概率论与数理统计复习题
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
《概率论与数理统计（本科）》复习题
《概率论与数理统计（本科）》复习题《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题⼀、选择题1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 全不发⽣的事件可以表⽰为( ). (A)ABC (B) A B C ?? (C) A B C ?? (D) A B C2、设A 和B 是任意两个事件，且A B ?，()0P B >，则下列结论必成⽴的是（）（A ）()()P A P A B < （B ）()()P A P A B >（C ）()()P A P A B ≤ （D ）()()P A P A B ≥3、设A 和B 相互独⽴，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.54、设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式⼦正确的是（）（A ）()()P A B P A ?=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B - 5、以A 表⽰甲种产品畅销，⼄种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，⼄种产品畅销 (B) 甲、⼄产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或⼄产品畅销 6、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ?=，则()P A B =（）。
(A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75 7、设A B ?，则下⾯正确的等式是( )。
(A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =8、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -= 9、设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB =( ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 10、对于任意两个事件,A B ，下列式⼦成⽴的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- (B) ()()()()P A B P A P B P AB -=-+ (C) ()()()P A B P A P AB -=- (D) ()()()P A B P A P AB -=+ 11、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==，则()P BA =( ).(A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.4 12、设B A ,满⾜1)(=B A P ，则有（）。
概率论与数理统计试题库及答案考试必做
概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件;试用 A 、B 、C 分别表示事件1A 、B 、C 至少有一个发生2A 、B 、C 中恰有一个发生3A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8;则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在1,6上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量x,y 在区域D 上服从均匀分布,则x,y 关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 ;15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X +＝16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -=17.设X的概率密度为2()x f x -=,则()D X ＝ 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在0,6上服从均匀分布,X 2服从正态分布N0,22,X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1－2X 2+3X 3,则DY=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或X ～ ;特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有X ～ 或X ～ .21.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,2i DX σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅ 那么211n i i X n =∑依概率收敛于 . 22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;23.设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差=24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1. 设A,B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 AP A+B = P A; B ()P(A);P AB =C (|A)P(B);P B =D (A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 A “甲种产品滞销,乙种产品畅销”； B “甲、乙两种产品均畅销”C “甲种产品滞销”；D “甲种产品滞销或乙种产品畅销”;3. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球;则第二人取到黄球的概率是A1/5 B2/5 C3/5 D4/54. 对于事件A,B,下列命题正确的是A 若A,B 互不相容,则A 与B 也互不相容;B 若A,B 相容,那么A 与B 也相容;C 若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立;D 若A,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立;5. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是A AB ⊂ B B A ⊂C A B -=∅D ()0P A B -=6． 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时,{}P X μσ-<= A 增大 B 减少 C 不变 D 增减不定;7．设X 的密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,且)()(x f x f -=;那么对任意给定的a 都有A 0()1()a f a f x dx -=-⎰B 01()()2a F a f x dx -=-⎰ C )()(a F a F -= D 1)(2)(-=-a F a F8．下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是A 21()1F x x =+B x x F arctan 121)(π+= C =)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩D ()()x F x f t dt -∞=⎰,其中()1f t dt +∞-∞=⎰ 9． 假设随机变量X 的分布函数为Fx,密度函数为fx.若X 与-X 有相同的分布函数,则下列各式中正确的是AFx = F-x; B Fx = - F-x;C f x = f -x;D f x = - f -x.10．已知随机变量X 的密度函数fx=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩λ>0,A 为常数,则概率P{X<+a λλ<}a>0的值A 与a 无关,随λ的增大而增大B 与a 无关,随λ的增大而减小C 与λ无关,随a 的增大而增大D 与λ无关,随a 的增大而减小 11．1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A 21X X = Ｂ1}{21==X X P C 21}{21==X X P Ｄ以上都不正确12．