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工程力学课后解答
2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。

已知：P = 140kN ，b = 200mm ，b 0 = 100mm ，t = 4mm 。

题图2.9
解：(1) 计算杆的轴力 kN 14021===P N N (2) 计算横截面的面积
21m m 8004200=⨯=⨯=t b A
202mm 4004)100200()(=⨯-=⨯-=t b b A
(3) 计算正应力
MPa 1758001000140111=⨯==
A N σ MPa 350400
1000
140222=⨯==
A N σ
(注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积
小的截面为该段的危险截面)
2.10 横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸，力P=10kN ，求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力ασ及ατ，并问m ax τ发生在哪一个截面？
解：(1) 计算杆的轴力
kN 10==P N
(2) 计算横截面上的正应力
MPa 50100
2100010=⨯⨯==
A N σ
(3) 计算斜截面上的应力
MPa 5.37235030cos 2
230
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯==
σσ
MPa 6.212
3250)302sin(2
30=⨯=
⨯=
σ
τ MPa 25225045cos 2
245=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯== σσ
MPa 2512
50
)452sin(245=⨯=⨯= στ
(4) m ax τ发生的截面
∵ 0)2cos(==ασα
τα
d d 取得极值
∴
0)2cos(=α
因此：2
2πα=， 454
==
π
α
故：m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。

（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。

对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）
2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC ，P =10kN ，l 1=l 2=400mm ，A 1=2A 2=100mm 2，E =200GPa 。

试计算杆AC 的轴向变形Δl 。

题图2.17
解：(1) 计算直杆各段的轴力及画轴力图
kN 101==P N
（拉）
kN 102-=-=P N
（压）
(2) 计算直杆各段的轴向变形
mm 2.0100
1000200400
1000101111=⨯⨯⨯⨯==
∆EA l N l （伸长） mm 4.050
1000200400
1000102222-=⨯⨯⨯⨯-==
∆EA l N l （缩短）
(3) 直杆AC 的轴向变形
m m 2.021-=∆+∆=∆l l l （缩短） (注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和)
2.20 题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA 相同，试求节点A 的水平和垂直位移。

( a) (b)
题图2.20
(a) 解：
以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
0=∑X ，P N =2 ( 拉 ) 0=∑Y ，01=N
(2) 计算各杆的变形
01=∆l
EA
Pl EA Pl EA l N l 245cos /222=
==∆
(3) 计算A 点位移
以切线代弧线，A 点的位移为：
EA Pl
l x A 245
cos 2=∆=
∆
0=∆A y
(b) 解：
以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
=
∑X，P
N2
1
=( 拉)
=
∑Y，P
N-
=
2
( 压)
(2) 计算各杆的变形
EA
Pa
EA
a
P
EA
l
N
l
2
2
2
1
1
1
=
⨯
=
=
∆( 伸长)
EA
Pa
EA
a
P
EA
l
N
l=
⨯
=
=
∆22
2
( 缩短)
(3) 计算A点位移
以切线代弧线，A点的位移为：
EA
Pa
EA
Pa
EA
Pa
l
l
A
C
AB
x
A
)1
2
2(
2
2
45
cos2
1+
=
+
=
∆
+
∆
='
+
=
∆
EA
Pa
l
y
A
-
=
∆
-
=
∆
2
[注：①本题计算是基于小变形假设(材料力学的理论和方法都是基于这个假设)，在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。

②计算位移的关键是以切线代弧线。

)
2.15 如题图2.15所示桁架，α=30°，在A点受载荷P = 350kN，杆AB由两根槽钢构成，杆AC由一根工字钢构成，设钢的许用
拉应力MPa
160
]
[=
t
σ，许用压应力MPa
100
]
[=
c
σ。

