22.1第三课时二次根式的性质PPT课件
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二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式ppt课件
(2)
x为全体实数 变式
1 x2
x≠0
变式一：
变式二：
x为全体实数
x为全体实数
变式三：
变式四：
x＝0
x＝5
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例2.已知 a 1 +
解：由题意得：
＝0,求 的值。 解得
几个非负数的和为0，它们每一个数都必须同时为0.
a
∴
2. a
3. 1
（二）选择题（每题15分）
4. C 5. D （三）解答题：（10分） 6. 解：由题意得：
解得
∴y=3 ∴ x=2
知识：
（1）二次根式的定义。即 a ( a 0 )
（2）二次根式有（或无）意义字母的取值范围
（3）二次根式双重非负性。即a≥0, a ≥0
方法：
（1）求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
变式训练：
若
与
互为相反数，求
的值。 解：由题意得：
解得
例3.若y＝
+
解：由题意得：
-3.求 解得
的值。
∴x=2 ∴ y=-3
注意用几个二次根式有意义的字母取值来解相关题目。 变式训练:
已知x、y为实数，5
＝
＋y
求x、y的值． 解：由题意得：
解得
∴x=2 ∴ y=-3
（一）填空题(每线15分)
1.a
展示探究：
例1．求当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义： 6－2x≥0
（1）
x≤3 变式：
6－2x＜0 无意义 x＞3
变式一： + 2≤x≤3
《二次根式和它的性质》PPT课件
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式的概念和性质PPT课件
.
2
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
∴ (3- p)2 = p- 3 (2) x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|
当x＝- 3 时，x－１<０
∴ x2-2x+1=1-x=1+3
∴当x＝- 3 时. ， x2- 2x+1=1+ 3 20
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
.
4
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
|a |
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0
a + | b |= 0 ? a 0, b = 0
a 2 + | b |= 0 ? a 0, b = 0
......
.
21
二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)
a中的a≥0； a≥ 0． 双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中 二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中 二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
二次根式的性质课件
案例二
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
二次根式的概念及性质课件
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等
式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
( a )2 （a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么关系？
活动1 ：根据前面得出的结论填一填
4 2 4
1 3
2
1 3
2
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
它的长、宽各应是多少？
A
D
解：设长方形的宽为xcm,根据得意得
x 3 x 24
2
B
C
解得 x 16 4（负值舍去）.
所以宽为4cm，长为6cm.
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
二次根式的性质课件(共31张PPT)
(1) ( a)2 a
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
二次根式的性质ppt课件
33aa可以是数也可以是式子可以是数也可以是式子44表示表示aa的算术平方根的算术平方根5既可表示开方运算也可表示运算的结果
1
一、预习与反馈
二次根式
式，“
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根
”称为二次根号。 （1）被开方数a≥0；
二次根式
（5）既可表示开方运算, 三类非负数： 也可表示运算的结果.
归纳
a a
2
(a≥0)
例1:计算
2
3 2 （ 1 ）（ ） 2
（2）（ 2 5）
2
（3）（ 2 3）
（4）（ 3 5）
2
7 2 （5）（ ） 2
2
（6）（ a ）
2
2 2
（7）（ a 2a 1 ）
练习：利用算术平方根的意义填空
4 4
2
0.01 0.01
2
0 0
2
4 4___ （ 4） __________
2
m4 思考：若 (m 4) 2 m 4, 则m的取值范围是_________ m4 思考：若 (m 4) 2 4 m, 则m的取值范围是_________
练习
计算： ( 10) (3 3)
2
2
解： (
10) (3 3 )
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
（2）根指数为2（含有二次根号）.
（3）a可以是数，也可以是式子 （4）表示a的算术平方根
（1）a 0; （2） a 0; （3） a 0
2
二、新课精讲
练习：利用算术平方根的意义填空
( 4)
1
一、预习与反馈
二次根式
式，“
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根
”称为二次根号。 （1）被开方数a≥0；
二次根式
（5）既可表示开方运算, 三类非负数： 也可表示运算的结果.
归纳
a a
2
(a≥0)
例1:计算
2
3 2 （ 1 ）（ ） 2
（2）（ 2 5）
2
（3）（ 2 3）
（4）（ 3 5）
2
7 2 （5）（ ） 2
2
（6）（ a ）
2
2 2
（7）（ a 2a 1 ）
练习：利用算术平方根的意义填空
4 4
2
0.01 0.01
2
0 0
2
4 4___ （ 4） __________
2
m4 思考：若 (m 4) 2 m 4, 则m的取值范围是_________ m4 思考：若 (m 4) 2 4 m, 则m的取值范围是_________
练习
计算： ( 10) (3 3)
2
2
解： (
10) (3 3 )
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
（2）根指数为2（含有二次根号）.