设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立,则A 9/1,9/2==βαB 9/2,9/1==βαC 6/1,6/1==βαD 18/1,15/8==βα13．若X ～211(,)μσ,Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 A 二维正态,且0=ρ B 二维正态,且ρ不定C 未必是二维正态D 以上都不对14．设X,Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为F X x,F Y y,则Z = max{X,Y} 的分布函数是AF Z z= max { F X x,F Y y}; B F Z z= max { |F X x|,|F Y y|}C F Z z= F X x ·F Y yD 都不是(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ15．下列二无函数中, 可以作为连续型随机变量的联合概率密度;Afx,y=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他B gx,y=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C ϕx,y=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他 D hx,y=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他16．掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为A 50B 100 C120 D 15017． 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则2()E Y =A1. B9. C10. D6.18．对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则A ()()()D XY D X D Y =⋅B ()()()D X Y D X D Y +=+C X 和Y 独立D X 和Y 不独立19．设()(P Poission λX 分布),且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A1, B2, C3, D020． 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A 不相关的充分条件,但不是必要条件；B 独立的必要条件,但不是充分条件；C 不相关的充分必要条件；D 独立的充分必要条件21．设X ～2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是A 123X X X ++B 123max{,,}X X XC 2321i i X σ=∑D 1X μ-22．设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B {}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D {}(1),1k k n k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 23．若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χD ()t n24．设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C n S X t /3μ-= D n S X t /4μ-=25．设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n --三、解答题1．10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率;2.任意将10本书放在书架上;其中有两套书,一套3本,另一套4本;求下列事件的概率;1 3本一套放在一起;2两套各自放在一起;3两套中至少有一套放在一起;3.调查某单位得知;购买空调的占15％,购买电脑占12％,购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5％,三种电器都购买占2％;求下列事件的概率;1至少购买一种电器的；2至多购买一种电器的；3三种电器都没购买的；4．仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率;5．一箱产品,A,B 两厂生产分别个占60％,40％,其次品率分别为1％,2％;现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大6．有标号1∼n 的n 个盒子,每个盒子中都有m 个白球k 个黑球;从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个盒子取到的球是白球的概率;7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率;1放回 2不放回8．设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞,求 1系数A,2 {01}P x ≤≤3 分布函数)(x F ;9．对球的直径作测量,设其值均匀地分布在b a ,内;求体积的密度函数;10．设在独立重复实验中,每次实验成功概率为,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于;11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在以下来设计的,设男子的身高2(168,7)X N ,问车门的高度应如何确定12． 设随机变量X 的分布函数为：Fx=A+Barctanx,-x ∞<<+∞.求：1系数A 与B ；2X 落在-1,1内的概率；3X 的分布密度;13．把一枚均匀的硬币连抛三次,以X 表示出现正面的次数,Y 表示正、反两面次数差的绝对值 ,求),(Y X 的联合分布律与边缘分布;14．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为 )3arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求1A B C 、、的值, 2),(Y X 的联合密度, 3 判断X Y 、的独立性;15．设连续型随机变量X,Y 的密度函数为fx,y=(34)0,0,0,x y x y Ae -+>>⎧⎨⎩其他, 求 1系数A ；2落在区域D ：{01,02}x y <≤<≤的概率;16． 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,1求系数A,2求),(Y X 的联合分布函数;17．上题条件下：1求关于X 及Y 的边缘密度; 2X 与Y 是否相互独立18．在第16题条件下,求)(x y f 和)(y x f ;19．盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X ;20． 有一物品的重量为1克,2克,﹒﹒﹒,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少21． 公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望准确到秒;22．设排球队A 与B 比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负23．一袋中有n 张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n ,从中有放回地抽取出k 张来,以X 表示所得号码之和,求(),()E X D X ;24．设二维连续型随机变量X ,Y 的联合概率密度为：f x ,y=,0x 1,0y x 0,k <<<<⎧⎨⎩其他 求：① 常数k, ② ()E XY 及()D XY .25．设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率;26．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少由 80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n 至少为多大时,才能使系统正常工作的概率不低于 0.9527．甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%;28．设总体X 服从正态分布,又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差,又设21(,)n X N μσ+,且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立,求统计量的分布;29．