量子力学习题解答1

2
n x ih d sin l l 2 dx
l
2 l
sin
nx l
dx
0
l
nih l
2
ih
sin
nx l
cos cos
nx l

n l dx
dx
0 l

sin
nx l
nx l
0
一维势箱中粒子的归一化波函数为：
x
3 3 3
的本征函数，本征值为
d dx
2 2
的本征函数；
(sin x cos x ) (sin x cos x ), d dx
2 2
sin x cos x 是
的本征函数，本征值为
1。
[1.13] e 和 cos m 对算符 若是，求出其本征值。
[解]：
i d d e
im
[1.8] 电 视 机 显 像 管 中 运 动 的 电 子 ， 假 定 加 速 电 压 为 1000V，电子运动速度的不确定度△ v 为速度的10%，判 断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？ [解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标 的不确定度为：
x
10
h m
n
2 l
sin
nx l
n 1, 2 ,3 ,
。
式中 l 是势箱的长度， x是粒子的坐标 0 x l
（a）分别画出n=1和n=2时粒子在势箱中的几率 密度分布图； （b） 计算粒子在区间出现的几率； （c）对照图形，讨论计算结果是否合理。
[解]：（a）
x
l
n
2
将此式代入de Broglie 关系式，得：
p
h


nh 2l
2 2 2
将此式代入粒子能量的一般表达式，得：
n h nh p E T V T 2 2m 2 m 2l 8 ml 1
2
1
可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 l 等 的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。
sin 1 . 02
sin 0 . 98

0 . 0399
粒子在 状态时，出现在 0 . 49 l 和 0 . 51 l
2
间的几率为：
P
2

x dx
2 2
0 . 51 l
0 . 49 l
0 . 49 l
0 . 51 l
2
2 x dx sin l l
x

0
l
* n
x x x dx
n

0
l
2
nx x sin l l
2

2
nx dx sin l l

2 l

l
0
2 nx x sin dx l l
l

l
0
1 cos 2 n x x dx 2
结构化学习题解答
---《结构化学基础》 北京大学出版社
[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×10 14 s-1 ，用它作光电池 的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的 光电子的最大速度是多少？ 2 h ( ) [解] h h 1 mv v 2 m
式中， u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动 速度，但3式中用了 v / ，显然是错的。 在4式中， E h 无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量，但5式中 E 1 mv 2 仅仅是微粒
2
的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错 的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。
0
1
1/8 0.293 1.000 5/8
1/4 1.000 2.000 2/3 1.500
1/2 2.000 0 1 0
x / l
2 1
0 0
x / l
2 2
1
x/l
x / l
2 1
1
1.726
x / l
2 2
1
1.000
1.500
2.000
1.000
0
根据表中所列数据作 n x x 图示于图1.17中。 （b）粒子在 状态时，出现在 0 . 49 l 和 0 . 51 l 间的几率为：
2 2 ax
2
ax
2
d dx d dx
2
xe
ax
ax
2
4 a x ( xe
2 2 2 ax
2
)
2
e
2
2 ax e
2
4a
2
x e
3
3
ax
2
2 axe 6 axe 6a
ax
4 axe
ax
4a x e
2
ax
2
4a x e
[1.11] xe
ax
2
是算符
d2 2 2 4a x 2 dx

的本征函数，求本征值。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：
( d dx
2
2
4 a x ) (
2 2 2
d dx
2
2
4 a x ) xe
所以 cos m 不是算符 i
[1.15] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
(x)
n
2 l
sin
nx l
n 1, 2 , 3 ,...
式中 l 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算： （a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
p (x)
x n 2
2
h
2
2
4
2 2
2
dx d
2 2
2
nx sin l l

即
px
2
n h 4l
2
(x)
n
n h 4l
2
2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
E T V T
n h 8 ml
2 2 2
1 2m
px
2
1 2m

l
2 1x l 2
0
2nx l x sin 2n l 0 2n l
粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半 边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。
2 n