试为两根杆选择型钢号码。

题图2.15
解：(1) 计算杆的轴力
以A点为研究对象，如上图所示，由平衡方程可得
=
∑X，0
cos
cos
1
2
=
-α
αN
N
=
∑Y，0
sin
sin
2
1
=
-
+P
N
Nα
α
∴kN
350
1
=
=P
N(拉)
kN
350
1
2
=
=N
N(压)
(2) 计算横截面的面积
根据强度条件：][
max
σ
σ≤
=
A
N，有
2
1
1
mm
5.
2187
160
1000
350
]
[
2=
⨯
=
≥
t
N
A
σ
，2
1
m m
75
.
1093
≥
A
2
2
2
mm
3500
100
1000
350
]
[
=
⨯
=
≥
c
N
A
σ
(3) 选择型钢
通过查表，杆AB为No.10槽钢，杆BC为No.20a工字
钢。

(注：本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据杆的拉、压状态，使用相应得许用应力)
2.25 题图2.25所示结构，AB 为刚体，载荷P 可在其上任意移动。

试求使CD 杆重量最轻时，夹角α应取何值？
题图2.25
解：(1) 计算杆的轴力
载荷P 在B 点时为最危险工况，如下图所示。

以刚性杆AB 为研究对象
0=∑A M ， 02sin =⋅-⋅l P l N CD α
α
sin 2P N CD =
(2) 计算杆CD 横截面的面积
设杆CD 的许用应力为][σ，由强度条件，有
α
σσσsin ][2][]
[P
N N A CD =
=
=
(3) 计算夹角α
设杆CD 的密度为ρ，则它的重量为
α
σραασραρρρ2cos ][cos sin ][2cos Pl
Pl l A CD A V W =
=⋅
=⋅==
从上式可知，当 45=α时，杆CD 的重量W 最小。

（注：本题需要注意的是：①载荷P 在AB 上可以任意移动，取最危险的工作状况（工况）；② 杆的重量最轻，即体积最小。

）
2.34 题图2.34所示结构，AB 为刚性梁，1杆横截面面积A 1=1cm 2，2杆A 2=2cm 2，a=1m ，两杆的长度相同，E =200GPa ，许用应力[σt ]=160MPa ，[σb ]=100MPa ，试确定许可载荷[P ]。

题图2.34
解：(1) 计算杆的轴力
以刚性杆AB 为研究对象，如下图所示。

0=∑A
M
， 03221=⋅-⋅+⋅a P a N a N
即：P N N 3221=+ (1) 该问题为一次静不定，需要补充一个方程。

(2) 变形协调条件
如上图所示，变形协调关系为
2Δl 1 =Δl 2 (2)
(3) 计算杆的变形 由胡克定理，有
1
11EA a
N l =
∆；
2
22EA a N l =
∆
代入式(2)得：
2
2112EA a
N EA a N = 即：
2
2112A N A N = (3)
(4) 计算载荷与内力之间关系
由式(1)和(3)，解得： 11
2
134N A A A P +=
(4)
或
22
2
164N A A A P +=
(5)
(5) 计算许可载荷
如果由许用压应力[σb ]决定许可载荷，有：
])[4(31
][34][34][2111211121b b b A A A A A A N A A A P σσ+=⋅+=+=
)(30)(30000100)2004100(3
1
kN N ==⨯⨯+= 如果由许用拉应力[σt ]决定许可载荷，有：
])[4(6
1
][64][64][2122212221t t t A A A A A A N A A A P σσ+=⋅+=+=
)(24)(24000160)2004100(6
1
kN N ==⨯⨯+=
比较两个许可载荷，取较小的值，即 {})(24][,][m in ][kN P P P t b ==
（注：本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值，即整个结构中，最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。

）
2.42 题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆(E a =70GPa ，αa =21.6×10-6 ℃-1)；对角线是钢丝(E s =70GPa ，αs =21.6×10-6 ℃-1)，铝杆和钢丝的横截面面积之比为2:1。

