人教版小专题(六) 与正方形有关的四个常考模型

∴AM＝EC，BM＝BE． ∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°． 又∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°． ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°． 又∵∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC．∴△AME≌△ECF(ASA)． ∴AE＝EF．
【探究 1】 变特殊为一般 若题中“点 E 是边 BC 的中点”变为“点 E 是 BC 边上任意一点”， 则上述结论是否仍然成立？ 是(填“是”或“否”)．
数学 第十八章 平行四边形
小专题(六) 与正方形有关的四个常考模型
模型 1 正方形中相交垂线段问题——教材 P68 复习题 T8 的变式 与应用
1．如图，ABCD 是一个正方形花园，E，F 是它的两个门，且 DE ＝CF．要修建两条路 BE 和 AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关 系？为什么？
∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)． ∴∠ABE＝∠DAF． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°．∴∠AGB＝ 90°，即 BE⊥AF．
(2)若已知 BE⊥AF，则 BE＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°． 又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°． ∴∠ABE＋∠BAF＝90°． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF． ∴△ABE≌△DAF(ASA)． ∴BE＝AF．
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中， AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°． ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°． ∴∠AOE＝∠BOF． 在△AOE 和△BOF 中，
∠OAE＝∠OBF，
OA＝OB， ∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF(ASA)．
∠BAE＝∠HEF，
∠ABE＝∠EHF， AE＝EF， ∴△ABE≌△EHF(AAS)． ∴BE＝HF，AB＝EH＝BC． ∴BC－EC＝EH－EC，即 BE＝CH． ∴HF＝CH． ∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∠DCF＝45°． ∴CF 是正方形外角的平分线．
模型 4 正方形中的半角模型 4．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线 上一点，且 DF＝BE． (1)求证：CE＝CF； (2)若点 G 在 AD 上，且∠GCE＝45°， 则 GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？
模型 3 正方形中三垂直全等模型——教材 P69 复习题 T14 的变 式与应用
3．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠AEF ＝90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证：AE＝EF．
证明：取 AB 的中点 M，连接 ME． ∴AM＝BM＝12AB． ∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝EC＝12BC． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
【探究 2】 在探究 1 的前提下，若题中结论“AE＝EF”与条件 “CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明．
解：命题仍然成立．证明： 过点 F 作 FH⊥BC，交 BC 的延长线于点 H， ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°． ∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°． ∴∠BAE＝∠HEF． 在△ABE 和△EHF 中，
(2)如图，正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则 EF＝DF－BE．
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS)． ∴GE＝GF． ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
(1)如图，在正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，则： ①EF＝BE＋DF；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的 2 倍； ③FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF．
【探究】 若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作 为条件能推出另一个结论成立吗？
(1)若已知 BE＝AF，则 BE⊥AF 成立吗？
解：成立．理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD． 在 Rt△ABE 和 Rt△DAF 中， AB＝AD， BE＝AF，

解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF． 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)． ∴CE＝CF．
(2)GE＝BE＋GD 成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即∠BCD＝∠ECF＝90°． 又∵∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如： 图 1 中的线段 AF 与 BE，图 2 中的线段 AF 与 EG，图 3 中的线段 HF 与 EG)满足：若垂直，则相等．
模型 2 正方形中过对角线交点的直角问题 2．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，O 又是 正方形 A1B1C1O 的一个顶点，OA1 交 AB 于点 E，OC1 交 BC 于点 F． (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为 a，那么这两个正方形重叠部分的面 积等于多少？为什么？
(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a2．理由如下： ∵△AOE≌△BOF， ∴S 四边形 OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝14S 正方形 ABCD ＝14a2．
正方形 ABCD 中，O 为两条对角线的交点，点 E，F 分别在 AB， BC 上．若∠EOF 为直角，OE，OF 分别与 DA，AB 的延长线交于点 G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH 是等腰直角三 角形，且 S 四边形 OEBF＝14S 正方形 ABCD．
解：BE＝AF 且 BE⊥AF，理由： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°． 又∵DE＝CF，∴AE＝DF． ∴△ABE≌△DAF(SAS)． ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°． ∴∠AGB＝90°，即 BE⊥AF．