高中数学历年高考真题全国卷理06-11年

（20）（本小题１２分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。

20．解法一：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……5分(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． ……9分(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数，又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分解法二：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． ……3分对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……6分当x ＞ e a －1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a －1－1≤0．由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分06年全国卷理22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-， 即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()ab ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩， 即 ()a b f a -<<． 07年全国卷理19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±= 即()f x在3a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）233133a a ⎧--⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩≤，且23a >解得：74a ≥ 07年全国卷理22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥．证明：1k a b +>． 22. 解析： （Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时，故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得11ln ki i i a b a a ==--∑1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02， 若对任意i k ≤都有，则11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑，即1k a b +>成立.08年全国卷理22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ····· 2分 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ········· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······· 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >． 于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+． 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥．因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ···· 12分 09年全国卷理22.(本小题满分12分)设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224In f x -> 22解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。

由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩，得102a << ⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数；⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；（II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-，则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。