第11章 动量定理.doc

第十一章 动量定理
§11—1 动量与冲量
一、动量
质点的质量与速度的乘积。

单位：kg ·m/s
质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。

如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。

图 1
C
C i i m m dt
d
m dt d ===∑i
n
i i m ∑==1i i i i
i i r m dt
d
dt d m v m p ∑∑∑===m
m i
i C ∑=
m =
二、冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。

若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量
力在时间t 内的冲量为
单位：N ·s
例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。

已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。

在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。

解： 取C 为动点，动系与OA 固连
于是
所以
方向水平向右。

⎰=t
dt
0dt
d =t
=120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=⋅=⨯===⨯
=sin 600.40.3464m/s
2C a r v v v ===⨯=200.3464 6.93N s C p mv ==⨯=⋅
§11—2 动量定理
一、质点的动量定理
二、质点系的动量定理
三、质点系的动量守恒定理
（1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==n
i e i 10F ，质点系动
量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。

（2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如
01
=∑=n
i e
xi F
，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。

()
I
dt F v m v m m dt
d
t
==-=⎰00()
()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=()
()
()
∑∑∑===+=n
i i i n
i e i n i i i dt
F dt F v m d 1
1
1
()
∑==-n
i e i
1
例2 如图3所示椭圆规尺，已知杆AB 的质量为12m ,曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 、B 的质量均为2m ，OC=AC=CB=l ，曲柄OC 和杆AB 为均质，曲柄OC 以匀角速度绕O 轴转动，初始时，曲柄OC 水平向右。

试求质点系质心的运动方
程、轨迹以及质点系动量。

解：建立如图所示的坐标系，质点系质心的坐标为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
++=++++=++=++++=t sin ωl )m m (m m m m m t
sin ωl m t sin ωl
m t sin ωl m y t cos ωl )
m m (m m m m m t ωcos l m t cos ωl m t cos ωl m x c
c 2121211211212121121123245222222324522222 （1） 式（1）为质点系质心的运动方程，上式消去时间t ，得
123245232452
212
12
2121=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++l )m m (m m y l )m m (m m x c c 即为质心的轨迹为一圆。

对式（1）求导得质点系动量，
t sin ωωl m m x
M P c x 2452
1+-== t cos ωωl m m y M P c y 2
452
1+-==
质点系的总动量大小为
ωl m m P P P y x 2
452
122+=
+= （2）
质点系的总动量方向为
)t ωπ
cos(t sin ωP P )cos(x +=-==
2
i P, t ωcoc P
P )cos(y
==j P,
质点系的总动量与x 、y 的方向角为
ωt π
)(+=
∠2
i P, ωt )(=∠j P, （3）
§11—3 质心运动定理
一、 质量中心
直角坐标形式为
二、质心运动定理
质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外
力的矢量和（等于外力的主矢）。

m
r m m
r m i
i
i i
i C
∑∑∑=
=
m z m m
z m z m y m m y m y m x m m x m x i
i i
i
i C
i
i
i
i
i
i C i
i
i
i
i
i C ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==
====()
()∑==n i e i C F v m dt d
1
()
∑==n
i e i
C m
1
直角坐标轴上的投影式
自然轴上的投影式
三、质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。

如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标始终保持不变。

例3 曲柄连杆机构安装在平台上，平台放置在光滑的水平基础上，如图10-7所示。

曲柄OA 的质量为1m ，以匀角速度ω绕O 轴转动，连杆AB 的质量为2m ，且OA 、AB 为均质杆，OA=AB=l ，平台质量为3m ，滑块B 的质量不计。

设初始时，曲柄OA 和连杆AB 在同一水平线上，系统初始静止，试求（1）平台的水平运动规律；（2）基础对平台的约束力。

解：（1）求平台的水平运动规律
选整体为研究对象，在曲柄O 处建立定坐标系oxy 。

由于平台放置在光滑的水平基础上，
()()()
∑∑∑===e z
Cz e Cy e x Cx F ma F ma F ma y ()
()∑∑==e C
e n C
F dt
dv m
F v m τρ
2
则系统水平方向不受力，系统质心运动守恒，又由于系统初始静止，则c x =恒量。

初始时系统质心的水平坐标为
3
21321
1232m m m x m l
m l m x c ++++=
其中，x 为初始时平台质心的水平坐标。

当曲柄转过t ω=ϕ时，平台质心移动了x ∆，系统质心的水平坐标为
3
213212
232m m m )
x x (m )x cos l
(m )x cos l (m x c ++∆++∆++∆+=
ϕϕ 由于21c c x x =，则平台的水平运动规律为
3
21321321321
232232m m m )x x (m )x cos l
(m )x cos l (m m m m x m l m l m ++∆++∆++∆+=++++ϕϕ 即
)t ωcos (l )
m m m (m m x -+++=
∆1233212
1
（2）求基础对平台的约束力 系统质心的竖直坐标为
3
21321
22m m m y m sin l
m sin l m y c ++++=
ϕϕ
其中，y 为平台质心的竖直坐标。

质心的加速度为
t sin ωl ω)
m m m (m m y
c 23212
12+++-=
其中，平台质心的加速度0=y
，因平台无竖向运动。

由质心运动定理
∑1n
i e
iy cy F a M ==
得基础对平台的约束力为
g )m m m (F y
)m m m (y c 321321++-=++ t sin ωl
ω)m m (g )m m m (F y 2
221321+-++=
例4 质量为1m 的均质曲柄OA ，长为l ，以等角速度ω绕O 轴转动，并带动滑块A 在竖直的滑道AB 内滑动，滑块A 的质量为2m ；而滑杆BD 在水平滑道内运动，滑杆的质量为3m ，其质心在点C 处，如图10-8所示。

开始时曲柄OA 为水平向右，试求（1）系统质心运动规律；（2）作用在O 轴处的最大水平约束力。

解：（1）求系统质心运动规律
如图10-8所示建立直角坐标系Oxy ，系统质心坐标
3
21321
22m m m )l
t cos ωl (m t cos ωl m t cos ωl m x c +++++=
t cos ωl )
m m m (m m m )m m m (l m 3213
2132132222+++++++= (1) t sin ωl )
m m m (m m t sin ωm m m l
m l
m y c 3212132121222+++=+++= (2)
（2）求作用在O 轴处的最大水平约束力
由质心运动定理 ∑==n
i e
ix cx F a M 1
对式（1）求导质心的加速度为
t cos ωωl )
m m m (m m m x
c 23213
21222++++-=
则作用在O 轴处水平约束力为
t cos ωωl )m m m (Ma F cx ox
2
222
321++-==
最大水平约束力为
2
222
321ωl )m m m (Ma F cx max
,ox ++==。