在天平上重复称量一重为α的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α,若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值,为使()0.10.95n P X a -<≥成立,求n 的最小值应不小于的自然数30．证明题 设A,B 是两个事件,满足)()(A B P A B P =,证明事件A,B 相互独立; 31．证明题 设随即变量X 的参数为2的指数分布,证明21X Y e -=-在区间0,1上服从均匀分布;<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2σ已知,令∑==161161i i X X ,则统计量σ-164X 服从分布为 必须写出分布的参数;2．设),(~2σμN X ,而,,,,是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 ;3．设]1,[~a U X ,n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 ;4．已知2)20,8(1.0=F ,则=)8,20(9.0F ;5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θˆ是比βˆ有效的估计;6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________;7．设总体X~N μ,σ²,X1,X2,…,Xn 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;8．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X1,X2,…,Xn 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;9．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值x1,x2, (x)落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为_____________________; 10．设样本X1,X2,…,Xn 来自正态总体N μ,1,假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W 应为______________________;11．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=,则要使上面这个置信区间长度小于等于,则样本容量n 至少要取__ __;12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本,其中参数μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则假设0H ：0μ=的t 检验使用的统计量是 ;用X 和Q 表示13．设总体2~(,)X N μσ,且μ已知、2σ未知,设123,,X X X 是来自该总体的一个样本,则21231()3X X X σ+++,12323X X X μσ++,222123X X X μ++-,(1)2X μ+中是统计量的有 ;14．设总体X 的分布函数()F x ,设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本,则n X X X ,,,21 的联合分布函数 ;15．设总体X 服从参数为p 的两点分布,p 01p <<未知;设1,,n X X 是来自该总体的一个样本,则21111,(),6,{},max n niin i n i ni i X XX X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量的有 ;16．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;17．设2~(,)X X X N μσ,2~(,)Y Y Y N μσ,且X 与Y 相互独立,设1,,m X X 为来自总体X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2Y S 分别是其无偏样本方差,则2222//X X Y Y S S σσ服从的分布是 ;18．设()2,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为的置信区间是 查表0.025 1.96Z =19．设总体X ～2(,)N μσ,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;20．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;21．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T＝ ;22．设11m i i X X m ==∑和11ni i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值,参数1μ,2μ未知,两正态总体相互独立,欲检验22012:H σσ= ,应用检验法,其检验统计量是 ;23．设总体X ～2(,)N μσ,2,μσ为未知参数,从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,修正样本标准差为*n S ,在显著性水平α下,检验假设0:80H μ=,1:80H μ≠的拒绝域为 ,在显著性水平α下,检验假设2200:H σσ=0σ已知,2110:H σσ≠的拒绝域为 ;24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样,n 及p 的矩估计分别是 ;25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是 ;26．设总体X ～2(,0.9)N μ,129,,,X X X ⋅⋅⋅是容量为9的简单随机样本,均值5x =,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 ;27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差微米如下： +2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;29．设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差= 30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1.1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本,设：216292821X X Y X X Z ++=++= ,则YZ~ )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是X X A +)( +A ∑=-n i iX n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是)(A 222152S S )(B 222145S S )(C 222154S S )(D 222125S S 4.设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-ni i X X n 12)(1是)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当__ __时,一般采用统计量X t =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝ C 20σμμ未知，检验＝ D 20σμμ已知，检验＝7．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为im 的样本,则下列说法正确的是___ __A 方差分析的目的是检验方差是否相等B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异8．在一次假设检验中,下列说法正确的是______ A 既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误9．对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间A 平均含总体95%的值B 平均含样本95%的值C 有95%的机会含样本的值D 有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是 A 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C 在H 00成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D 在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 12.X 服从正态分布,1-=EX ,25EX =,),,(1n X X 是来自总体X 的一个样本,则∑==ni inX X 11服从的分布为___ ;A N 1-,5/nB N 1-,4/nC N 1-/n,5/nD N 1-/n,4/n13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当___ __时,一般采用统计量X U =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝C 20σμμ未知，检验＝D 20σμμ已知，检验＝14．