高等代数期末论文学习汇总

高等代数期末论文学习汇总

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高等代数学习总结

摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。

关键词:

行列式矩阵二次型

正文:

《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。

经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式

行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域

定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为

|A|=∑(?1)τ(j1j2?j n)a1j

1a2j

2?

a nj

n

j1j2…j n

其中，i1i2?i n为1,2，…，n的一个排列。

从定义，我们可以看出，行列式是F n×n到F的一个映射。通过这个定义，我们可以推断出行列式的诸多性质：

1.行列式与它的转置相等；

2.互换行列式的两行（列），行列式变号；

3.若一个行列式中有两行（列）元素对应相等，则这个行列式为零；

4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一数乘行列式

等于这个数乘行列式；

5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零；

6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行，行列式不变；

https://www.360docs.net/doc/9c8944869.html,place 展开定理：任取A的k 行，可构成A的一切可能的k阶子

式为t（=C n k）个，设为M1，…，M t,其相应的代数余子式为A1，A2，…，

A t，则|A|=M1A1+M2A2+?+M t A t。

其中，第七条性质的特殊情形就是我们平时常用的展开定理。这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保障。在此基础上，我们可以得出更多的性质和推论。通过学习，我们知道，行列式其实是一种工具，是将多种情况下转换为行列式，通过计算行列式的值来得到想要的结果。在上面7条性质的基础上，我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧：定义法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加边法、降阶法、递推法、数学归纳法、做辅助行列式法。这里就不一一分析了，比较常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。

在学行列式时，没觉得有什么困难，知识本身也比较简单，除了弄懂那些定理是怎么来的，剩下来的就是计算了，一般情况下，只要细心点，就不会错了。行列式还是比较好学的。

矩阵

矩阵，Matrix。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家Cayley 于1858

年首先提出。自此，矩阵理论便迅速的建立起来。矩阵论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。

定义：称数域F 中m ×n 个数a_ij （i=I,2,…,m; j=1,2,…,n ）排成的m 行n 列的矩形表格

??????? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M Λ

Λ212222111211

为数域F 上的一个m×n 矩阵，简记为(a ij )m×n ，其中a ij 称为矩阵的第i 行第 j

列交叉点上的元素（简称元）。其中，若对于矩阵A ，如果存在矩阵B ，是的AB=E,则称B 为A 的逆矩阵。

在我们的学习中，矩阵的秩和初等矩阵是在矩阵应用中两个比较重要的概念。 矩阵的秩：设A=(a ij )m×n ,α1,…,αs 是A 的行向量，β1,…,βn 为A 的列向量，称r 矩阵的秩，若r 为A 行（列）向量组的极大无关组的个数。

用通俗的话讲就是若A 中存在一个r 阶子式不等于0，而一切r+1阶子式都等于0，则称r 为A 的秩，并记为rank A=r ；特别的，当A=0时，规定rank A=0. 我们常用到的有关矩阵的秩的等式和不等式有：

1. 设A 为s ×n 矩阵，P,Q 分别为s 阶和n 阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).

2. 设A 为n 阶矩阵，则rank A=n ?A 可逆.

3. rank A=rank A ′=rank (kA),其中 k ≠0.

4. r (A 00B

)=r(A)+r(B) 5. 秩的第一降阶定理：设A 可逆，(

A 00

B )是m ×n 矩阵，则 r (A 00B

)=r(A)+r(D - C A ?1B) 6. 秩的第二降阶定理：设A ，D 分别是r 阶与s 阶可逆矩阵，B ，

C 分别是r ×s 和s ×r 矩阵，则

r(D - C A ?1B) =r(D)-r(A)+r(A - B D ?1C)

7. r (A C 0B

)≥r(A)+r(B)

r(A0

C B

)≥r(A)+r(B)

8.r(AB)≤min{r(A),r(B)}

9.r(A,B) ≤r(A)+r(B)

10.r(A+B) ≤r(A)+r(B)

11.(Sylvester不等式)设A,B分别是m×n和n×l矩阵，则

r(AB)≥r(A)+r(B) – n

12.(Frobenius 不等式)

r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)

13.设A为实矩阵，则

r(A A′)=r(A)=r(A′)