（3）a可以是数，也可以是式子 （4）表示a的算术平方根
（1）a 0; （2） a 0; （3） a 0
2
二、新课精讲
练习：利用算术平方根的意义填空
( 4)
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在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
华东师大版《数学 ·九年级（上）》
第22章 二次根式 §22.1 二次根式
第三课时 二次根式的性质
备用知识 1.平方根的意义、性质。
2.算术平方根的意义、性质 3.绝对值的意义、性质 4.二次根式的意义
回顾
1、形如
二次根式的概念
（a≥0）的式子叫做二次根式。
2、二次根式 a 有意义的条件：a≥0。
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1
3
2 0 0
2是2的算术平方根，根据算 术平方根的意义， 2是一个平方等于 2的非负数，因此有（ 2）2 2
讲解点1： 二次根式的基本性质
一般地，有如下性质：（1） a ≥0（a ≥0 ）
（2）( a )2 a（a ≥0 ） 即：一个非负数的算数平方根的平方等于非负数本身。
例题讲解
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解： (1) 8 22 2 2 2
(2) (5)2 52 5
[典例]
计算： （1） (a 1)2 (a≥1（) 2） (3.14 )2
解：（1）∵a≥1，∴a-1≥0， ∴ (a 1)2 | a 1| a 1 （2）∵3.14<п，∴3.14-п<0，
5. 注意灵活应用二次根式的性质
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
理解：（1） a（a ≥0 ）表示非负数a的算术平方根， 也就是说， a（a ≥0 ）是一个非负数，它的平方等于 a；（2）对于 ( a )2 a（a ≥0 ），利用这一公式可以 进行计算，如：(3 2)2 32 ( 2)2 9 2 18 。如果把该 公式反过来就是：a ( a )2 ，其逆意义是：可以把任意 非负数写成平方的形式，如：2= ( 2)2， x-y= ( x y )2 (x y)
∴ (3.14 )2 | 3.14 | 3.14
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算形如 a2 的二次根式时，先要写成 a2 a 的形式，再看底数a的 符号，防止出现当a<0时， a2 a 这样的错误。
1、当 x 1 y 3 0时，
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知 x 5 6 3 y z 22 0
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
ห้องสมุดไป่ตู้习
计算：
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
例题讲解
你能把下列各数写成某个数的平方或平方 的相反数吗？ （1）3 （2）0.5 (3)-5 (4)a-b
解：(1)3 ( 3)2 (2)0.5 ( 0.5)2
(3) 5 ( 5)2 (4)a b ( | a b |)2
25，16呢？
探究
22 2 02 0
0.12 0.1
2 2
2
3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 | a |
讲解点2：二次根式的重要性质： a2 a
[请注意以上性质和 ( a )2 a（a≥0）的区别]
（4） 和 a2 (的a不)2同点主要有以下几个方面：①运算顺序
不同， 是(先a算)2 ，在算a
；(而a )2 是先a算2 ，再a2
算 a；2 ②运算结果不一定相同。 ( a )2 ，a
而 a2 a aa((aa00))；③ 取值范围不同. 在( a )2 中，a必须是
非负数；而 a2 中a取任意实数。
思考题：若 x3 8x2 x x 8 ，求x的取值范围。
小结
1. 二次根式的概念
形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式的基本性质 （1） a ≥0（a ≥0 ） （2） ( a )2 （aa ≥0 ）
3. 二次根式的重要性质 a2 a aa((aa00))
4. 注意 ( a )2 a 和 a2 a 的区别与联系。
分解：当a≥0时， a2 a；当a<0时， a2 a
即： a2 a aa((aa00))
请记忆住这 个法则！ 很有用
注意：（1）当a=0，| a |=0，此时 a2 a 和 a2 a 都成立；
（2）如果
a2，那a 么a≥0；如果
a 2，那a么a≤0；（3）
把二次根式 与| aa2 |联系起来，可加深对此公式的记忆和理解；
[典例] 计算：（1）
解：（1）
（2） (7 2 )2 7
（2） (7 2 )2 (7)2 ( 2 )2 49 2 14
7
7
7
评析：本题直接应用二次根式的性质
求解。
当底数是积时，应先应用积的乘方法则计算，再运
用二次根式的性质 ( a )2 a （a≥0）
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
[练习]
1. 计算：（1）( 0.3)2（2）(3 2)2 (2 3)2（3）( 3 )2
4
2. 化简 （1） (2 5)2 (3 5)2 （2）| x 2 | | x 3 | x2 10x 25 (-2≤x≤2)
求xyz的值。
(-5)×2×(-2)=20
３.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