若温度升高ΔT=45℃时，试求钢丝内的应力。

题图2.42
解：(1) 利用对称条件对结构进行简化 由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所示，
(2) 计算各杆的轴力 以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
0=∑X ，045cos =-a s N N 即： a s N N 2= ①
(3) 变形协调关系
如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为： a s l l ∆=∆2 ② 钢丝的伸长量为：(设钢丝的截面积为A ) )(22
A
E l N l T A E l N l T l s s s s s s s s s s +∆=+∆=∆αα ③
铝杆的伸长量为：
)2(41
A
E l N l T A E l N l T l a a a a a a a a a a -∆=-
∆=∆αα ④
由①②③④式，可解得： A T E E E E N s a s
a s a s ⋅∆-+=
)(2222αα
(4) 计算钢丝的应力 T E E E E A N s a s
a s
a s ∆-+==
)(2222αασ
)(3.4445)107.11106.21(10
20010702210200107022663
3
33MPa =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
-- 3.8
题图
3.8所示夹剪，销钉B 的直径d=5mm,销钉与被剪钢丝的材料相同，剪切极限应力u τ=200Mpa ，销钉的安全系数n=4，试求在C 处能剪断多大直径的钢丝。

解：设B,C 两点受力分别为1F , 2F 。

剪切许用应力为：[]u n
ττ=
=50Mpa
对B 点，有力矩和为零可知：B M ∑=0，即：1F =4P 由力平衡知：1F +P=2F
∴2F =
54
1F 其中：2F =[]τ⋅A=12.52d π 故： 1F =102d π 又由强度要求可知：u
τ≤1
1
F A 即： d ≤1
14
u F πτ5
3.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。

已知安全销的平均直径为5mm ，其剪切强度极限
b τ=370Mpa ，求安全联轴器所能传递的力偶矩
m.
解：设安全销承受的最大力为，则：F = b τ ⨯
21
4
d π 那么安全联轴器所能传递的力偶矩为：m = F ⋅D 其中b τ=370Mpa ，b=5mm ，D=20mm ， 代入数据得：
力偶矩 m=145.2N m ⋅
4.7求题图4.7中各个图形对形心轴z 的惯性矩z I 。

解：（1）对I 部分：1
z I =
3
80020
12
⨯4mm I z I =1z I +2
a A=
38002012
⨯+2
20502⎛⎫- ⎪⎝
⎭⨯20⨯804mm =287.574
cm 对II
部分：2z I =3
2012012
⨯4mm II
z
I =2z I +2
a A=
32012012
⨯+2
12020522⎛⎫+- ⎪⎝⎭
⨯20⨯1204mm =476.114cm 所以:
z I =I z I +II
z
I =763.734cm
(2)
对完整的矩形：1z I =312bh =
3
12020012
⨯=80004cm
对两个圆：II z I =24264D a A π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=242240502064ππ⎛⎫
⨯⨯+⨯⨯
⎪⎝⎭
=653.124cm
所以：z I =1
z I -II
z I =7346.884cm
4.9题图4.9所示薄圆环的平均半径为r ，厚度为t （r ≥t ）.试证薄圆环对任意直径的惯性矩为I =3r t π，对圆心的极惯性矩p I = 23r t π。

解：（1）设设圆心在原点，由于是圆环，故惯性矩对任意一直径相等，为：
I =
()4
4164
D π-α
其中α=d D
所以：I = ()
44
22164
2r t r t r t π
⎡⎤-⎛⎫⨯+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=
()2282864
r t rt π
⨯+⨯
r ≥ t
∴ I =
28864
r rt π
⨯⨯=3
r
t π
(2) 由一知：极惯性矩p
I = 2 I = 2
3r t π
5.7 (1) 用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面1-1,2-2和3-3上
的扭矩，并画出扭矩图的转向;
(2) 做图示各杆的扭矩图
解：（1）
m=2m=-2kN m⋅，3m=3kN m⋅
1
（2）
T=-20kN m⋅，2T=-10kN m⋅，3T=20kN m⋅
1
5.11一阶梯形圆轴如题图5.11所示。

已知轮B 输入的功率B N =45kW ，轮A 和轮C 输出的功率分别为A N =30Kw, C N =15kW ；轴的转速n=240r/min, 1d =60mm, 2d =40mm;许用扭转角
[]θ=2()/m ︒，
材料的[]τ
=50Mpa,G=80Gpa.试校核轴的强度和刚度。