上述13条性质就是矩阵秩的基本内容，或者说是矩阵秩的基本应用了，用矩阵秩解决后面知识中碰到的问题，有了这13条性质就有了基本保障了。

初等矩阵是我们用到矩阵时另一个重要的概念就是初等矩阵。

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

定义中提到的另一个概念初等变换是指，

●交换矩阵的两行（列）（换法变换）

●用一个非零数乘矩阵的某一行（列）（倍法变换）

●用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上

去（消法变换）

而上述三种初等变换对应的初等阵有分别叫做换法阵、倍法阵和消法阵。初等变换和初等矩阵之间的关系也是一个很重要的知识点，它为我们之后的矩阵进行的各种处理提供了理论基础：对于一个s×n矩阵A做一次初等行变换就相当于在A的左边乘相应的一个s×s初等矩阵；做一次初等列变换就相当于在A的右边乘相应的n×n初等矩阵。这种对应关系也就是后来学到的线性变换，这在后文会单独列出来讲述。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛

而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。由此可见，矩阵在高等代数中的重要性。

记得在大一在初次接触矩阵的时候，还没有觉得有什么困难，但当学到矩阵的秩的时候，便开始犯糊涂了，脑子一时转不过弯，无法理解什么才叫矩阵的秩。经过长时间的学习后，才对秩有了一个深入的了解，两学期的高代课下来，才让我真正认识到矩阵的重要性。当然，矩阵的重要性并不是因为上述两个重要的概念，而是矩阵分支出去的概念的应用，下面便一一阐释。

线性方程组

线性方程组中其实是用到了矩阵的乘法。

线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：

{

a11x1+a12x2+?+a1n x n=b1 a21x1+a22x2+?+a2n x n=b2? ? ? ?a m1x1+a m2x2+?+a mn x n=b m

其中，a11，a12以及b1，b2等等为已知常数，而x1，x2等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：Ax=b，其中，A是由方程组里未知量里未知量的系数排成的m×n矩阵，x是含有n个元素的行向量，b是含有m个元素的行向量。

A=(a11 a12 ?a1n a21 a22 ?a2n ? ? ? ?

a m1 a m2?a mn )，x=(

x1

x2

?

x n

), b=(

b1

b2

?

b n

)

在这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵A和向量b的情况下，求未知向量x。

根据学习可将解的判定方法总结如下：

1)r(A)=r(A?)=n当且仅当Ax=b有唯一解；

2)r(A)=r(A?)

3)r(A)≠r(A?)当且仅当Ax=b无解；

4)r(A)=n当且仅当Ax=0只有零解；

5)r(A)

有了如何判定方程组有解的方法后，我们就要来将解表示出来，当方程组有一两

组解的时候，表示出来还很简单，当方程有无数组解的时候，我们只能想出一种通式来表示解，这就有了线性方程组解的结构。对于方程组

{

a11x1+a12x2+?+a1n x n=b1

a21x1+a22x2+?+a2n x n=b2

? ? ? ?

a m1x1+a m2x2+?+a mn x n=

b m

（1）

当b1,b2,?,b m全为零时，我们称（1）为其次线性方程组，否则，为非齐次线性方程组。

定义：齐次线性方程组的一组解η1，η2，?，ηt称为（1）的一个基础解系，如果

1)（1）的任意一个解都能表达成η1，η2，?，ηt的线性组合；

2)η1，η2，?，ηt线性无关。

在证明其次线性方程组的确有基础解系的时候，我们得到这样一个定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里的r表示系数矩阵的秩。

进一步可得，如果γ0是非齐次线性方程组的一个特解，那么该方程组的任意一个解γ都可以表成

γ=γ0+ η

其中η该方程组导出组的一个解。这样，就给出了非齐次线性方程组的任意解的表达方式。

以上便是线性方程组所学习的主要内容，线性方程组的应用十分广泛，现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动等等。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常重要。

在学线性方程组的时候，对基础解系的概念理解的不够深，再加上大一学的求基础解系的方法和王老师教的有一定的区别，导致我时常搞混，经常弄得到最后都求不来基础解系，不过，经过一段时间的学习，还是克服了这个困难，其实只要

搞懂基础解系这个概念，求它的方法自然也就好理解了。

线性变换

要说线性代数和高等代数有什么区别，站在我这个数学的高度上看，也就是从这里开始有区别了，尽管不一定正确，但就目前而言是这么认为的。

定义：线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对于V 中任意的元素α，β和数域P 中任意数k ，都有

{σ(α+β)=σ(α)+σ(β)σ(kα)=kσ(α)

其中，σ代表V 的变换，σ（α）代表元素α在变换σ下的像。由定义可知，线性变换保持向量加法和标量乘法的运算。线性变换本质上就是一种映射，因而线性变换又叫线性映射或线性算子。

既然说线性变换是矩阵的应用之一，那线性变换必然与矩阵有联系。

设V 是属于P 上n 维线性空间，ε1, ε2,?, εn 是V 的一组基，那么空间V 中任一向量ξ可以被基ε1, ε2,?, εn 线性表出，即有关系式

ξ=x 1ε1+x 2ε2+?+x n εn

其中系数是唯一确定的。由于线性关系保持现行不变，因而在ξ的像Aξ与基的像Aε1，Aε2，?,Aεn 之间也必然有相同的关系：

Aξ=A （x 1ε1+x 2ε2+?+x n εn ）x 1

=A （ε1）+x 2A （ε2）+?+x n A （εn ）

上式表明，如果我们知道了基ε1, ε2,?, εn 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，于是可得：

1. 设ε1, ε2,?, εn 是线性空间V 的一组基.如果线性变换A 与B 在这组基

上的作用相同，即：Aεi =Bεi , i=1,2,…,n ，那么，A =B .

