩斯坦）给出下列n P 形式，可对任意连续函数f (x ) 进行一致逼近。 k n k n

k n x x h n k f k n x P -=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑)1()()(0 ； n a b h -=（等距离配点）

感兴趣的问题：

① 若节点x 0，x 1, …… , x n 不断增多，P n 的阶次也随之增大，在保证∞→n ，

()()ε<-x P x f n 时，使逼近的光滑性变差，多项式出现“摆振”特性，从而使

计算性质劣化，故一般不要选得阶次太高。

② 在不改变节点数n 的情况下，可改变节点位置的配置，使得在一定范数条件下，

获得对f (x )的最佳逼近。例如选择n 个有规则的不等距配点，可使

()()2

210b

n n a

f x P x dx --=⎡

⎤⎣⎦⎰ 2、Lagrange 插值定理

在n +1个不相等的实数n x x x <<< 10上，取被规定值的n 次多项式P n (x ) 是存在且唯一的。意思是说，不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数，结果都是唯一的，都可化为统一的形式。这样，就有Lagrange 插值的标准基函数（Canonical Base Function ）:

11001101()()

()()()()()

()()()()()()()

()()()

()

n

n i i i i i n i i i i i i i i n i n p f x l x x x x x x x x x w x l x x x w x x x x x x x x x w x x x x x x x =-+-+=----=

='-----=---∑

① 第i 个基函数在x i 点取值为 1，在 x j ( j ≠i )的点取值为 0，即 ② 在区间 [a ,b ]上为 n 次多项式。

③ P n 为基函数的线性组合，其系数为被插函数在型值点的函数值。（仅有典则基有此性

质）。

④ {}n l l l ,,,10 称为n 次多项式线性空间上的典则基。

⑤ 还有许多多项式基函数，如{1，x ,…x n

}（并不满足插值系数就是函数点值的性质）；

再如：正交多项式基：Legender 或 Tchebycheff 基等。正交多项式可类比Euchilid 几何空间上的正交坐标轴，在那里几何上的正交性是自然的；在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性，如带权正交基函数定义为：

()

()⎩⎨⎧≠=∞<=>=<⎰j i j i dx b

a

j i j i 0,φρφφφ

⑥ 计算时如何选择基，则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定；在插值时

用典则基比较方便。

注意：这里并不是分片插值基函数，而是全域上的；分片插值见下段。 3、误差估计（包括这种误差估计式） 4、分段拉氏插值

有上节所述，多项式在整个区间[ a ,b ]上插值，随着节点的增多（n →∞, h →0）会使逼近函数的图形产生激烈的起落（也与型值有关）。这是不希望的，克服的办法采用分段插值，

l i (x

()()

⎩⎨

⎧≠===j i j i x l ij

j i 01)(δ