解：（1）设AB,BC 段承受的力矩为1T ,2T .计算外力偶矩：
A m =9549
A
N n =1193.6N m ⋅ C m =9549C
N
n =596.8N m ⋅
那么AB,BC 段的扭矩分别为：1T =A m -=—1193.6N m ⋅
2T .=c m -=596.8N m ⋅
（2）检查强度要求
圆轴扭转的强度条件为：[]max max
t T W τ=≤τ可知：(其中316
t d W π=，
1d =60mm, 2d =40mm)
代入1max 1max t
T W τ=
和2max 2max t
T W τ=
得：
1max τ=28.2Mpa,
2max τ=47.5Mpa
故：max τ=47.5Mpa （3）检查强度要求
圆轴扭转的刚度条件式为：
[]max max max 418018032p T T GI G d πππ︒︒
θ=
⨯=⨯≤θ⋅
所以：1max θ=1max 41
18032
T d G ππ︒
⋅=0.67︒/m
2max θ=1max 4118032
T d G ππ︒
⋅=1.7︒/m
故：max θ=1.7︒/m
5.13题图5.13所示，汽车驾驶盘的直径为520mm ，驾驶员作用于盘上的力P=300N ，转向轴的材料的许用剪应力[]τ=60Mpa 。

试设计实心转向轴的直径。

若改用 α=d
D
=0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各位多大？并比较两者的重量。

解：（1）当为实心转向轴时
外力偶矩m=p l ⨯=156N m ⋅ 则扭矩T=156N m ⋅
圆轴扭转的强度条件为：
[]max max
t T W τ=≤τ可知：(其中3
16
t d W π=)
d ≥
N m ⋅
(2) 当改为d
D
α
=
=0.8的空心轴时
圆轴扭转的强度条件为：
[]max max
t T W τ=≤τ可知：(其中()34116
t D w π=-α) ∴ D ≥28.2mm d ≥22.6mm
故：空心轴D=28.2mm,d=22.6mm
(3) 实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比，
即：
()
2221
14
==m d
4
D m A A π
π
-α实实空
空
= 0.514
5.16题图5.16所示钻探机钻杆的外径D = 60mm ，内径d = 50mm ，钻入的深度l=40m;A 端输入的功率A N =15Kw ，转速n=180r/min ，B 端钻头所受的扭转力矩B M =300kN m ⋅；材料的[]τ= 40MPa ，G = 80GPa ，假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力距m 。

（2）作钻杆的扭矩图，并校核其扭转强度。

（3）A,B 两端截面的相对扭转角。

解：（1）钻探机A 端的偶矩为：
A M =9549
n
A
N =795.75m N ⋅
那么单位长度的阻力矩为： m=
A B
M M l
-=12.4 N/m
（2）圆轴扭转的强度条件为：
[]max
max t
T W τ=
≤τ得：(其中
()3
4
116
t D w π=
-α)
max 36.2
Mpa τ=<
40MPa
所以满足强度要求
（3）由两截面之间的相对转角为：0
l
p
T
dx GI ϕ=⎰ 其中()4
432
p I D d π
=
-=1.59⨯7410m -
所以：0
l
p
T
dx GI ϕ
=
⎰
=40
495.75
795.7540p
x dx GI -⎰= 0.416 rad A ，B 两端截面的相对扭转角为0.416 rad
6.6 求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩
图，并求
|Q|max 和|M|max 。