（b）由于
x ,) x ( c ) x ( x
xl x

E

* H d

* d
进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱 中粒子的边界条件 0 l 0 ，箱长应该等于半 波长的整数倍，即：
n n
nx sin l l
n

h
2
8 m
2
n
2
2
nx n sin l l l l
2
h
2
2
8 m
2

l
n
2

2 l
sin
nx l
n h 8 ml
2
2
(x)
即 En
n h 8 ml
2
2 2
2
将动量平方的算符 p x 作用于波函数，所得常数即为 p x ：
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量： ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能 量：
H ( x) 8 m dx

h
2
d
2
2
n
2
2
d 8 m dx h
2 2
2
nx cos l l l n
1 2
2
0
0
1
2 6 . 626 10
34
J s(
2 . 998 10 m s
8
1
300 10
9
5 . 464 10
14
s
1
m
9 . 109 10
31
kg
1
2 )
2 6 . 626 10 34 J s 4 . 529 10 14 s 1 2 31 9 . 109 10 kg 8 . 12 10 m s
2
1
P
1


2 l
0 .51 l 2 1
x dx
x
2
0 .49 l
0 . 49 l
0 . 51 l
sin
dx l
0 . 51 l

0 . 51 l
2 l
sin
2
x
l
dx
0 . 51 l
0 . 49 l
2 x l 2 x 1 2 x x sin sin l 2 4 l 0 . 49 l l 2 l 0 . 49 l 0 . 02 1 2
im
i
d d
是 否 为 本征 函 数 ？
ie
d d
im
im me
im
所以 e 而i d d
im
是算符 i
的本征函数，本征值为
m。
cos m i ( sin m ) m im sin m c cos m d d 的本征函数。
e 1 e , e 是
x x x
d dx
2 2
的本征函数，本征值为 d dx
2 2
1； 1； 1；
sin x 1 sin x , sin x 是
的本征函数，本征值为 d dx
2 2
2 cos x 2 cos x , 2 cos x 是 x 6 x cx , x 不是
n h 4l
2
2
2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ① 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然 得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云 编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。 若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变 分法的思路，选 为变分函数，用式： 2
5 1
[1.6] 对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：
mv p
1 2
h


3
h v

4
E v

5
1 2
mv
结果得出的结论。错在何处？说明理由。
[解]：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一 和相互制约可由下列关系式表达：
E h
p h/
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物 理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。根据上述两式及力学公式： p mv 知，1，2和4三步都是正确的。 微粒波的波长服从下式： u /
0 . 51 l
2

0 . 51 l
2 l
sin
2
2 x l
dx
0 . 51 l
0 . 49 l
2 x l 4 x 1 4 x x sin 2 8 sin l l l 4 l 0 . 49 l 0 . 49 l 1 4 0 . 51 l 0 . 51 l sin l 4 l 1 4 0 . 49 l 0 . 49 l sin l 4 l 0 . 0001
1
2wenku.baidu.coml 2 l
2
sin
n l 2 x
2 2
x
2 1
2 l 2 l
sin sin
2
x
l 2 x l
x
2
1
sin
l 由上述表达式计算 x 和
x/l
x
2 2
2
x ，并列表如下：
1/3 1.500 1.500 3/4 1.000 3/8 1.726 1.000 7/8 0.293

h m 2 eV / m 10 %
34

h 2 meV 10 %
6 . 626 10 2 9 . 109 10
31
J s 10
19
kg 1 . 602 10
C 10 V
3
3 . 88 10 m 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的 袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼 睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视 机荧光屏上成像无影响。
2 3
ax
2
ax
2
因此，本征值为 6 a 。
2 [1.12] 下列函数哪几个是算符 d 的本征函数？若是， 2 dx 求出本征值。
e , sin x , 2 cos x , x , sin x cos x
x 3
[解]：
d dx d dx d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n
n
无本征值， 只能求粒子坐标的平均值：

l
sin
2nx l
0
l dx 2
(c)由于 p x c x , p 无本征值.可按下式计算p x 的平均值。
x n n x


p
x


l 0
x p x dx
n x n
l

0