2. 设ε1, ε2,?, εn 是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量

α1, α2,?, αn 一定有一个线性变换A 使 Aεi =αi i=1,2,…,n .

结合以上两点可得定理：

设ε1, ε2,?, εn 是线性空间V 的一组基，α1, α2,?, αn 是V 中任意n 个向量，存在唯一的线性变换 A 使

Aεi =αi i=1,2,…,n

通过以上讨论，我们就可建立线性变换与矩阵的联系。

定义：设ε1, ε2,?, εn是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：

{

Aε1=a11ε1+a12ε2+?+a1nεn Aε2=a21ε1+a22ε2+?+a2nεn ? ? ? ?

Aεn=a m1ε1+a m2ε2+?+a mnεn

用矩阵来表示就是

A（ε1, ε2,?, εn）=Aε1+Aε2+?+Aεn

=(ε1, ε2,?, εn)A

其中

A=(a11a12

a21a22

?a1n

?a2n ??

a n1a n1??

?a nn

)

矩阵A称为A在基ε1, ε2,?, εn下的矩阵。由此，便将线性变换的问题转换为了矩阵的问题，通过讨论可得以下性质：

1)线性变换的和对应于矩阵的和；

2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；

3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的乘积；

4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于

逆矩阵。

通过以上讨论，我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示，这样，我们就可以通过矩阵来研究线性变换。对于每个给定的线性变换，如果能找到一组基，使得它的矩阵具有最简单的形式，这样，研究起来也就方便了，于是，就有了特征值和特征向量的引入。

定义：设A是数域P上线性空间V中的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ0，存在一个非零向量ξ，使得

Aξ=λ0ξ.

那么λ0称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ0的一个特征向量。

特征值的作用十分的大，它被广泛的用于物理学的薛定谔方程、分子轨道、因子分析、惯量张量以及应力张量，另外，在谱系图论中也有用到特征值。

线性变换除了特征值及特征向量这个重要的概念外，还有一个十分重要的概念——不变子空间。

定义：设A是数域P上线性空间V中的一个线性变换，W是V的子空间。如果W中的向量在A下的像仍在W中，即对于?ξ∈W，有Aξ∈W，我们就称W是A 的不变子空间，简称A—子空间。

通过对定义的讨论（讨论见北大版《高等代数》第三版p308），我们可以得知，矩阵分解为对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。

此外，线性变换中经常用到一些特殊的线性变换：

1.正交变换：设σ是欧氏空间V上的线性变换，并且满足?α,β∈

V, (σ(α), σ(β))=( α,β)

2.对称变换与反对称变换：V是一个n维欧式空间，σ∈L(V),

如果，?α,β∈V,，有

(σ(α),β )=( α,σ(β)) 则称σ为对称变换；

(σ(α),β )= - ( α,σ(β)) 则称σ为反对称变换

上述内容便是线性变换的一些主要内容，当然，还有其他一些重要内容没有提到。总的来说，线性变换是整个高等代数内容里面我最感兴趣的部分，总觉得这种变换很神奇，因此，学起来也特别的用心，总的来讲也没碰到多大的困难。

线性空间

线性空间又称向量空间。在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是高等代数的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

定义：设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义了一个代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素α与β，在V种都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为γ=α+β.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素α，在V中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为δ=kα.如果加法和数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.

加法满足下面四条规则:

1)α+β=β+α;

2)(α+β)+ γ=α+(β+γ);

3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有

0+α=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

4)对于V中的每一个元素α，都有V中元素β，使得

α+β=0 （β称为α的负元素）

数量陈法满足下面两条规则：

5)1α=α;

6)k(lα)=(kl) α;

数量乘法与加法满足下面两条规则：

7)(k+l) α=kα+lα;

8)k(α+β)= kα+kβ.

