连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
连续周期信号的频谱
2
2
x(t)
3 0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
x(t)
3 0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30
0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30
0
0 0
302Leabharlann 4连续周期信号的频谱
~x(t) A
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
T0
O
T0
t
2
2
周期矩形信号的时域波形
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
~x(t)
解：周期矩形信号在一个周期内的定义为：
A
A,
x(t)
0 ,
|t|
2
|t|>
2
1
Cn T0
T0 2
x(t)e jn0tdt
T0
2
1 T0
T0
2 A e jn0tdt
T0 2
T0
O
T0
t
2
2
连续频域分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解连续频域分析的基本概念和原理。
2. 掌握连续信号的傅里叶变换及其性质。
3. 学会使用MATLAB进行连续信号的频域分析。
4. 通过实验加深对连续信号频域特性的理解。
二、实验原理连续信号的频域分析是信号与系统分析中的重要内容，它可以将信号从时域转换到频域，便于分析和处理。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以将任何连续时间信号分解为一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫ f(t) e^(-jwt) dt其中，F(w)表示信号的频谱，f(t)表示信号，w表示频率，j表示虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有许多性质，如时移性、频移性、尺度变换、卷积定理等，这些性质可以简化信号的频域分析。
3. MATLAB函数：MATLAB提供了丰富的函数用于连续信号的频域分析，如fourier函数用于计算信号的傅里叶变换，ifourier函数用于计算信号的傅里叶逆变换等。
三、实验内容1. 实验一：信号傅里叶变换（1）输入一段连续信号，如正弦波、方波等。
（2）使用fourier函数计算信号的傅里叶变换。
（3）绘制信号的时域波形和频谱图，观察信号的频谱特性。
2. 实验二：信号时移和频移（1）对实验一中的信号进行时移和频移操作。
（2）观察信号的时域波形和频谱图的变化，验证傅里叶变换的时移性和频移性。
3. 实验三：信号尺度变换（1）对实验一中的信号进行尺度变换操作。
（2）观察信号的时域波形和频谱图的变化，验证傅里叶变换的尺度变换性。
4. 实验四：信号卷积（1）输入两个连续信号，如矩形脉冲信号、三角脉冲信号等。
（2）使用conv函数计算两个信号的卷积。
（3）绘制信号的时域波形和频谱图，观察信号的卷积特性。
四、实验结果与分析1. 实验一：通过实验，我们得到了信号的时域波形和频谱图，可以看出信号的频谱特性与信号的时域特性密切相关。
精品课件-信号、系统分析与控制(MATLAB版)-第4章 连续信号的频域分析
（1）在调用函数fourier()及ifourier()函数之前，要用syms命令对 所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量 说明成符号变量。对fourier( )中的f及ifourier( )中的F也要用 符号定义符sym将其说明为符号表达式。
（2）采用fourier()及fourier( )得到的返回函数，仍然为符号表达
• 1. 线性
F[ax(t) by(t)] aF[x(t)] bF[ y(t)] aX () bY()
• 设a、b为常数，则 （4.2.3）
• 利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若F[ 干x(t 基t0 )本] e信 jt0号X (之) 和。
• 2. 时移（时延）
• 时延（移）性说明波形在时间轴上的F时1[X延(。 设0 )] etj00t x为(t) 实常数，则
称为复数频谱。周期信号复数频谱图的特点如下： n （1）用指数函数展开的周期信号，为双边频谱图，
n
即频谱线左右对称于0频率（即直流分量），
出现在频率的正负半轴。其双边频谱图，如图4-1-3和图4-1-7所示。
（2）引入了负频率变量X-n，它没有物理意义，只是数学推导，负半 轴频上率2的。π 谱只线有是把复正数、共负轭频部率分项，成与对正地半合轴并对起应来的，谱才线是B 共实2同际π 合的成频实谱际函的数。 每个分 量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半， 即每个分量的幅度是正、负频率之和。
■
第4页
2. 连续周期三角波信号
• 周期三角波1信x(t)号如图4-1-C4所n 示，(傅n4里)j2叶sin级( n数2展) 开得：n 0
-2 -1 0 1 2 -1
t
0
连续时间信号的频域分析及Matlab实现
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2
fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
连续周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
连续周期信号的频域分析_第一节连续时间信号的傅里叶级数展开、第二节傅里叶级数的基本性质
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
1
频域
