人大版,贾俊平,第五版,统计学 第13章 时间序列分析和预测

对于季节时间序列数据，引入的虚拟变量（第 4 季度 为参照季度，即基础水平）为： 则季节性多元回归方程可表示为：
Y =b0 b1t b2Q1 b3Q2 b4Q3
– b0 是时间序列的平均值 – b1 是趋势成分的系数，表示趋势给时间序列带来的影响 – b2，b3，b4 是系数，表示每个季节与参照的第 4 季度的平 均差值
t =b b t b t 2 b t k Y 0 1 2 k
将表达式线性化后，可以用最小二乘法求系数。
13.6季节性序列的预测
• 季节性多元回归预测使用虚拟变量来表示 季节的多元回归预测方法。
• 虚拟变量又称虚设变量、名义变量或哑变量，用 以反映质的属性的一个人工变量,是量化了的自变 量，通常取值为0或1。 • 如果有m种互斥的属性类型，在模型中引入（m-1） 个虚拟变量。 • 例如，性别有2个互斥的属性，引用2-1=1个虚拟 变量；再如，文化程度分小学、初中、高中、大 学、研究生5类，引用4个虚拟变量
居民消费水平
3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 居民消费水平
13.2.2 增长率分析 1.增长率
环比增长速度
– 报告期水平与前一时期水平之比 Yi Yi 1 Yi Gi 1 (i 1,2,, n) Yi 1 Yi 1 报告期水平与某一固定时期水平之比
第13章 时间序列分析和预测
13.1 时间序列及其分解
• 1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列 而成的数列 • 2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同 时间上的观察值两部分组成 • 3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或 其他任何时间形式
时间序列（一个例子）
国内生产总值等时间序列
年 份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
13.2 时间序列的描述性分析
13.2.1 图形描述
国内生产总值
90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 国内生产总值
年末总人口
126000 124000 122000
1993 1997 （年份）
13.5.2 非线性趋势预测 1.指数曲线 用于描述以几何级数递增或递减的现象，趋势方程为
ˆ abt Yt
a、b 为未知常数。 若 b>1，增长率随着时间 t 的增加而增加； 若 b<1，增长率随着时间 t 的增加而降低。 若 a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以 0 为极限
1996 1997
500 600
— 20
60 84
— 40
速度的分析与应用
（增长1%绝对值）
1. 速度每增长一个百分点而增加的绝对量 2. 用于弥补速度分析中的局限性 3. 计算公式为
逐期增长量 前期水平 增长1%绝对值＝ 环比增长速度 100 100
甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元 乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元
指数曲线
(趋势图)
250 汽 200 车 产 150 量 （万辆） 100 50 0 1981
汽车产量
趋势值
1985
1989
汽车产量指数曲线趋势
1993 1997 （年份）
Байду номын сангаас
2.多阶曲线 不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降， 在变化过程中可能有几个拐点。这时需要拟合多项式 函数。当有 k-1 个拐点时，需要拟合 k 阶曲线。一般 形式为：
ME
Y F
i 1 i i
n
n
n
，其中， Yi 为观测值， Fi 为预测值
2.平均绝对误差
MAD
Y F
i 1 i
i
n
，可以避免误差相互抵销的问题
3.均方误差
MSE
Yi Fi
i 1
n
2
n
4.平均百分比误差和平均绝对百分比误差 平均百分比误差 MPE
32.459896 18 lg a 171lg b 337.223286 171lg a 2109 lg b
汽车产量的指数曲线方程为
a 17.2805 b 1.14698
ˆ Yt 17.2805 (1.14698) t
2000年汽车产量的预测值为
ˆ Y2000 17.2805 (1.14698) 20 268.33 （万辆）
定基增长速度
–
Yi Y0 Yi Gi 1 Y0 Y0
(i 1,2,, n)
2.平均增长率 也称平均增长速度，是时间序列中逐期 环比值（也称环比发展速度）的几何平均 数减1的结果。
Y1 Y2 Yn G n 1 Y0 Y1 Yn 1
采取线性化手段将其化为对数直线形式，两端取对数得：
ˆ lg Yt lg a t lg b
根据最小二乘法原理，求得
lg Y n lg a lg b t 2 t lg Y lg a t lg b t
指数曲线
【例】根据表中 的资料，确定 1981～1998年我 国汽车产量的指 数曲线方程，求 出各年汽车产量 的趋势值，并预 测2000年的汽车 产量，作图与原 序列比较
120000
118000 116000 114000 112000 110000 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
年末总人口
人口自然增长率
14 12 10 8 6 4 2 0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人口自然增长率
2.分离季节成分
• 将各观测值分别除以相应的季节指数，将 季节成分从时间序列中分离出去
13.7.2 建立预测模型并进行预测
