高中数学历年高考真题全国卷理06-11年

（20）（本小题１２分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。

20．解法一：

令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，

对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a

令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……5分

(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，

又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，

即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． ……9分

(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数，

又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，

即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．

综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分

解法二：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，

于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． ……3分

对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a

令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……6分

当x ＞ e a －1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，

当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分

所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a －1－1≤0．

由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分

06年全国卷理

22．（本小题满分12分）

已知函数3

()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．

22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．

曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：

()()()y f t f t x t '-=-， 即 23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使

23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程

32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．

当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

当0a b +=时，解方程()0g t =得302

a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0

b f a -=时，解方程()0g t =得2

a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a

b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩

， 即 ()a b f a -<<． 07年全国卷理

19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2

13

3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++

当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增

当23a >，()0f x '=

求得两根为3

a x -±= 即()f x

在3a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，

递增，33a a ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭

，递减，

3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭

递增 （2

）233133a a ⎧--⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩

≤，且23a >解得：74a ≥ 07年全国卷理

22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；

（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥．证明：1k a b +>． 22. 解析： （Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时，

故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，

211111()ln a f a a a a a ==->

由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；

（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤

那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得

1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，

121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.

（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得

11

ln k

i i i a b a a ==--∑

1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0

2， 若对任意i k ≤都有，则

11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k

i i a b a b ==--∑

，即1k a b +>成立.

08年全国卷理