多项式插值理论

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第六章 多项式插值理论

一、区间[a , b ]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法)

① 对无限维函数空间的一个元素f (x ) 进行逼近,关于f (x ) 的情况仅知道一部分

(1、若干点的函数值或导数值已知; 2、满足一些控制方程)

② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: ⎪⎩

⎪⎨

⎧、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321

③ 选择n X 中的元素)()(~x P x f n 或,在一定的约束条件下,使)(~

x f 良好的逼近()x f ,

即 令)(~

x f = n n c c c φφφ+++ 2211关于()x f 在插值区间上有不大的误差(包括一定的光滑性逼近)。 ④ 良好逼近的判断

ε<-f f ~

e .g . Tchebychef

f 范数,|| f || = |)(|max x f b

x a ≤≤ 称为一致逼近。

⑤ 约束条件: (依据对()x f 的了解来确定)

i / 插值约束

)()(~

i i x f x f = 1n i ≤≤ i x ∈ (a , b ) 且i x 互不相同;

ii / 插值与光滑性混合约束

(1)、 )()(~

i i x f x f = 1k i ≤≤ i x ∈(a , b ) 且i x 互不相同

(2)、 )()(~

i i x f x f '=' 1k i ≤≤ i x ∈(a,b) 且互不相同

(3)、 )(~

x f 的二阶导数存在

iii / 变分约束 (以下两种约束不再具有严格的插值含义,这里可能仅知道被插函数

满足某些控制方程)

依据|| f -f ~||在n X 中为最小的条件,即确定常数n c c c 21, 使f ~

的解由下列形式的极小化问题得到:

|| f -0f ~|| = min{|| f -f ~||:f ~

n X ∈}

Note :这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2-范数,可能是某种内积定义的范数;这也是固体力学求近似解的基本方法(如,有限元就是能量的变分)。 iv / 正交约束

根据f -f ~

与n 个给定基函数)(,),(),(21x x x n φφφ 的正交条件,确定常数:

i c , 1n i ≤≤。即

< f -f ~

,0)()](~

)([=->=

dx x x f x f i b

a

i φφ 1n i ≤≤

{}n n Span X φφφ,,,21 =

这是Galerkin 方法的基础。

Note :

1)、约束条件可组合使用,如在有限元的计算中,构造位移形状函数时,应用插值或光

滑性约束条件与变分约束的组合。

2)、仅对插值约束问题,实际构成求解下列方程组:

⎪⎩⎪

⎧=+++=+++)

()()()()

()()()(221

111212111n n n n n n n n x f c x c x c x x f c x c x c x φφφφφφ 3)、若选取X n = Span {n x x x ,,,,12 } 则称为Lagrange 多项式插值。 二 、Lagrange 多项式插值

1、多项式插值的一般定理

Weierstrass (维尔斯托拉斯)定理:

设[a , b ]为任意给定的闭区间,ε为任意小常数,f (x )为 [a ,b ]上的任意连续函数,则

必存在一定的多项式P n (x ) 使得, || f - P n ||<ε,|| · || 为切比雪夫型范数。 Bernstein (伯恩斯坦)给出下列n P 形式,可对任意连续函数f (x ) 进行一致逼近。 k n k n

k n x x h n k f k n x P -=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑)1()()(0 ; n a b h -=(等距离配点)

感兴趣的问题:

① 若节点x 0,x 1, …… , x n 不断增多,P n 的阶次也随之增大,在保证∞→n ,

()()ε<-x P x f n 时,使逼近的光滑性变差,多项式出现“摆振”特性,从而使

计算性质劣化,故一般不要选得阶次太高。

② 在不改变节点数n 的情况下,可改变节点位置的配置,使得在一定范数条件下,

获得对f (x )的最佳逼近。例如选择n 个有规则的不等距配点,可使

()()2

210b

n n a

f x P x dx --=⎡

⎤⎣⎦⎰ 2、Lagrange 插值定理

在n +1个不相等的实数n x x x <<< 10上,取被规定值的n 次多项式P n (x ) 是存在且唯一的。意思是说,不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数,结果都是唯一的,都可化为统一的形式。这样,就有Lagrange 插值的标准基函数(Canonical Base Function ):

11001101()()

()()()()()

()()()()()()()

()()()

()

n

n i i i i i n i i i i i i i i n i n p f x l x x x x x x x x x w x l x x x w x x x x x x x x x w x x x x x x x =-+-+=----=

='-----=---∑

① 第i 个基函数在x i 点取值为 1,在 x j ( j ≠i )的点取值为 0,即 ② 在区间 [a ,b ]上为 n 次多项式。

③ P n 为基函数的线性组合,其系数为被插函数在型值点的函数值。(仅有典则基有此性

质)。

④ {}n l l l ,,,10 称为n 次多项式线性空间上的典则基。

⑤ 还有许多多项式基函数,如{1,x ,…x n

}(并不满足插值系数就是函数点值的性质);

再如:正交多项式基:Legender 或 Tchebycheff 基等。正交多项式可类比Euchilid 几何空间上的正交坐标轴,在那里几何上的正交性是自然的;在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性,如带权正交基函数定义为:

()

()⎩⎨⎧≠=∞<=>=<⎰j i j i dx b

a

j i j i 0,φρφφφ

⑥ 计算时如何选择基,则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定;在插值时

用典则基比较方便。

注意:这里并不是分片插值基函数,而是全域上的;分片插值见下段。 3、误差估计(包括这种误差估计式) 4、分段拉氏插值

有上节所述,多项式在整个区间[ a ,b ]上插值,随着节点的增多(n →∞, h →0)会使逼近函数的图形产生激烈的起落(也与型值有关)。这是不希望的,克服的办法采用分段插值,

l i (x

()()

⎩⎨

⎧≠===j i j i x l ij

j i 01)(δ

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