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则下列说法正确的是____ _ A 方差分析的目的是检验方差是否相等 B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异15．在一次假设检验中,下列说法正确的是___ ____ A 第一类错误和第二类错误同时都要犯B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误16．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量,若ˆE θθ≠,则ˆθ是θ的___ _____A 极大似然估计B 矩法估计C 相合估计D 有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值x 1,x 2, …,x n落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为__________; A B C D18.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用A t 检验法B u 检验法C F 检验法D 2χ检验法19.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有 A 样本值与样本容量 B 显著性水平α C 检验统计量 DA,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=,那么在显著水平下,下列结论中正确的是A 必须接受0HB 可能接受,也可能拒绝0HC 必拒绝0HD 不接受,也不拒绝0H21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是A 22111()1n i i S X X n ==--∑B 22211()n i i S X X n ==-∑C 221S X +D 222S X +22.总体X ～2(,)N μσ,2σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于LA 152σ/2LB 15.36642σ/2LC 162σ/2LD 16 23.设12,,,nX X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本,2(),()E X D X μσ==,12211()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C ＝A 1/nB 1/1n -C 1/2(1)n -D 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B {}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D {}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χ D ()t n27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C nS X t /3μ-=D nS X t /4μ-=28.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n -- 29．设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ4114i i X X ==∑ Ｂ142X X μ+-Ｃ42211()i i K X X σ==-∑ Ｄ4211()3i i S X X ==-∑30. 设 ()2~,N ξμσ,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是A 22212321()X X X σ++ Ｂ13X μ+Ｃ123max(,,)X X X D 1231()3X X X ++三、计算题1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布,设n X X X ,,,21 是子样观察值,求λ的极大似然估计和矩估计;10分2.某车间生产滚珠,从某天生产的产品中抽取6个,测得直径为： 已知原来直径服从)06.0,(N μ,求：该天生产的滚珠直径的置信区间;给定05.0=α,645.105.0=Z ,96.1025.0=Z 8分3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN ;现在随机抽取16个包装袋,算得平均包装袋重为900=x ,样本均方差为22=S ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化05.0=α488.2715262.6)15(2025.02975.0==）（，χχ8分 4.设某随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x 求λ的极大似然估计; 6分5.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,试对05.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计;8分)96.1,645.1(025.005.0==Z Z6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ,今抽取9个动物考察,测得平均体重为3.51公斤,问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤;05.0=α8分96.1645.1025.005.0==Z Z7.设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(ax a x f 其他10<<x , 设n X X ,,1 是X 的样本,求a 的矩估计量和极大似然估计;10分8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查,共抽取12个子样算得2.0=S ,求σ的置信区间1.0=α,68.19)11(22=αχ,57.4)11(221=-αχ8分9．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=10．10分某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间; 随机地抽查了9辆出租车,记录其从金沙车站到火车北站的时间,算得20x =分钟,无偏方差的标准差3s =;若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ,其中2,μσ均未知,试求σ的置信水平为的置信下限;11．10分设总体服从正态分布2(,)N μσ,且μ与2σ都未知,设1,,n X X 为来自总体的一个样本,其观测值为1,,n x x ,设11n i i X X n ==∑,2211()n n i i S X X n ==-∑;求μ和σ的极大似然估计量;12．8分掷一骰子120次,得到数据如下表若我们使用2χ检验,则x 取哪些整数值时,此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受13.14分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布, 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,21()0.008192nii x x =-=∑;问1在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异2 在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准3你觉得该天包装机工作是否正常14．8分设总体X 有概率分布现在观察到一个容量为3的样本,11x =,22x =,31x =;求θ的极大似然估计值15．12分对某种产品进行一项腐蚀加工试验,得到腐蚀时间X 秒和 腐蚀深度Y 毫米的数据见下表：X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46假设Y 与X 之间符合一元线回归模型01Y X ββε=++1试建立线性回归方程;2在显著性水平0.01α=下,检验01:0H β=16. 