b)
解：
支座反力：X B =0，Y B = P = 200N, M B =950N,
剪力方程：Q(x ) = -200N.
弯矩方程：
AC 段：M(x) = -PX = - 200X 1 (0≤X ≤2m)；
CB 段：M(x) = -PX - M 0 = -(200X +150) (2m ≤X 2≤4m)
因此：
|Q|max = 200 N ；
|M|max = 950 N ·m (f)
解：
支座反力：
39
0,,=qa 44
A A
B X Y qa Y ==
剪力方程：
AB 段：qx qa x Q
-=
4
3
)(
，(0≤x ≤2a) BC 段：)3()(x a q x Q -=，(2a ≤x ≤3a) 弯矩方程：
AB 段：
2
2143)(qx qax x M -=，(0≤x ≤2a) BC 段：2
)3(2
1)(x a q x M --=，(2a ≤x ≤3a)
因此：qa Q 25.1max =；2
max 32
9qa M =
6.10不列剪力方程和弯矩方程，作题图6.10中各梁的剪力图和弯矩图，并求出|Q|max 和|M|max 。

(b)
解：
支座反力：
因此：
qa
Q=
max
；2
max4
5
qa
M=
(f)
解：
支座反力：
因此：qa Q 67max =
；2max 6
5qa M = 6.12作题图6.12中各构件的内力图 （b ）
解：
(d)
解：
13. 设梁的剪力图如题图6..13所示，试做弯矩图和载荷图，已知梁上没有作用集中力偶。

(b)
解：
6.14已知梁的弯矩图如题图6.14所示，是做梁的载荷图和剪力图。

(b)
解：
7.9
20a 工字钢梁的支承和受力情况如题图7.9所示。

若[σ]=160Mpa ，试求许可载荷P 的值。

图7.9
解：
（1） 求支座反力 P R R B A 3
1=
-= （2） 画出弯矩图
P M 3
2max =
（3）求许可载荷
查表，20a工字钢的3
3
10
237mm
W
Z
⨯
=
∵[]σ
σ≤
=
z
W
M
max
max
∴[]kN
W
P
z
9.
56
2
3
=
≤σ
7.11 题图7.11所示一铸造用的钢水包。

试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水时所允许的总重量。

已知材料的许用应力[σ]=100MPa，d=200mm
解：
Gl
Pl
M
2
1
max
=
=
∵[]σ
σ≤
=
z
W
M
max
max
∴
[][]
kN
l
d
l
W
G z523
32
1
2
2
3
=
⨯
=
≤
σ
π
σ
7.14题图7.14所示轴直径D=280mm，跨长L=1000mm，
l=450mm，b=100mm。

轴材料的弯曲许用应力[σ]=100NPa,求它能承受的最大轧制力。

图7.14
解：
（1）求支座反力
2
ql
R
R
B
A
=
=
（2）画出弯矩图
)
8
2
(
8
2
2
2
max
b
bl
q
qb
qbl
M+
=
+
=
（3）求最大轧制力
m ax
P
∵[]σ
σ≤
=
z
W
M
max
max
∴
[][]
mm
N
b
bl
D
b
bl
W
q z/
9069
8
2
32
1
8
2
2
3
2
=
+
=
+
≤
σ
π
σ
因此：kN
qb
P9.
906
max
=
≤
7.15铸铁梁的载荷及横截面尺寸如题图7.15所示。

许用拉应力[
t
σ]=40MPa，许用压应力[eσ]=160MPa。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

解：
（1）支座反力
30,10
B D
R KN R KN
==
（2）画弯矩图
由上面弯矩图可知，B,D 两个点可能为危险截面。

|M B | = 20 kNm ; M C = 10kNm （3）强度校核
1122
12
157.5c c c A y A y y mm A A +==-+
()()
()32
123
2
4
1*20*320*3*2015.75 1.512
1*3*303*20*(15.7510)12
6012.5Z Z Z I I I cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm =+=+-+++-= B 截面下边缘52.4B c
BC Z
M y MPa I σ== B 截面上边缘(230)
24.1B c Bt Z
M y MPa I σ-== C 截面下边缘26.2C c
ct Z
M y MPa I σ== C 截面上边缘MPa I y M Z
C C BC 05.12)
230(=-=σ 所以[][]max max 52.4,26.2c c t t σσσσ=≤=≤ 安全
7.19题图7.19所示梁由两根36a 工字梁铆接而成。