４.设a，b，c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
5、 化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
华东师大版《数学 ·九年级（上）》
第22章 二次根式 §22.1 二次根式
第三课时 二次根式的性质
备用知识 1.平方根的意义、性质。
2.算术平方根的意义、性质 3.绝对值的意义、性质 4.二次根式的意义
回顾
1、形如
二次根式的概念
（a≥0）的式子叫做二次根式。
2、二次根式 a 有意义的条件：a≥0。
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17
1 3
2
1
3
2 0 0
2是2的算术平方根，根据算 术平方根的意义， 2是一个平方等于 2的非负数，因此有（ 2）2 2
讲解点1： 二次根式的基本性质
一般地，有如下性质：（1） a ≥0（a ≥0 ）
（2）( a )2 a（a ≥0 ） 即：一个非负数的算数平方根的平方等于非负数本身。
例题讲解
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解： (1) 8 22 2 2 2
(2) (5)2 52 5
[典例]
计算： （1） (a 1)2 (a≥1（) 2） (3.14 )2
解：（1）∵a≥1，∴a-1≥0， ∴ (a 1)2 | a 1| a 1 （2）∵3.14<п，∴3.14-п<0，
5. 注意灵活应用二次根式的性质
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
理解：（1） a（a ≥0 ）表示非负数a的算术平方根， 也就是说， a（a ≥0 ）是一个非负数，它的平方等于 a；（2）对于 ( a )2 a（a ≥0 ），利用这一公式可以 进行计算，如：(3 2)2 32 ( 2)2 9 2 18 。如果把该 公式反过来就是：a ( a )2 ，其逆意义是：可以把任意 非负数写成平方的形式，如：2= ( 2)2， x-y= ( x y )2 (x y)
∴ (3.14 )2 | 3.14 | 3.14
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算形如 a2 的二次根式时，先要写成 a2 a 的形式，再看底数a的 符号，防止出现当a<0时， a2 a 这样的错误。
1、当 x 1 y 3 0时，
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知 x 5 6 3 y z 22 0
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
ห้องสมุดไป่ตู้习
计算：
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
例题讲解
你能把下列各数写成某个数的平方或平方 的相反数吗？ （1）3 （2）0.5 (3)-5 (4)a-b
解：(1)3 ( 3)2 (2)0.5 ( 0.5)2
(3) 5 ( 5)2 (4)a b ( | a b |)2
25，16呢？
探究
22 2 02 0
0.12 0.1
2 2
2
3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 | a |
讲解点2：二次根式的重要性质： a2 a
[请注意以上性质和 ( a )2 a（a≥0）的区别]
（4） 和 a2 (的a不)2同点主要有以下几个方面：①运算顺序
不同， 是(先a算)2 ，在算a
；(而a )2 是先a算2 ，再a2
算 a；2 ②运算结果不一定相同。 ( a )2 ，a
而 a2 a aa((aa00))；③ 取值范围不同. 在( a )2 中，a必须是
非负数；而 a2 中a取任意实数。
思考题：若 x3 8x2 x x 8 ，求x的取值范围。
小结
1. 二次根式的概念
形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式的基本性质 （1） a ≥0（a ≥0 ） （2） ( a )2 （aa ≥0 ）
3. 二次根式的重要性质 a2 a aa((aa00))
4. 注意 ( a )2 a 和 a2 a 的区别与联系。
分解：当a≥0时， a2 a；当a<0时， a2 a
即： a2 a aa((aa00))
请记忆住这 个法则！ 很有用
注意：（1）当a=0，| a |=0，此时 a2 a 和 a2 a 都成立；
（2）如果
a2，那a 么a≥0；如果
a 2，那a么a≤0；（3）
把二次根式 与| aa2 |联系起来，可加深对此公式的记忆和理解；
[典例] 计算：（1）
解：（1）
（2） (7 2 )2 7
（2） (7 2 )2 (7)2 ( 2 )2 49 2 14
7
7
7
评析：本题直接应用二次根式的性质
求解。
当底数是积时，应先应用积的乘方法则计算，再运
用二次根式的性质 ( a )2 a （a≥0）
练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
[练习]
1. 计算：（1）( 0.3)2（2）(3 2)2 (2 3)2（3）( 3 )2
4
2. 化简 （1） (2 5)2 (3 5)2 （2）| x 2 | | x 3 | x2 10x 25 (-2≤x≤2)
求xyz的值。
(-5)×2×(-2)=20
３.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
４.设a，b，c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
5、 化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：