7分设有三台机器制造同一种产品,今比较三台机器生产能力,记录其五天的日产量17.10分设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布,n X X ,,1 为其一个样本,设},,max{1)(n n X X X =1)(n X 的概率密度函数()n p x 2求()[]n E X18.7分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布,规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准19.10分设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,1,,n X X 是来自该总体的一个样本,记11(11)kk i i X X k n k ==≤≤-∑,求统计量1k k X X +-的分布;20．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=<概率论>试题参考答案一、填空题1． 1 C B A 2 C B A C B A C B A3 B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A2． , 3．3/7 , 4．4/7 = 1/1260 , 5．, 6． 1/5, 7．1=a ,=b 1/2, 8．, 9．2/3, 10．4/5, 11．5/7, 12．Fb,c-Fa,c, 13．F a,b, 14．1/2, 15．, 16．, 17．1/2, 18．46, 19．85 20．22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ； 21．22μσ+, 22,1/8 ,23．X =7,S 2=2 , 24．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭,二、选择题1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；2. 11/15, 21/210, 32/21;3. 1 , 2, 3 ;4. ;5. 取出产品是B 厂生产的可能性大;6. m/m+k;7.11{}(3/13)(10/13)k P X K -== 28. 1A ＝1/2 , 211(1)2e -- , 31,02()11,02xx e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩9. 1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他, 10. 4≥n11. 提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或,利用后式求得31.184=h 查表(2.33)0.9901φ= 12. 错误!A=1/2,B=1π； 错误! 1/2； 错误! f x=1/π1+x 2 13. 14. 12,,22A B C ππ===；2 222(,)(4)(9)f x y x y π=++；3 独立 ；15. 1 12; 2 1-e -31-e -816. 124A =24322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或 17. 1212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他2不独立18. 22,0,01()0,Y X yy x x f y x x ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他 ；22(1),1,01(1)()0,X Y x y x y y f x y -⎧≤<<<⎪-=⎨⎪⎩其他19. 1224(),()749E X D X ==20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场j PiP1/823. 2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, EXY=1/4, DXY=7/144 25. 26. 27. 537 28. (1)t n - 29. 1630. 提示：利用条件概率可证得;31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为220()00xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩ ,利用21xY e-=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得;<数理统计>试题参考答案一、填空题1．)1,0(N , 2．∑=n i i X n 11=, 3．121-∑=ni i x n , 4．, 5．)ˆ()ˆ(β<θD D 6．2 , 7．n 2σ, 8．n-1s 2或∑=n 1i 2i )x -(x , 9． , 10．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>2u |u |σ,其中n x u =11．21X u α-±, 385；12．X t =13． 222123X X X μ++-, (1)2X μ+ ； 14．1(,,)n F x x 为1()ni i F x =∏,15．2111,(),6,{}max n ni in i i ni i X XX X X ≤≤==--∑∑ ；16．21X u α-±,17． (,)F m n , 18．,, 19．n 2σ, 20．n-1s 2或∑=n1i 2i )x -(x ,21．T =, 22．F ,2121(1)()(1)()mi i ni i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ , 23．__22221122100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-⎧⎫⎧⎫--⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪->-⋃<-⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑, 24．2,1X S n p p X∧∧==- , 25．12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅ ,26．[4.412,5.588], 27．2 , 28．1/8 , 29．X =7, S 2=2, 30．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．10分解：设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计： ∑⋅===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ∑=-⋅=ni i n n x l n L l 1)(λλλ0)(1=-=∂∂∑=ni i n x n L l λλλ x1=λ 矩估计：λ=⋅λ⋅=⎰+∞λ-1)(0dx e x X E x 样本的一阶原点矩为：∑==ni i X n X 11所以有：XX X EX 1ˆ1=λ⇒=λ⇒= 2．8分解：这是方差已知,均值的区间估计,所以有： 置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯-所以为：]146.15,754.14[ 3．8分解：统计量为：)1(~)1(222--n X S n σ0H ：22024==σσ,1H ：202σσ≠16=n ,22=S ,224=σ代入统计量得875.116215=⨯ 262.6)15(875.12975.0=<χ所以0H 不成立,即其方差有变化; 4．6分解：极大似然估计：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得 ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ5．8分解： 这是方差已知均值的区间估计,所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x 代入计算可得]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-化间得：]131.15,869.14[ 6．8分解：52:00==μμH ,01:μμ≠H7.093523.51-=-=-nx σμ96.12=αμ96.17.0|7.0|025.0=μ<=-所以接受0H ,即可以认为该动物的体重平均值为52;7．10分 解： 矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX a X a a --=⇒=++112ˆ21极大似然估计：∏∏==⋅+=+=ni i a ni ni an x a x a x x x f 1121)1(])1[(),,,(两边取对数：∑=++=ni i n x a a n x x f 11)ln()1ln(),,(ln两边对a 求偏导数：=∂∂afln ∑=++ni i x a n 1)ln(1=0 所以有：∑=--=ni ix na1)ln(1ˆ8．