频域（frequency domain）即频率域，是 指在对函数或信号进行分析时，分析其和 频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以 显示信号如何随着时间变化，而信号在频 域下的图形（一般称为频谱）可以显示信 号分布在哪些频率及其比例。
2
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲Hale Waihona Puke 信号的线性组合f (t )
f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号 2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或 复指数信号的线性组合 利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
3
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
0, i j i t j t dt K 0, i j t1
*
7
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集
2.信号分解为正交函数
完备正交函数集
如果在正交函数集 1 t ,2 t ,...,n t 之外不存在函数
t2 * t i t dt 0 t1
2 t2 n
2
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，
2 写为： Ci Ci t2 2 2 2 C f ( t ) ( t ) C i i i (t ) dt 0 i t1
即
2 f (t )i (t )dt 2Ci i2 (t )dt 0
上的完备正交函数集。
4_3 连续周期信号的频谱
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析周期信号是指具有固定周期的信号，即在其中一时间区间内重复出现的信号。
对于周期信号的时域分析，主要包括以下几个方面：1.周期：周期信号的主要特征是具有固定的周期。
周期可以通过观察信号的周期性重复来确定，也可以通过计算信号的基波频率的倒数得到。
2.幅值：周期信号的幅值是指信号在各个周期中的最大值或最小值。
幅值可以表示信号的强度或振幅大小。
3.相位：周期信号的相位是指信号相对于一些参考点的位置。
相位可以用角度或时间来表示，通常用角度表示。
4. 周期谐波分解：周期信号可以用一组基本波形的线性组合来表示，这组基本波形称为谐波。
周期信号的谐波分解可以用Fourier级数展开来实现。
Fourier级数展开将周期信号分解为基频和各个谐波的叠加，其中基频是周期信号的最低频率分量，谐波是基频的整数倍。
对于周期信号的频域分析，主要包括以下几个方面：1.频谱：频谱是指信号的频率成分及其强度。
周期信号的频谱通常是离散的，只包含基波和谐波成分。
2.频率分量：频率分量是指信号中的各个频率成分。
周期信号中的频率分量由基频和谐波组成。
3.谱线：谱线是频谱图中的一条直线，代表一些频率成分的强度。
周期信号的谱线通常为离散的峰值。
4.谱分辨率：谱分辨率是指频谱分析能够区分不同频率分量的能力。
谱分辨率取决于采样频率和频率分辨率。
频域分析可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换能够将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。
对于周期信号，可以使用傅里叶级数展开来进行频域分析，得到信号的频率成分及其强度。
综上所述，周期信号的时域分析主要关注周期、幅值和相位等特征，而频域分析则关注频率成分及其强度。
通过时域及频域分析，可以深入理解周期信号的性质和特点，从而更好地理解和处理周期信号。
信号与系统基础-第4章
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
实验3-信号的频域分析
一，实验目的四，心得体会了解信号频谱和信号频域，掌握其特性。
一，实验原理实验主要分为四个部分，分别分析了连续和离散信号的周期、非周期情况下特性。
1.连续周期信号的频谱分析首先手算出信号的傅里叶级数，得出信号波形，然后通过代码画出信号波形图。
2.连续非周期信号的频谱分析先由非周期信号的时域信号得到它的频谱X（w），再通过MATLAB求出其傅里叶变换并绘出图形。
X=fourier(x)x=ifourier(x)①符号运算法syms t②数值积分法quad（fun，a，b）③数值近似法3.离散周期信号的频谱分析X=fft（x）4.离散非周期信号的频谱分析可以化为两个相乘的矩阵，从而由MATLAB实现。
三，实验内容（1）已知x（t）是如图周期矩形脉冲信号。
1）.计算该信号的傅里叶级数。
2）.利用MATLAB绘出由前N次谐波合成的信号波形，观察随着N的变化合成信号波形的变化规律。
3）.利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
思考下列问题：①什么是吉伯斯现象？产生吉伯斯现象的原因是什么？②以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号的频谱有什么特点。
③周期矩形脉冲信号参数τ/T的变化，其频谱结构（如频谱包络形状、过零点、频谱间隔等）如何变化？（2）已知x（t）是如图所示矩形脉冲信号。
1）.求该信号的傅里叶变幻。
2）. 利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
3）. 让矩形脉冲宽度始终等于一，改变矩形脉冲宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱随矩形脉冲宽度的变化趋势。
①比较矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的频谱，两者之间有何异同。
②让矩形脉冲的面积始终等于一，改变矩形脉冲的宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱波形随矩形脉冲宽度的变化趋势。