铆钉的间距为s=150mm ，直径d=20mm ，许用剪应力[τ]=90MPa 。

梁横截面上的剪力Q=40KN,试校核铆钉的剪切强度。

解：
查表，单个工字梁的截面参数为：
415760cm I z =；23.76cm A =；cm h 36=
两个工字梁重叠以后对中性轴的惯性矩
2412()8096.22z Z h I I A cm ⎡
⎤=+=⎢⎥⎣⎦
两个工字梁重叠后对中性轴的静矩
2*
4.1373cm yA ydA S A
z ===⎰
设工字梁翼板的宽度为b ，则中性层上的剪应力为
b I QS z z
*
=
'τ
每一对铆钉分担的剪力为
kN I s
QS bs Q z
z 2.10*=='='τ
铆钉的剪应力为
MPa MPa A
Q 90][2.162=<='=''ττ
所以安全
8.5 用积分法求题图8.5中各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。

已知抗弯刚度EI 为常数。

图8.5
解：
（1）求支座反力
0l
A M R =
,向上，0l
B M R =
，向下。

（2）以A 为原点，写出弯矩方程：
()M M x x l
=
（3）求挠曲线方程
3
06M EIy x Cx D l
=
++ 带入边界条件 0A B y y ==得
0l
=,06M C D -=
故转角方程和挠曲线方程为
22002000(),()
266,,6316A B C M M x x l x y l EI l EI l M l M l M l y EI EI EI
θθθ=-=-=-==-
8.7写出题图8.7所示各梁的边界条件。

其中(b ）图的k 为弹簧刚度（N/m ）。

（a ）
题图8.7
解：
11
1
0,,
22
,
2
A A B
B
ql ql
y R R
R l qll
l
EA EA
===
∆==
当x=l时，1
2
B
qll
y
EA
=-
边界条件：1
0,
2
A B
qll
y y
EA
==-
8.12用叠加法求题图8.12所示各梁截面A的挠度和截面B的转角。

已知EI为常数。

（f）
解：
先假设，CD 段为刚性，则AC 段可视为在C
段固定的悬臂梁。

在2
2
ql M =作用下，EI ql y A 421=；EI qal B 22
1=θ
再将AC 视为刚性，则查表可得：
EI ql EI Ml C 6331-=-=θ；EI
ql C 243
2-=θ
因此：EI
ql C C C 2453
21-=+=θθθ
)512(242
211l a EI
ql C C B B +-
=++=θθθθ 由于截面C 的转动，使截面A 有一向上挠度，为：
2
212
524A C C qal y a EI
θθ=+=
因此：212
(65)24A A A qal y y y a l EI
=+=+ 8.15一直角拐如题图8.15所示。

AB 段横截面为圆形，BC 段为矩形；A 端固定，B 端为滑动轴承，C 端的作用力P=60N ；已知材料的E=210GPa ，G=80GPa 。

试求C 端的挠度。

解：用叠加法，首先P 在C
点引起的直接挠度由表查得： EI Pl y BC
C 321
-
==
4331250
12105mm I I Z =⨯-
== mm y C 17.63
1250
2100003300603
1-=⨯
⨯⨯-=∴ 然后P 在B 点的等效转矩下引起AB 杆发生扭角为：
rad D G l Pl GI l T AB BC p
AB B 16.732
3
===πϕ 所以,C 点的总挠度为
mm l y y BC C C 32.81-=-=ϕ
8.19如题图8.19所示悬臂梁AD 和BE 的抗弯刚度均为
EI =24*106Nm 2，由钢杆CD 相连接。

