(完整版)中职数学平面向量教案

复习引入：

新授： 1. 向量的概念

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c

,...等．

如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．

向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c

|,...．

特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．

为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．

由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．

例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？

课内练习1

1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？

c

a

图7-2(1)

b D C

图7-2(2)

B

A

B 1

C 1

2. 向量的比较

(1)向量相等

任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a≠b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a≠b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，

更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．

若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．

(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；

(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？

(2)相反向量

对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：

AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、

(3)平行向量

若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．

规定零向量平行于任意向量.

根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．

课内练习2

1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？

2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？

3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在

物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物

体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理

的解释．第3题图

F1

新授：

(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．

向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．

与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．

在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．

解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))

(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的

始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．

解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从

图

9-9(1)

图

9-9(2)

图9-10(3)

a

b

• b

c

图9-10(2)

a

b

图9-10(1)

图9-12

a

b

d

c a

b

c

d

f