（1）已知x（t）是如图所示的周期矩形脉冲信号①，计算该信号的傅里叶级数答：由图中x（t）波形可知信号为通过计算，可以知道所以x（t）的傅里叶级数为。
实验二连续时间信号的频域分析
实验⼆连续时间信号的频域分析实验⼆连续时间信号的频域分析⼀、实验⽬的1、掌握连续时间周期信号的傅⾥叶级数的物理意义和分析⽅法；2、观察截短傅⾥叶级数⽽产⽣的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产⽣的原因；3、掌握连续时间傅⾥叶变换的分析⽅法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间⾮周期信号的频谱特征以及傅⾥叶变换的主要性质；5、学习掌握利⽤Matlab 语⾔编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利⽤这些程序对⼀些典型信号进⾏频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若⼲重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅⾥叶变换的物理意义，掌握信号的傅⾥叶变换的计算⽅法，掌握利⽤Matlab 编程完成相关的傅⾥叶变换的计算。
⼆、原理说明1、连续时间周期信号的傅⾥叶级数CTFS 分析任何⼀个周期为T 1的正弦周期信号，只要满⾜狄利克利条件，就可以展开成傅⾥叶级数。
三⾓傅⾥叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或：∑∞=++=100)cos()(k k k t k ca t x ?ω 2.2 其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。
三⾓形式傅⾥叶级数表明，如果⼀个周期信号x(t)，满⾜狄⾥克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每⼀个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量(Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
第7章周期信号频域分析及MATLAB实现-文档资料
7.2.3 双边频谱
周期信号可以分解成一系列虚指数信号之和，并可以求得 相应的傅里叶系数
f( t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFe n
n
jn t
a a a t t 0 n jb n jn n jb n jn e e 2 n 2 2 1 1 j 1 F e a j b n A n n n
a 0 A 0 .2 5 0 F 0 2
A5 ≈ 0.09, A10 ≈ 0.063
A4 ≈ 0, A9 ≈ 0.05,
F 0 . 2 2 5 , F 0 . 1 5 9 , F 0 . 0 7 5 , F 0 1 2 3 4 F 0 . 0 4 5 , F 0 . 0 5 3 5 6
6
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
2. 连续时间周期信号的傅里叶级数近似
用有限项的傅里叶级数求和来逼近原函数
f(t)的截断傅里叶级数表示
3. 符号积分函数int()求截断傅里叶级数及傅里叶表示 intf=int(f,v,a,b) 给出符号表达式 f 对指定变量v的定积分。
2 T
7-1a
2
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
傅里叶系数：
2 2 a f() td t f() td t 0 0 T T 1
T 1
T 1 2 T 1 1 2
2 T 1 a f ()c t o sn td t n 0 T 1
N 1
3. Matlab命令
DTFS:
a
1 fft ( x ) N
(7.16) (7.17)
第三章 连续时间周期信号的傅里叶级数分析
如果
a x(t) 2 dt 则
T0
必k 存在。
x在(t一) 个周期内能量有限， 一定ak存在。
2. Dirichlet条件：
① x(t) d，t 在任何周期内信号绝对可积。 T0
ak
1
T0
x(t)e jk0t dt 1
T0
T0
x(t) dt
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
即： x(t) akeskt
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(n)
ak
H
(Z
k
)Z
n k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时 ak
应满足：
ak
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
这就是傅氏级数的系数
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对 周期信号的最佳近似。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a是k 否存在? ② 级数是否收敛于 x(?t)
两组条件：
1.平方可积条件：
1807年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示1822年首次发表热的分析理论1829年狄里赫利第一个给出收敛条件17681830傅里叶的两个最重要的贡献号的加权和傅里叶的第一个主要论点表示傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有32lti系统对复指数信号的响应ltisystemscomplexexponentials考查lti系统对复指数信号可见lti系统对复指数信号的响应是很容易求得的
连续时间信号的分析讲义