CD 杆的l =5m ，A =3*20-4，E =200GPa 。

若P = 50kN ，试求悬臂梁AD 在D 点的挠度。

题图8.19
解：设CD 杆上的轴力为F ，则由F 引起C 和D 点的挠度分别为：
EI Fl y AD
D 33-= （1）
EI Fl y BC C 33
1
=
（2）
由P 引起D 点的挠度为： EI
l l Pl y BC BE BC C 6)3(22
-⨯-= （3）
CD 杆的伸长为：
EA Fl l CD CD
=
∆ （4）
几何相容关系为：
D C C CD y y y l -+=∆12 （5）
将式（1）—（4）式代入式（5）得：
EI Fl EI Fl EI l l Pl EA Fl AD
BC BC BE BC CD 336)3(3
32++-⨯-=
BE AD BC l l l 2
1
==
1110243221021035102462532656
3946322P P EI l EA l EI Pl F BC CD BC =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=--=∴-
因此：
mm m EI Pl EI Fl y AD AD D 5.500505.010
2433210503336
3
333=-=⨯⨯⨯⨯=-=-= 8.21 题图8.21所示四分之一圆环，其平均半径为R ，抗弯刚度为
EI 。

试用用莫尔定理求截面B 的垂直位移与水平位移。

题图8.21
解：
（1）求弯矩方程
在四分之一圆环上取一截面m-m ，求截面上的弯矩方程。

在外力作用下：)1()(ααCos PR M --= 水平单位力作用下：)1()(1ααCos R M --= 水平单位力作用下：ααSin R M -=)(2 （2）用莫尔积分求位移 水平位移：
EI
PR d Cos EI PR dl EI M M x l
B 320
2
3
01356.0)1()()(=-=
=⎰⎰π
αααα(向右) 垂直位移：
EI
PR
d
Sin
Cos
EI
PR
dl
EI
M
M
y l
B2
)
1(
)
(
)
(3
2
3
2=
-
=
=⎰
⎰πα
α
α
α
α
(向下)
8.23 外伸梁受力作用如题图8.23所示，梁的抗弯刚度为EI,使用图形互乘法计算外伸端D的挠度。

题图8.23
解：
（1）求支座反力
2
,
59
,
44 ()220
2
A B
A B
A
R R qa
R qa R qa
a
M B aR qa qa
+=
⎧⎫
⎪⎪
⇒=-=
⎨⎬
∑=++=
⎪⎪
⎩⎭
（2）画弯矩图
实际载荷和在D点单位力的弯矩图如下所示：
（3）图形互乘法
23
11
23
22
23
33
23
44
34
33
155
,*
3248
31339
,
525440
141211
,
1525210
3111
,
4326
1539317
()
385404624
c
c
C
C
D
a
M a qa qa
a a
M qa qa
a
M a qa qa
a
M a qa qa
a qa a a qa
y qa qa
EI EI
ω
ω
ω
ω
===
===
===
===
∴=-+=
9.7在题图9.7所示各单元中，使用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力，应力单位为MPa。

（C）
解：如图所示，x
100,50
0,60
y
o
xy
MPa MPa
σσ
τα
==
==
（1）解析法
x x
=cos2sin2
22
1005010050
(cos1200)62.5
22
y y
xy
o MPa MPa
α
σσσσ
σατα
+-
+-
+-
=+-=
x
10050
sin2cos2(sin1200)
22
21.7
y o
xy
MPa
MPa
α
σσ
τατα
--
=+=+
=
（2）图解法
作应力圆如下图所示。

从图中可量的D
α
点的坐标，此坐标便
是ασ和ατ的数值。

9.8已知如题图9.8所示各单元的应力状态（应力单位为MPa
）。

试求
（1）主应力之值及其方向，并画在单元体上； （2）最大剪应力之值。

(b)
解：
max 2
2
min 22
()22
10201020()2022
3020
x y x y xy
σσσσστσ+-⎫=±+⎬⎭-+--=±
+⎧=⎨-⎩
所以12330,0=20MPa MPa σσσ==-，，方向如上图所示。

max 2
2
min 22
()22
400400()402224.72a 64.72a x y x y xy
MP MP σσσσστσ+-⎫=±+⎬⎭-+--=±+⎧=⎨-⎩
123=40a 24.72,64.72MP MPa MPa σσσ==-，013max 22*204
tan 2102034
2arctan
3
3020
2522
xy
x y MPa
τασσασστ=-=-=
---=-+===
9.11钢制受力构件，其危险点应力状态如题图9.11所示，已知
[σ]=160MPa ，试用第三强度理论校核其强度。