8分 解：由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得 2222)1(αχσS n -≥,22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：)11()1(222αχS n -,)11()1(2212αχ--S n 将12=n ,2.0=S 代入得 15.0,31.09．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题;由题设知,2-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 21222211w 222121++========α，，，， 2分=, 4分 选取9=,则21μμ－置信度为的置信区间为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21w 21221w212n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα 8分 ＝,. 10分 注：置信区间写为开区间者不扣分; 10． 解：由于μ未知,故采用2222(1)~(1)n S n χχσ-=-作枢轴量 2分要求()1L P σσα≥=- 2分这等价于要求22()1L P σσα≥=-, 也即2222(1)(1)()1Ln S n S P ασσ--≤=- 2分而2212(1)((1))1n S P n αχασ--≤-=- 2分所以2212(1)(1)Ln S n αχσ--=-,故2221(1)(1)Ln S n ασχ--=- 1分 故σ的置信水平为1α-的置信下限为L σ=由于这里9n =,0.05α=,20.95(8)15.507χ=所以由样本算得ˆ 2.155L σ= 1分 即σ的置信水平为的置信下限为; 11． 解：写出似然函数221222()()2222(,)(2)ni i i n x x ni L eμμσσμσπσ=-----=∑== 4分取对数2222211ln (,)ln(2)()2nn ii L x μσπσμσ==---∑ 2分求偏导数,得似然方程221231ln 1()0ln 1()0n i i n i i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 3分解似然方程得：ˆX μ=,ˆσ= 1分12．解：设第i 点出现的概率为i p ,1,,6i =101266:H p p p ====,1126:,,,H p p p 中至少有一个不等于161分采用统计量 221()ri i i i n np np χ=-=∑1分在本题中,6r =,0.05α=,20.95(5)11.07χ= 1分所以拒绝域为2{11.107}W χ=≥ 1分 算实际的2χ值,由于1612020i np =⨯=,所以22222621()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===∑ 1分所以由题意得2(20)011.10710x -≤<时被原假设被接受即9.4630.54x <<,故x 取[10,30]之间的整数时, 2分 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受;1分13. 解：“这几天包装是否正常”,即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验1检验均值,总共6分0:1H μ=,1:1H μ≠ 选统计量,并确定其分布~(1)X t t n =-确定否定域21{||}{|| 2.306}W t t t α-=≥=≥统计量的观测值为0.1875x t ==因为21||0.1875 2.306t t α-=<=,所以接受0:1H μ=;2检验方差,总共6分220:0.02H σ≤,220:0.02H σ>选统计量222211()~(1)0.02nii XX n χχ==--∑确定否定域2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为222221180.032()20.480.020.02n i i x x χ=⨯=-==∑因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-,所以拒绝220:0.02H σ≤32分结论：综合1与2可以认为,该天包装机工作是不正常的; 14．解：此时的似然函数为123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== 2分即225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- 2分 ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- 1分ln ()511d L d θθθθ=-- 1分 令 ln ()0d L d θθ= 1分得θ的极大似然估计值5ˆ6θ=.1分15．解：1解：根据公式可得01ˆˆY X ββ=+其中 011ˆˆˆXYXX l lY X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2分。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ） ()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论与数理统计复习题 带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计复习题
1
x1
8
1
x2
8
1
p j
6
1
5
[ 答案：
Y
X
y1 y2 y3 pi
1111 x1 24 8 12 4
1 31 3
x2
]
8844
111
p j
1 623
六、协差矩阵
记住以下公式： D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)
cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
；
³ ³ （3）P (X ,Y ) D
1
dx
33x
4 12e3x4 ydy
1 4e3
0
0
五、二维离散型随机向量
设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值
填入表中的空白处。
Y
X
y1 y2 y3 pi
2y
7
七、最大似然估计
例：设总体 X 的概率密度为 f (x) ®(T 1)xT , 0 x 1
¯ 0 , 其他
其中未知参数T ! 1， X1, X 2 ," X n 是取自总体的简单随机样本，用极大似然估 计法求T 的估计量。
n
解：设似然函数 L(T )
(T 1)xiT ( 0 xi 1; i 1,2,", n)
练习：设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出
概率论与数理统计习题含解答,答案)
概率论与数理统计复习题（1）一．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题一、选择题（１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 。
（ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立； （ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容（２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。
（ａ）)103(13C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3102713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有 。
（ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ； （ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ，)()()(Y E X E XY E =，则有 。
（ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关；（ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=-（５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是 。
（ａ）∑==4141i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ；（ｃ）∑=-=4122)(1i i X X K σ；（ｄ）∑=-=4122)(31i i X X S（６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。