在以上规则中，k,l等表示数域P中的任意数；α,β, γ等表示集合V中任意元素。由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间，分量属于属于P的全体n元素组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间我们用P n来表示。

线性空间中，最重要的一个概念就是维数。

定义：如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。

关于维数，我们只需重点掌握维数公式及其证明。

维数公式：如果V1,V2是线性空间V的两个字空间，那么

dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim (V1∩V2)

证明：设V1,V2的维数分别是n1,n2, V1∩V2的维数是m.取V1∩V2的一组基

α1, α2,?, αm

如果m=0，这个基就是空集，下面讨论中α1, α2,?, αm不出现，但讨论同样能进行.由基的扩充定理,它可以扩充成V1的一组基

α1,α2,?,αm,β1,?,βn

.

1?m

也可以扩充成V2的一组基

α1,α2,?,αm,γ1,?,γn

2?m

. 我们来证明，向量组

α1,α2,?,αm,β1,?,βn

1?m ,γ1,?,γn

2?m

（1）

是V1+V2的一组基.这样，V1+V2的维数就等于n1+n2?m,因而维数公式成立. 因为

V1=L(α1,α2,?,αm,β1,?,βn

1?m

),

V2=L(α1,α2,?,αm,γ1,?,γn

2?m

),

所以

V1+V2=L(α1,α2,?,αm,β1,?,βn

1?m ,γ1,?,γn

2?m

)

现在来证明向量组（1）是线性无关的.假设有等式

k1α1+?+k mαm+p1β1+?+p n

1?m βn

1?m

+q1γ1+?+q n

2?m

γn

2?m

=0

令

α=k1α1+?+k mαm+p1β1+?+p n

1?m βn

1?m

=?q1γ1???q n

2?m γn

2?m

有第一个等式，α∈V1；而由第二个等式看出，α∈V2.于是，α∈V1∩V2，即α可以被α1,α2,?,αm线性表出.令α=l1α1+l2α2+?+l mαm,则

l1α1+?+l mαm+q1γ1+?+q n

2?m γn

2?m

=0

由于α1,α2,?,αm,β1,?,βn

1?m

线性无关，又得

k1=?=k m=p1=?=p n

1?m

=0

这就证明了α1,α2,?,αm,β1,?,βn

1?m ,γ1,?,γn

2?m

线性无关，因而它是V1+V2的

一组基，故维数公式成立。

从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和要小.由于王老师对维数公式格外喜欢，只是我们也受到感染，在王老师的反复强调下，我对维数公式的证明掌握的还是比较牢的。

二次型

定义：设P是一个数域一个系数在P数域中的x1,x2,?,x n的二次齐次多项式f(x1,x2,?,x n)=a11x12+2a12x1x2+?+2a1n x1x n

+a22x22+?+2a2n x2x n+

????

+a nn x n 2

称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。

当研究一个复杂的二次型问题的时候，如果我们能把它转换为矩阵问题可能会简单许多，因此对于二次型

f (x 1,x 2,?,x n )=a 11x 12+a 12x 1x 2+?+a 1n x 1x n

+a 21x 2x 1+a 22x 22+?+a 2n x 2x n +

????

+a n1x n x 1+a n2x n x 2+?+a nn x n 2

=∑∑a ij x i x j n

j=1

n i=1

我们把上面二次型的系数排成一个n ×n 矩阵

A=(a 11a 12a 21a 22?a 1n ?a 2n ??a n1a n1???a nn

) 它就称为二次型的矩阵.因为a ij =a ji ,i,j =1,?,n ,所以A=A ′,我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.

令

X=(x 1x 2?x n

).

于是，二次型可以用矩阵的乘积 X ′AX 表示出来.

二次型中最重要的一个概念是正定二次型.

定义：实二次型f (x 1,x 2,?,x n )称为正定的就，如果对于任意一组不全为零的实数c 1,c 2,?,c n ，都有f (c 1,c 2,?,c n )>0.

这个最重要其实是在王老师的渲染下这么觉得的，我也查过一些资料，还没觉得它有多大用处。二次型学起来并没有觉得有什么困难，总体学着觉得还行吧。

上述便是整个高代课所学的基本内容，除了多项式还没学，高代课基本都学完了，回顾两学期的学习，觉得高代这门课还是挺难的，最重要的一个因素就是它比较

抽象，需要一定的抽象思维去理解它，不像数学分析那样，很多东西都能够通过画画图什么的去理解它，而且，高代里面有许多概念，看似简单，但真正理解它，对于我而言，还是一个不小的困难。高等代数作为数学专业学科中最基础的课程之一，相信以后的学习中会用到它的一些思想什么的，也许到那时，就会慢慢领悟其深刻含义了！

参考文献

[1].北京大学数学学.高等代数.第3版.高等教育出版社，2003.

[2].王卿文.线性代数核心思想及应用.科学出版