如题图9.11
解：
x 40,4040xy z MPa MPa MPa
στσ=-=-=
由图可知，z σ是主应力（剪应力为0）
所以，
按照第三强度理论
13
=104.72a160a
MP MP
σσ
-≤合格。

9.14 设地层为石灰岩，如题图9.14所示，泊松比μ=0.2，单位体积重γ=25kN/m3。

试计算离地面400m深处的主应力。

解：
)
(
10
)
/
(
10
0.1
)
(
400
)
/
(2
7
3
3
MPa
m
N
m
m
kN-
=
⨯
-
=
⨯
-
=γ
σ
2
1
σ
σ=（1）
由于单元体在地下某平面的四周受到均匀压力，所以，
2
1
=
=ε
ε
因此：
)
(
[
1
3
2
1
1
=
+
-
=σ
σ
μ
σ
ε
E
（2）
由式（1）和（2）解得，
MPa
5.2
2.0
1
)
10
(
2.0
1
3
1
-
=
-
-
⨯
=
-
=
μ
μσ
σ
9.17已知圆直径d =10cm，受力如题图9.17所示，今测得圆轴表
面的轴向应变4
10
3-
⨯
=
ε，与轴线成45o方向的应变
4
45
10
375
.1-
⨯
-
=
ε，圆轴材料E = 200GPa，μ=0.25，许用应力，
[]120,GPa σ=试用第三强度理论校核轴的强度。

解：
由于是拉伸和扭转的组合变形，横截面上仅有正应力和剪应力。

如下图所示
(a ） (b) (c) （1）求正应力
在轴向方向放置的单元体上（上图b ）,只有x 方向上有正
应力，由广义胡克定理：
)]([1
00z y x E
σσμσε+-=
解得：MPa E x 601031024
500
=⨯⨯⨯==-εσ
（2）求剪应力
将单元体旋转450，如上图（c ）所示，由斜截面正应力计算公式：
αατασασσαCos Sin Sin Cos xy y
x 22
2-+= 有：
xy x
τσσ-=2
45
xy x
τσσ+=
2
135
由广义胡克定理：
])1()1(2
1
[1][1000
1354545
xy x E E τμσμμσσε+--=-= 解得：
])1(2
1[)1(1045x xy
E σμεμτ-+-+= ]
60)25.01(2
1
)10375.1(102[)5.21(145⨯-+⨯-⨯⨯-+=
-MPa 40=
（3）用第三强度理论校核强度
MPa MPa r 120][10040460422223=<=⨯+=+=στσσ
强度满足要求。

9.21直径d = 10 mm 的柱塞通过密闭的高压容器（题图9.21），并承受扭矩T 0 = 80 N.m ，容器内压p = 500 MPa ，其材料的拉伸和压缩强度极限为σbt = 2100 MPa ，σbc = 5120 MPa 。

试按莫尔强度理论计算危险点处的相当应力。

题图9.21
解：由于柱塞处在压力容器中，径向受到压力P ，所以，柱塞上
某一点的应力状态如下图所示，
3
16
d W π
ρ=
MPa W T 6.40716
1014.310803
3
0max =⨯⨯==ρτ
MPa P P yz yz
z
y z
y 2.228)2
(2)2
(
2
2
22
2max =+-+-=+-++=
ττσσσσσ MPa P P yz yz
z
y z
y 2.728)2(2)2
(
2
2
22
2min -=+---=+--+=
ττσσσσσ 所以主应力为：
MPa 2.2281=σ；MPa 5002-=σ；MPa 2.7283-=σ
由莫尔强度理论得：
MPa bc bt Mr
9.526)2.728(5120
21002.228][][31=--=-=σσσσσ
10.9题图10.9所示AB 横梁由No.14工字钢制成。

已知P=12kN ，材料[]σ=160Mpa 。

试校核该横梁的强度。

题图10.9
解：。