(抽样检验)统计量与抽样分布

第六章 统计量及抽样分布

概率论和数理统计都是研究随机现象规律性的数学分支。

（1） 概率论特点：先提出随机现象的数学模型，然后研究其特性和规律 （2） 数理统计：

（3） I ）以概率论为理论前提，从实际观测或试验出发； II) 研究如何有效的收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并为之建立适当的

数学模型；

III)对其进行检验，在此基础上对所研究的问题作出推断和预测，为采取行动和决策

提供依据和建议。

§1总体、样本与统计量

一、总体与样本

在实际问题中，我们往往只能通过观察和试验来获取研究对象的信息，但是，如果要把 全体研究对象逐个一一检查，常常是不必要或不可能的. 如：（1）对自动生产线上高速生产的零件逐个检查，要耗费很多的人力、物力、财力及时间，且非必要；

（2）为考察某些产品如灯泡的寿命，横梁的耐冲击强度等而进行的破坏性试验，逐个检查将使生产失去意义 所以，实际问题中，只能也只需通过测试部分对象的数据，由此来推断全体研究对象的性质，由部分推断总体。这是数理统计面对的基本问题。 1、 总体：研究对象的全体，如一批灯泡的寿命

具体：研究对象的某个或某几个特性的数量指标，所有的可能取值所构成的集合。

如，研究对象：一个城市的居民家庭；X ：人均收入；Y ：人均支出；Z ：人均居住面积，

则三个总体：{}

()()(){}

()()(){}

121

1

2

2

1

1

1

2

2

2

,,...,,,,,,,,,,,,,n X X X X X Y X Y X Y X Y Z X Y Z X Y Z ==

=L L L 通常我们学习研究对象的一个特性的数量指标，所有可能取值所构成的集合。如，X ：灯泡寿命，总体{}12,,X x x =L ，其中灯泡是研究对象，寿命是数量指标。

2、 个体：组成总体的每一个基本单元（集合中的元素）

3、 样本：从总体中随机地抽取几个个体所组成地集合，称为总体地一个样本：

()12,,n X X X L ，通常看为n 维随机变量

（1） 样本容量：样本中所含个体地个数n ，()1,2,n =≤L 总体中个体元素个数

（2） 样本值：12,,n X X X L 的一个观测，记为：12,,n x x x L

4、 抽样：从总体中抽取样本的过程。这里指随机抽样。目的：通过样本得到总体的相应情

况。

（1）简单随机抽样：数理统计最常用的抽样方法。

满足特点：代表性：总体中每个个体被抽入样本的机会均等，即每个i X （个体）与总体X

具有相同分布；

独立性：样本中每个个体取什么值并不影响其它个体取什么值，即12,,n X X X L 相互独立。

（2）简单随机样本：简称样本（指用简单抽样方法获得的样本）。 即：12,,n X X X L 为简单随机样本()1212,,,,n n X X X X X X ⎧⎪⇔⎨

⎪⎩

L L 相互独立;

与X具有相同的分布

如，一批灯泡5万只，随机抽取1000只检查其寿命i X ，()1,2,1000i =L ，其中4只寿命低于规律值，为次品，总体{}1250000,,X X X X =L ，一个样本121000,,,X X X ∴L 样本的次品率为0.4％。可推断，总体的次品率为0.4％。

（4） 这里可得到简单随机样本的方式：通常采用

有放回地重复随机抽样：通常针对有限总体，尤其总体容量较小时；

无放回…………………：指无限总体或样本容量相对较少，如小于等于总体的5％时。 5、 样本12,,n X X X L 的联合密度函数()()()()1212,,n n p x x x p x p x p x =L L ，其中：总体X 是

连续型随机变量，其密度函数为()p x 。 二、统计量

1、统计量：设12,,n X X X L 为取自总体X 的一个样本，()12,,n g x x x L 为一个连续函数，且不含未知参数，则称()12,,n g x x x L 为统计量。

如：总体()2~,X N μσ，12,,n X X X L 为取自总体X 的一个样本， （1）μ未知，σ已知，则含μ的不是；

（2）σ未知，μ未知，则含μ或含σ的不是；

简单地讲：统计量满足a ）是样本12,,n X X X L 的实值函数；b ）样本观测值()12,,n x x x L ？，就可求出统计量的具体值。 2、常用统计量

设12,,n X X X L 为取自总体X 的一个样本，

（1）样本均值：1

1n

i i X X n ==∑

（2）样本方差：()

()

2

22

2

1

1

1111n

n i i

i i S X X X nX n n ===-=---∑∑ 证明：（略）

（3）样本均方差（标准差）：

S =

样本方差2

S 与均方差S 都反映了总体波动的大小，即反映总体()

D X

例1、从一批袋装食品中随机抽取6袋，测得其重量（单位：克），如下：462，465，451，472，459，448。求样本均值X 和样本方差2

S 。

解：总体X ：指这批食品的重量（各袋重量构成的集合）； 样本()126,,X X X L 是抽取6袋食品的重量

样本值：（462，465，451，472，459，448）为这次抽取6袋食品测得的重量

（1）6

1

2611462465448459.5666

i i X X X X X =++++++====∑L L （2）()

6222

2222

12611166615i i S X X X X X X =⎡⎤=-=++-⎢⎥⎣

⎦-∑L ()22221

4624654486459.579.55

=+++-⨯=L 或2

S ()()()222

1462459.5465459.5448459.579.55⎡⎤=

-+-++-=⎣

⎦L §2样本分布函数

设12,,n x x x L 为取自总体X 的一组样本值，可用频率分布表和直方图粗略地描述总体

X 地分布。

一、频率分布表

1、设总体X 是离散型随机变量，12,,n x x x L 是样本12,,n X X X L 地一组样本值。

12,,n X X X L 取到的值为12,,m a a a L ，且取到12,,m a a a L 的个数分别为12,,m v v v L ，

（1）频数：i a 出现的次数i ν； （2）频率：i i f n

ν=

，其中，12m n v v v =+++L ，即n 个数据中，取到i a 值的频率、比例；

（3）频率分布表：可近似地反映（代替）总体X 的分布律

二、直方图

当总体X 是连续型随机变量时，可采用直方图来处理样本值。 1、 方法：

（1）将样本值12,,n x x x L 从小到大排列，***

12,,n x x x ⇒L 样本值落入区间