• 用分离季节性因素的序列建立模型，进行 预测。（如线性回归，具体形式根据分离 季节性因素的序列形状确定） • 用初步预测结果，乘以相应的季节指数， 得到最终预测值。
n
Yn 1 Y0
3.增长率分析中应注意的问题 • 观察值中出现0或负数时，不宜计算增长率
• 有些情况下，不能单纯就增长率论增长 率，要注意结合绝对值。
假定有两个生产条件基本相同的企业，各 年的利润额及有关的速度值如表
甲、乙两个企业的有关资料
年 份 甲企业
利润额(万元) 增长率(%)
乙企业
利润额(万元) 增长率(%)
t 1期的简单移动平均预测值 Yt k 1 Yt k 2 Yt 1 Yt =t期的移动平均值Y t k
移动平均法只使用最近 k 期的数据， 在每次计算移动平均 值时，移动的间隔都为 k。 适用于较为平稳的时间序列。可以通过试验的办法，选择 一个使均方误差最小的 k
13.4.3 指数平滑法 通过对过去的观察值加权平均进行预测，观察值时间越 远， 其权数也跟着呈现指数下降。 以下为一次指数平滑法。 将一段时期的预测值与观察值的线性罪和作为 t+1 期的 预测值
• 季节指数：刻画了序列在一个年度内各月或各季 度的典型季节特征。 • 季节指数以100%为平均数，反映了某一月份或季 度的数值占全年平均数值的大小。
• 如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指 数应等于100%，如果某一月份或季度有明显的季 节变动，则各期的季节指数应大于或小于100%。 • 因此季节变动的程度是根据各季节指数与其平均 数100%的偏差程度来测定的。
1. 构成因素
– – – – 长期趋势 (Secular trend ) 季节变动 (Seasonal Fluctuation ) 循环波动 (Cyclical Movement ) 不规则波动 (Irregular Variations )
2. 模型
– 乘法模型：Yi = Ti × Si × Ci × Ii – 加法模型：Yi = Ti + Si + Ci + Ii
13.7 复合型序列的分解预测
时间序列分解法
• 第一步：确定并分离季节成分。计算季节 指数，以确定时间序列中的季节成分，然 后将季节成分从时间序列中分离出去。 • 第二步：建立预测模型并进行预测。 • 第三步：计算最后的预测值。用预测值乘 以相应的季节指数，得到最终的预测值
13.7.1 确定并分离季节成分 1.计算季节指数
Ft 1 Yt 1 Ft
α 越接近 1，模型对时间序列变化的反应就越及时，α 越 接近 0，反应就越慢。 当时间序列比较平稳时，适宜选择较小的α ，时间序列 随机波动较大时，适宜选较大的α 。
13.5 趋势性序列的预测 13.5.1 线性趋势预测 线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长 或下降的线性变化规律。
(实例及计算结果)
1981～1998年我国汽车产量数据
年 份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 产量(万辆) 17.56 19.63 23.98 31.64 43.72 36.98 47.18 64.47 58.35 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 产量(万辆) 51.40 71.42 106.67 129.85 136.69 145.27 147.52 158.25 163.00
移动平均趋势剔除法
• 第一步：计算移动平均值（如果是季度数据，采 用4项移动平均，如果是月份数据则采用12项移动 平均），并将其结果进行中心化处理（将移动平 均值再进行一次二项移动平均），得出中心化移 动平均值（CMA） • 第二步：计算季节比率。将序列的各观测值除以 相应的CMA，然后计算出各季度（或月份）的季 节比率平均值 • 第三步：季节调整指数。将各季度（或月份）的 季节比率平均值除以季节比率总平均值
国内生产总值 年末总人口 人口自然增长率 居民消费水平 (‰) (亿元) (万人) (元)
18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74772.4 79552.8 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.53 803 896 1070 1331 1781 2311 2726 2944 3094
1 1 t Ft 1 Y1 Y2 Yt Yi t t i 1 ；
预测误差
et 1 Yt 1 Ft 1
适合对较为平稳的时间序列进行预测， 如果时间序列有趋势或季节成 分，该方法不够准确
13.4.2 移动平均法 通过对时间序列逐期递移求的平均数作为预测值。 以下为 简单移动平均法 将最近的 k 期数据加以平均，作为下一期的预测值。
(
i 1
n
Yi Fi 100) Yi ； n
Yi Fi 100) Yi MAPE i 1 平均绝对百分比误差 n 同时消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响， 反映误差 大小的相对值
(
n
13.4 平稳序列的预测
13.4.1 简单平均法
根据已有的 t 期观察值，通过简单平均来预测下一期的数值。
ˆ Yt a bt ，
根据最小二乘法求得
n tY t Y b 2 2 n t t a Y bt
线性模型法
(趋势图)
200 汽 150 车 产 量 100 （万辆） 50 0 1981 汽车产量 趋势值
1985
1989
汽车产量直线趋势
时间序列数据
否
是
是否存在趋势？
是否存在季节性？
是否存在季节性？
否
是
是
否
平滑预测法 • 简单平均法
• 移动平均法 • 指数平滑法
季节性预测法 • 季节多元回归模型
• 季节自回归模型 • 时间序列分解
趋势预测法 • 线性趋势推测
• 非线性趋势推测 • 自回归预测模型
13.3.3 预测方法的评估
1.平均误差