另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有 。
（ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X ni ≤≤1min ~)(x f ；（ｃ）X ni ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~∏=ni x f 1)(（７）每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复独立试验，直到第１０次试验才取得４次成功的概率为 。
概率论与数理统计练习册（内附答案）
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。
2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。
3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。
p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。
25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。
36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。
7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。
8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。
339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。
611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。
5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。
12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。
319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。
24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。
15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。
0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计复习题 带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论及数理统计
概率论与数理统计综合复习题一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个〔无放回〕，那么：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，那么敌机被击中的概率。
3、随机变量X N Y N ~()~()-1131，，，且X 与Y 相互独立，设随机变量52+-=Y X Z ，那么=EX ；=DX 。
4、随机变量X 的分布列为X -1 0 2P k 0.4 0.2 p那么：EX = ；DX = 。
5、设X 与Y 独立同分布，且)2,2(~2N X ，那么D (32X Y -)=。
6、设对于事件A 、B C 、有P A ()=P B P C ()()==14，121)(=ABC P ，81)()()(===AC P BC P AB P ，那么A 、B C 、都不发生的概率为。
7、设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2p k 0.1 0.2 0.3 p那么：=EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为 。
8、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，那么取到的是二等品的概率为。
9、随机变量X 的分布列为X 0 1 2P k 0.3 0.5 0.2那么：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。
10、设Y X 、的概率分布分别为⎩⎨⎧≤≤=其它，，0514/1)(x x ϕ；ϕ()y e y y y =>≤⎧⎨⎩-40004，，那么：)2(Y X E += ；)4(2Y XE -= 。
二、选择题1、设X 和Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 和)1,1(N ，那么 。
A ．2/1}1{=≤+Y X PB ．2/1}0{=≤+Y X PC ．2/1}0{=≤-Y X PD ．2/1}1{=≤-Y X P2、4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，那么=)(B A P 。
概率论与数理统计复习
概率统计综合复习一一、填空：1．已知()0.3,()0.5,(/)0.2P A P B P A B ===,则()P A B ⋃= _ ___。
2．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，则任取一件产品是一等品的概率是 。
3．设1231()()()3P A P A P A ===，且三事件123,,A A A 相互独立，则三事件中至少发生一个的概率为 ，三事件中恰好发生一个的概率为 。
4．袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X 的分布函数()F x = ，()E X = 。
5．设X (4,0.5),b Y 在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= _ _。
6．设2(2,)X N σ ，且{0}0.2P X ≤=,那么{24}P X <<= _ ___。
7．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：{24}P X -≥≤ 。
8．设一批产品的某一指标2(,)X N μσ ，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值2100s =，则总体方差2σ的95%的置信区间为 。
二、单项选择：1．甲、乙二人射击，A 、B 分别表示甲、乙击中目标，则AB 表示（ ）。
A.两人都没击中B.至少一人没击中C.两人都击中D.至少一人击中2．设,A B 为两个随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）A.()()P A B P A ⋃=B.()()P AB P A =C.(/)()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=- 3．设123,(,4)X X X N μμ,是来自总体的样本，未知参数的下列无偏估计量中最有效的是 （ ）.A.123111424X X X ++ B. 131122X X + C. 123122555X X X ++ D. 123111333X X X ++ 4．设某种电子管的寿命X ，方差为()D X a =，则10个电子管的平均寿命X 的方差()D X 是（ ） A ．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）A ．原假设0H 成立，经检验接受0HB ．原假设0H 成立，经检验拒绝0HC ．原假设0H 不成立，经检验接受0HD ．原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 三、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占60%、20%、15%、5%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求：1．这批麦种的发芽率；2．若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？四、已知随机变量X 的概率密度函数为,01()0,cx x f x ⎧≤<=⎨⎩其它，求：1．常数c ； 2．{0.40.7}P X <≤； 3．方差()D X五、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(2)2,0,0(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，其它 ，1．求,X Y 的边缘密度函数；2．判断,X Y 是否相互独立、是否不相关；3．求概率{1}P X Y +≤六、设总体X 的密度函数为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中0θ>是未知参数，12,,,n X X X 是从该总体中抽取的一个样本，12,,,n x x x 是其样本观测值，试求参数θ 的最大似然估计量。