连续时间信号的分析讲义在信号与系统领域中，连续时间信号是一种在实数域上定义的信号，其取值在连续的时间范围内变化。
连续时间信号的分析是信号与系统学习的重要基础，本讲义将介绍连续时间信号的分析方法。
二、连续时间信号的基本概念1. 连续时间信号的定义：连续时间信号是在连续的时间范围上定义并取值的信号。
2. 连续时间信号的特性：- 幅度：信号在每个时间点的取值。
- 相位：信号波形相对于给定参考点（通常为时间轴原点）的相对位置。
- 周期性：信号在某个时间间隔内是否重复。
- 能量与功率：信号能量的大小及其在单位时间内消耗的能量。
三、连续时间信号的表示方法1. 数学表达：- 函数表达：通过一个函数来描述信号在每个时间点的取值。
- 积分表达：信号可以表示为另一个函数的积分形式。
2. 图形表示：- 时域图：横轴表示时间，纵轴表示信号幅度，用连续的曲线表示信号波形。
- 频谱图：横轴表示频率，纵轴表示幅度，用柱状图表示信号的频率分量及其幅度。
四、连续时间信号的常见类型1. 基本连续时间信号：- 典型脉冲信号：矩形脉冲、三角脉冲等。
- 正弦信号：包括正弦波、余弦波及其复合形式。
2. 周期性信号：具有重复性质的信号，可以表示为基本连续时间信号的线性组合。
3. 非周期性信号：不具有重复性质的信号，不能表示为基本连续时间信号的线性组合。
五、连续时间信号的分析方法1. 时域分析：分析信号在时间域上的特性，包括信号的幅度、相位和波形等。
- 平均值和均方值：描述信号的幅度特性。
- 时域波形图分析：通过观察信号的图像，了解信号的频率和幅度变化等特性。
2. 频域分析：分析信号在频率域上的特性，揭示信号的频率分量及其幅度。
- 傅里叶变换：将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
- 频率响应：用于描述系统对不同频率信号的响应特性。
3. 其他分析方法：包括奇偶性分析、对称性分析、函数积分等。
六、连续时间信号的实际应用连续时间信号的分析方法在信号处理、通信系统、音频处理等领域有着广泛的应用。
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1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4P 0.1Βιβλιοθήκη 06 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
周期信号的功率谱
Cn
2
A
1 2 nπ Sa ( ) 25 5
Cn
1 25
8
2
T
2
2
T
t
C n 0.2 Sa(nπ / 5)
40 π
40 π
n 0
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(2) 幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度频谱 |Cn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少， 幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多， 高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 f'(t)不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
三、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn Cn e
jn
幅度频谱
相位频谱
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t )
A
-T
0
T
t
Cn
A / T
n0 A Cn Sa( ) T 2
2π
2π
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t ) Cn e jn0t
n =
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
Cn 0.2 Sa(n0 / 40) 0.2 Sa(nπ / 5)
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 信号的平均功率为
P | Cn | 1
0 2π / T
n 0
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
4 3 2 1 9 6 3 1 3 2
0
3
6
9
w
解： 由图可知 C 0 4
f (t ) Cn e jn0t
n
C 1 3
C2 1
C 3 2
周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为 周期信号的功率频谱，简称功率谱。
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 n0 A Cn Sa( ) T 2 将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
4 6 cos(0t ) 2 cos(20t ) 4 cos(30t )
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(1) 离散频谱特性 周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。 反之，T越小，0越大，谱线则越疏。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配” 。
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用 谐波的相位使得各谐波分量的幅度在不连续 点前取相同的符号，在不连续点后取相反的 符号。从而使各次谐波合成的结果在不连续 点附近存在急剧的变化。
相位谱对信号中急剧变化点的位置起着重要的作 用。如果在信号重建时忽略相位谱，重建的信号 就会模糊或失去信号原有的特征。