概率论和数理统计期末考试复习题库
概率论和数理统计期末考试复习题库数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
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山东理工大学成人高等教育概率论与数理统计复习题一、单项选择题：1．甲、乙二人射击，A 、B 分别表示甲、乙击中目标，则AB 表示（ ）。
A.两人都没击中 B.至少一人没击中 C.两人都击中 D.至少一人击中 2．设,A B 为两个随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。
A.()()P A B P A ⋃= B.()()P AB P A = C.(/)()P B A P B = D.()()()P B A P B P A -=-3．设123,X X X ,是来自总体(,4)N μ的样本，未知参数μ的下列无偏估计量中最有效的是（ ）。
A.123111424X X X ++ B. 131122X X + C.123122555X X X ++ D. 123111333X X X ++ 4．设某种电子管的寿命X ，方差为()D X a =，则10个电子管的平均寿命X 的方差()D X 是（ ）。
A ．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a 5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）。
A ．原假设0H 成立，经检验接受0HB ．原假设0H 成立，经检验拒绝0HC ．原假设0H 不成立，经检验接受0HD ．原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 6.设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤U （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥U7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. 9．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ） （A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==. （C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. 10．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μL 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 二、填空题1.设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2.设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4.设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5.设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.6.袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X 的分布函数()F x = ，()E X = 。
7．设~(4,0.5),X b Y 在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= _ 。
8.设2~(2,)X N σ，且{0}0.2P X ≤=,那么{24}P X <<= _ ___。
9.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：{24}P X -≥≤ 。
10.设一批产品的某一指标2~(,)X N μσ，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值2100s =，则总体方差2σ的95%的置信区间为 。
11、设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. 12、设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.13设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.三、计算题1、把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率2、已知随机变量X 的概率密度函数为,01()0,cx x f x ⎧≤<=⎨⎩其它，求：（1）．常数c ；（2）．{0.40.7}P X <≤；（3）．方差()D X3、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(2)2,0,0(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，其它 ，（1）．求,X Y 的边缘密度函数；（2）．判断,X Y 是否相互独立、是否不相关；（3）．求概率{1}P X Y +≤4、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望. 5、设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.6、设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===7、某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x =26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（0.05α=）.正态分布表如下x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999山东理工大学成人高等教育概率论与数理统计复习题答案一、单项选择题：1、B2、A3、D4、C5、B 6.C解析：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U 应选C. 7．B解析：~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 8．B. 9．A解析：若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β=故应选（A ）.10．A解析：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ） 二、填空题： 1．0.9．解析：3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．161-e . 解析：λλλλλ---==+==+==≤e X P e e X P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P . 3．04,0,.y <<⎩其它.解析：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．41e--.解析：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．$1111lnniixnθ==-∑.解析：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏L L1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln=01niid L nxdθθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为$1111lnniixnθ==-∑.6、0,01(),0131,1xF x xx<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩,2()3E X=7、48、0.3，9、1810、(60.97,193.53)11、54解析：~(4,),Y B p其中10.5221(0.5)24p P X xdx x=≤===⎰，113341,44444EY DY=⨯==⨯⨯=，2215()144EY DY EY=+=+=.12、0.1解析：(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=. 13、8解析：2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.三、计算题。